特殊圓環(huán)面上曲邊三角形內(nèi)角的求解

林炯毅，夏丹陽，牟金平

特殊圓環(huán)面上曲邊三角形內(nèi)角的求解

林炯毅，夏丹陽，牟金平＊

（臺州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

將初等區(qū)域中的三角形映射到特殊的圓環(huán)面上，得到的像為圓環(huán)面上的曲邊三條曲線。以圓環(huán)面上的曲邊三角形為研究對象，以曲面上兩方向的交角公式為工具，給出曲邊三角形的內(nèi)角的公式，并研究了特殊曲邊三角形的內(nèi)角規(guī)律。

圓環(huán)面；曲邊三角形；內(nèi)角

三角形是幾何學(xué)中的重要圖形，它擁有許多的幾何性質(zhì)［1］，被廣泛運(yùn)用于網(wǎng)絡(luò)的定位、建筑物的加固和其他幾何性質(zhì)的研究［2，3］.目前，有許多關(guān)于平面曲邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的研究.文獻(xiàn)［4］給出了平面上曲邊三角形內(nèi)角的幾個(gè)性質(zhì)，比較了在不同條件下曲邊三角形與二直角的關(guān)系.通常地，曲面上的曲邊三角形不是平面圖形，而它的性質(zhì)是研究曲面上的曲邊四邊形、曲邊五邊形以及任意的曲邊多邊形的基本工具，即曲面上曲邊多邊形的性質(zhì)可以通過曲邊三角形來解決.而這方面的問題沒有引起足夠的重視.再則，曲邊三角形的性質(zhì)將為曲面上網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的定位提供必要的理論支持，而這方面的研究尚缺必要的理論基礎(chǔ).因此，研究曲面上的曲邊三角形的內(nèi)角公式和其性質(zhì)是非常必要的.

1　預(yù)備知識

以向量函數(shù)為工具，文獻(xiàn)［5］詳細(xì)地介紹了初等區(qū)域、空間曲面等概念及性質(zhì).此外，文獻(xiàn)［4］討論了曲邊三角形，這種三角形又稱魯洛三角形Reuleaux triangle，是指有一邊或兩邊或三邊為圓弧的三角形.在此基礎(chǔ)上，本文將給出比文獻(xiàn)［1］中更廣的曲邊三角形的概念.

定義1在xOz平面上取圓周y=0，（x-b）2+z2=a2（b＞a），并令其繞z軸旋轉(zhuǎn)得圓環(huán)面，圓環(huán)面的參數(shù)方程是=｛（b+a cosφ）cosθ，（b+a cosφ）sinθ，sinφ｝（0≤φ＜2π，0≤θ＜2π）［5］.

為了便于計(jì)算，令圓環(huán)面中的a=1，b=2.

定義2設(shè)l1:y1=c1θ+d1、l2:y2=c2θ+d2、l3:y3=c3θ+d3為初等區(qū)域D上的三條直線，將這三條直線一一映射到三維空間的曲面上，得到3條空間曲線l1′、l2′、l3′，稱由l1′、l2′、l3′三條曲線圍成的曲面為曲面上的曲邊三角形，記作△l1′l2′l3′，稱其中三條曲線交點(diǎn)之間的弧線為邊，交點(diǎn)為頂點(diǎn).記、、為△l1′l2′l3′的頂點(diǎn)，并且=｛x（θ），y（θ），z（θ）｝，i=1，2，3.

特別地，如果△l1′l2′l3′是在圓環(huán)面上的，則稱之為圓環(huán)面上的曲邊三角形.在△l1′l2′l3′中，稱由兩曲邊在交點(diǎn)處曲線切線的夾角為曲邊三角形的內(nèi)角.在△l1′l2′l3′中，如果有兩內(nèi)角相等，則稱這個(gè)曲邊三角形為曲邊等腰三角形.

當(dāng)定義2中的像曲面是平面時(shí)，定義2與定義1相同.因此，定義1中所指的曲邊三角形是定義2中所提出的特殊形式.在下一節(jié)中，我們將討論特殊圓環(huán)面（a=1，b=2）上曲邊三角形的內(nèi)角公式及其內(nèi)角和.

2　主要結(jié)果

在這部分中，我們先給出圓環(huán)面上曲邊三角形的參數(shù)方程，然后給出其交角公式，最后，本節(jié)將討論曲邊等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)定義2，經(jīng)過計(jì)算可得，圓環(huán)面上曲邊三角形的參數(shù)方程為：

定理1設(shè)△l1′l2′l3′為圓環(huán)面上的曲邊三角形，則曲邊三角形的頂點(diǎn)向量為、、，其中

θ1、θ2、θ3分別代入到l1′、l2′、l3′中即得、、.

由定理1可得以下結(jié)果：

定理2設(shè)l1′、l2′、l3′為曲邊三角形△l1′l2′l3′的三條邊，則′（θ1）、′（θ1）、′（θ2）、′（θ2）、′（θ3）、′（θ3）分別為l1′、l2′、l3′在頂點(diǎn)δ1、δ2、δ3處沿曲邊的切線方向，其中

證明：由定義2分別對三條曲線的向量函數(shù)求微商，得到

再將交點(diǎn)θ1分別代入′（θ）與′（θ），θ2分別代入′（θ）與′（θ），θ3分別代入′（θ）與′（θ），即得切線方向.

定理3設(shè)l1′l2′l3′為圓環(huán)面上的曲邊三角形，γ1、γ2、γ3為曲邊三角形的內(nèi)角，則有

定理4設(shè)c1=1，c2=-1，c3=0，d1=π，d2=π，d2=0，則由初等區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切蝜1′l2′l3′，△l1′l2′l3′為曲邊等腰三角形，其中△l1′l2′l3′是由l1∶y=x+π，l2∶y=x+π，l3∶y=x+π所圍成.

證明：將c1=1，c2=-1，c3=0，d1=π，d2=π，d2=0代入到夾角公式中，得到cosθ1=-1，cosθ2=， cosθ3=由此算出θ=θ，所以此曲邊三角形為曲邊等腰三角形.

同時(shí)θ1=180°，θ2≈26.5651°，θ3≈26.5651°.

由于θ1+θ2+θ3＞180°，所以，當(dāng)參數(shù)滿足c1=1，c2=-1，c3=0，d1=π，d2=π，d2=0時(shí)，由初等區(qū)域中的等腰直角三角形映射而來的曲邊等腰三角形的內(nèi)角和大于180°.

證明：由定理4的證明方法即得.

3　結(jié)束語

本文討論了特殊圓環(huán)面上曲邊三角形的內(nèi)角公式與曲邊三角形的內(nèi)角和.借助圓環(huán)面上曲邊三角形的內(nèi)角公式，我們可得出圓環(huán)面上曲邊四邊形、曲邊五邊形以及任意曲邊多邊形的內(nèi)角公式.

［1］虞言林.三角形的內(nèi)角和定理［J］.蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（21）:57-58.

［2］李亞莎，王澤忠.基于圓環(huán)坐標(biāo)系的三維靜電場曲邊三角形邊界元方法［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2006，21（9）:122-126.

［3］張琦躍.一種曲邊三角形區(qū)域中的三角形網(wǎng)格自動(dòng)生成方法［J］.中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，10（3）:17-84.

［4］韋靜華.曲邊三角形三內(nèi)角和的探討［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1995，S1:144-145.

［5］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2008：69-115.

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

The Interior Angles of Curved Triangle on the Special Torus

LIN Jiongyi，XIA Danyang，MOU Jinping＊
（Schoo l of Mathematics and Inform ation Engineefing，Taizhou University，Linhai 317000，China）

Mapping an elementary area of plan triangle to a special torus，w ill result in a curved triangle in torus（CTT）.Based on the formula of international angle of two directions，a formula of international angle of two directions is derived for CTT，and sum of angles of a CTT is discussed.

Torus；Curve triangle；Angle

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2015.03.002

2015-03-12；

2015-05-21

臺州學(xué)院培育基金（2013PY09）.

簡介：牟金平（1974-），男，浙江黃巖人，講師，博士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析的研究。