微元法求旋轉(zhuǎn)體體積的幾何研究

賀慧霞, 李 婭, 馬 健

(北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100083)

1 微元法

“微元法”是分析解決幾何、物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法.設(shè)U是一個(gè)幾何量或者物理量，且滿足下列條件：

(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量；

(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性；即把[a,b]分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于這些部分量之和；

(3)對(duì)任意的[x,x+dx]?[a,b]，對(duì)應(yīng)的ΔU≈dU=f(x)dx，則U可表示為

這個(gè)方法就稱為微元法.

利用“微元法”處理問題時(shí)，需將復(fù)雜的幾何、物理問題分解為眾多微小的、遵循相同規(guī)律的微元，利用“化整為零，以常代變”的思想，求出微元對(duì)應(yīng)的幾何量或者物理量的近似值(微分表達(dá)式)，再利用“積零為整，無限累加”，求出整體量的精確值(積分表達(dá)式)，從而解決問題[1-3].

在微元法求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，目前的大多數(shù)教材只給出了平面圖形繞坐標(biāo)軸或者平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式，沒有研究討論平面圖形繞斜直線旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積.本文從微元法的求解步驟入手，就此問題展開討論，并給出旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式.

2 旋轉(zhuǎn)體

定義1 旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這條直線叫作旋轉(zhuǎn)軸．

如我們熟知的圓錐、圓臺(tái)、球體都是旋轉(zhuǎn)體，在中學(xué)時(shí)，我們已經(jīng)掌握了這類旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式，這類旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)共同特點(diǎn)是平面圖形的邊界與旋轉(zhuǎn)軸的垂線只有一個(gè)交點(diǎn)，為便于描述我們稱這類旋轉(zhuǎn)體為規(guī)范旋轉(zhuǎn)體[4].但更多的旋轉(zhuǎn)體要復(fù)雜得多，比如圖1所示的旋轉(zhuǎn)體，它由梯形ABCD繞直線L旋轉(zhuǎn)生成，旋轉(zhuǎn)體體積V=圓柱體積-圓錐體積.

圖1 旋轉(zhuǎn)體

因?yàn)樾D(zhuǎn)體體積具有可加性，所以任意旋轉(zhuǎn)體體積都可以表示為有限個(gè)規(guī)范旋轉(zhuǎn)體體積的代數(shù)和，因此我們?cè)谖闹兄挥懻撘?guī)范旋轉(zhuǎn)體的體積.

3 求旋轉(zhuǎn)體體積

設(shè)l:y=kx+h(k≠0)是xOy平面內(nèi)的一條直線，y=f(x) 是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，它的圖像是平面曲線BC,求平面圖形ABCD(如圖2所示)繞l旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積.

圖2

分析：微元法思想求解

分割旋轉(zhuǎn)軸l,對(duì)任意小區(qū)間[l,l+dl]，求出dV，

dV=π·r2dl,

關(guān)鍵：求出r,dl及積分上下限m,n.

由圖3可以看出，求解過程有平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的思想，事實(shí)上就是變量替換，通過新舊坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)軸和函數(shù)定義域剖分之間的關(guān)系，利用微元法的剖分、近似、求和、求極限的思想，從剖分函數(shù)的定義域入手，直接得到體積計(jì)算公式.

圖3

3.1 平行直線間的距離

3.2 新舊坐標(biāo)系下剖分的關(guān)系

做區(qū)間[m,n]的剖分T，PP′交曲線f(x)于P點(diǎn)，自P點(diǎn)向x軸引垂線，可得[a,b]的分割T′，反之，對(duì)[a,b]的任意分割，可得到[m,n]的分割.故可選x做自變量，從[a,b]的分割入手.

3.3 求dl(=dx′).

做[a,b]的分割，得區(qū)間[x,x+dx]，從區(qū)間端點(diǎn)做x軸的垂線，交曲線f(x)于P,Q點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x,f(x)),Q(x+dx,f(x+dx))，過P,Q向直線l引垂線交l于P′,Q′，得區(qū)間[x′,x′+dx′],dx′就是上文中的dl，表示平行直線PP′,QQ′的距離.

因?yàn)閒(x)可導(dǎo)，所以當(dāng)dx→0時(shí),f(x+dx)≈f(x)+df,直線QQ′的方程可近似表示為

這兩條平行直線間的距離為

(*)

4 例題

圖4

由圖4可知，拋物線與直線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1),

微元法在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，但很多同學(xué)并不能很好地掌握和理解，在文中我們回顧了微元法適用的幾何量或者物理量的特點(diǎn)，以及微元法的解題思路.在闡述定理的過程中，也充分體現(xiàn)微元法的“化整為零，積零為整”的思想，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握微元法的思想，幫助學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力.