旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣碰摩振動響應(yīng)分析

郭旭民， 孫 祺， 馬 輝,2,3， 孫 帆

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院, 沈陽 110819;2. 東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 沈陽 110819;3. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

航空發(fā)動機(jī)常運(yùn)行在高溫、高壓和高轉(zhuǎn)速環(huán)境下，同時(shí)為了提高航空發(fā)動機(jī)性能，需盡量減小葉片和機(jī)匣間隙，因此在這種極端工況下極易導(dǎo)致葉片-機(jī)匣碰摩。

由于這種問題的存在，所以國內(nèi)外學(xué)者對葉片-機(jī)匣碰摩模型進(jìn)行了大量的研究。Sinha[1]研究了帶葉片的柔性轉(zhuǎn)子與剛性機(jī)匣的碰摩動力學(xué)特性以及碰摩導(dǎo)致的系統(tǒng)復(fù)雜振動響應(yīng)。Lesaffre等[2]基于Sinha提出的轉(zhuǎn)子葉片模型，采用勞斯-赫爾維茨判據(jù)分析了旋轉(zhuǎn)梁和柔性環(huán)碰摩穩(wěn)定性。太興宇等[3]將葉片等效為氣動載荷和離心載荷作用下的懸臂梁，將機(jī)匣簡化為單質(zhì)量彈簧-阻尼模型，推導(dǎo)了葉片-機(jī)匣碰摩表征模型。Ma等[4]由能量守恒定律推導(dǎo)了新的旋轉(zhuǎn)葉片和彈性機(jī)匣碰摩模型，并討論了侵入量，機(jī)匣剛度，摩擦因數(shù)，葉片幾何尺寸對法向碰摩力的影響。

在圓柱殼振動特性方面，學(xué)者們也做了較多研究。Hemmatnezha等[5]通過實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬相結(jié)合的手段研究了加筋復(fù)合材料圓柱殼的自由振動特性，并對比了不同表面厚度和邊界條件對殼固有頻率的影響。Rodrigues等[6]研究了模態(tài)耦合對直接激勵(lì)下的圓柱殼的動力學(xué)影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)圓柱殼在最低階固有頻率附近的幾個(gè)相近頻率處會產(chǎn)生多個(gè)共振。Song等[7]基于Donnell殼理論采用瑞利-李茲法對任意邊界條件下旋轉(zhuǎn)層壓圓柱殼的行波振動進(jìn)行了分析，通過在自由邊界條件下引入彈簧，并改變彈簧剛度來進(jìn)行任意邊界條件下圓柱殼的行波振動分析。王宇等[8]針對固支-自由約束條件下的薄壁圓柱殼，基于Love殼體理論，利用振型疊加法研究了受徑向諧波激勵(lì)和沖擊載荷激勵(lì)時(shí)圓柱殼的振動響應(yīng)特性。李暉等[9]搭建了4種不同激勵(lì)形式的測試系統(tǒng)，對圓柱殼固有頻率進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并提出了約束態(tài)下薄壁圓柱殼固有頻率的測試流程。曹志遠(yuǎn)[10]系統(tǒng)介紹了殼體動力學(xué)基本理論和研究方法，為國內(nèi)板殼動力分析方面的研究提供了必要的基礎(chǔ)知識。

根據(jù)一些學(xué)者的實(shí)驗(yàn)測試發(fā)現(xiàn)，葉片-機(jī)匣單點(diǎn)或局部碰摩的接觸力類似于周期性脈沖力[11-12]，根據(jù)這種特定的碰摩情況，一些學(xué)者給出了基于脈沖力模型的葉片-機(jī)匣碰摩模擬方法。Turner等[13-14]將碰摩力假定為脈沖力，采用有限元法研究了葉片-機(jī)匣碰摩時(shí)外力作用時(shí)間和最大葉片變形的關(guān)系，分析了葉片在不同碰摩情況下的振動形式。太興宇等[15]采用Timoshenko梁建立了旋轉(zhuǎn)葉片在脈沖力加載下的動力學(xué)方程，并對不同轉(zhuǎn)速下的葉片動力學(xué)特性進(jìn)行數(shù)仿真。Legrand等[16]根據(jù)機(jī)匣葉盤系統(tǒng)的二維模型，分析了葉盤在機(jī)匣k節(jié)徑模態(tài)振型下的接觸問題，并分析了轉(zhuǎn)速對葉片-機(jī)匣碰摩的影響。

通過上述分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段國內(nèi)外學(xué)者對葉片-機(jī)匣碰摩的研究多關(guān)注在旋轉(zhuǎn)葉片的動力學(xué)建模方面，但在機(jī)匣建模方面，則將機(jī)匣簡化為單質(zhì)量彈簧-阻尼或柔性環(huán)。而Rodrigues等對圓柱殼振動特性的研究也取得了豐富的成果。本文則將兩者結(jié)合，將機(jī)匣簡化為圓柱殼模型，基于ANSYS有限元軟件，建立新的旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣碰摩模型，著力探究碰摩對機(jī)匣節(jié)徑振動的激發(fā)規(guī)律，同時(shí)通過對比本文模型和集中質(zhì)量點(diǎn)模型來比較兩種模型下碰摩對葉片和機(jī)匣振動響應(yīng)的影響。

1 旋轉(zhuǎn)葉片-機(jī)匣振動的有限元動力學(xué)模型

旋轉(zhuǎn)葉片-機(jī)匣振動的動力學(xué)方程可表示為

(1)

式中：Cb和Cc分別為葉片和機(jī)匣的阻尼矩陣，這里均采用瑞利阻尼進(jìn)行計(jì)算，其表達(dá)式如下

Cc=Cb=αMb+βKb

(2)

式中

其中：ω1和ω2分別為葉片的第1，2階固有頻率；ξ1和ξ2分別為對應(yīng)的第1，2階模態(tài)阻尼比。其他符號的描述見參考文獻(xiàn)[17]。

(3)

機(jī)匣采用Shell281單元來模擬。機(jī)匣的約束方式為簡支約束，即機(jī)匣一端的所有節(jié)點(diǎn)約束3個(gè)平動方向自由度，另一端的所有節(jié)點(diǎn)約束除軸向外的其他2個(gè)平動方向自由度。接下來，本文基于機(jī)匣固有特性對網(wǎng)格進(jìn)行了收斂性檢查(見表1)。值得說明的是，對圓柱殼劃分網(wǎng)格時(shí)，周向網(wǎng)格數(shù)用p表示，軸向網(wǎng)格數(shù)用q表示。從表1中可以看出網(wǎng)格數(shù)量為256×8時(shí)，圓柱殼的固有頻率已經(jīng)收斂。因此，在分析葉片-機(jī)匣碰摩響應(yīng)時(shí)，圓柱殼采用的網(wǎng)格數(shù)為256×8。在本文研究中，機(jī)匣參數(shù)設(shè)置如下：長度Lc=0.1 m，內(nèi)徑Rc=0.307 12 m，厚度hc=0.002 m，彈性模量Ec=125 GPa，泊松比υc=0.3，密度ρc=4 370 kg/m3。

圖1為旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣有限元模型示意圖，其中OcXYZ為整體坐標(biāo)系，Ω為葉片轉(zhuǎn)速。這里的機(jī)匣中曲線是指機(jī)匣中曲面上Lc/2處的圓。葉片采用Beam188單元來模擬，沿徑向等分為20份，共21個(gè)節(jié)點(diǎn)，忽略葉根-圓盤榫連結(jié)構(gòu)的影響，葉根節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)1)約束形式為全約束。本文假設(shè)葉片-機(jī)匣在碰摩過程中，葉片表面受到均布的氣動力作用，并且考慮葉片因旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的科氏力效應(yīng)、旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)和離心剛化效應(yīng)。

圖2為本文所研究機(jī)匣模型的前3階模態(tài)振型(m,n)，其中，m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)。

(a) 整體振型

(b) 周向振型

2 碰摩力模型建立

由幾何關(guān)系推導(dǎo)葉尖與機(jī)匣內(nèi)壁間的初始間隙函數(shù)

PQ2+OQ2=OP2

(4)

圖3 旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣碰摩示意圖

((rg+ggap)sin(Ωt+φ))2+

(5)

對上式求解可得到初始間隙函數(shù)ggap表達(dá)式為

(g0-cmin)cos(Ωt+φ)-rg

(6)

(7)

每個(gè)載荷步下都要判定葉尖與機(jī)匣之間是否發(fā)生碰摩。葉尖節(jié)點(diǎn)的侵入量δi的表達(dá)式如下

(8)

當(dāng)侵入量大于0時(shí)發(fā)生碰摩，在葉尖節(jié)點(diǎn)上施加法向和切向碰摩力，同時(shí)在對應(yīng)的機(jī)匣節(jié)點(diǎn)i上施加大小相等方向相反的法向和切向碰摩力。當(dāng)侵入量等于0時(shí)不發(fā)生碰摩，即：

(9)

Ft=μFn

(10)

式中，F(xiàn)n為法向碰摩力；Ft為切向碰摩力；μ為摩擦因數(shù)。fn的表達(dá)式如下

(11)

葉片旋轉(zhuǎn)過程中葉片表面始終受到均布的氣動力的作用，葉片所受氣動載荷表達(dá)式如下[18]

Fe=Fe1sin(neΩt)

(12)

式中，F(xiàn)e1=225.73為氣動力載荷的幅值(N/m)；ne=20為障礙數(shù)目。

根據(jù)以上分析，得出模擬碰摩過程的流程圖，如圖4所示。

圖4 葉片-柔性機(jī)匣碰摩過程流程圖

3 圓柱殼與集中質(zhì)量點(diǎn)模型響應(yīng)對比

現(xiàn)有模型在判斷葉片-機(jī)匣碰摩時(shí)大多是將機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量點(diǎn)來考慮，該模型在葉尖與機(jī)匣的最小間隙處用一個(gè)質(zhì)量彈簧-阻尼系統(tǒng)來模擬機(jī)匣，詳見參考文獻(xiàn)[3]，這樣做雖然處理起來簡單但卻忽略了機(jī)匣柔性對碰摩的影響?，F(xiàn)在相同條件下，分別將機(jī)匣簡化成集中質(zhì)量點(diǎn)模型和圓柱殼模型，對兩種模型的碰摩響應(yīng)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5、圖6和圖7所示，葉片幾何參數(shù)及碰摩仿真參數(shù)見表2。

圖5中的集中質(zhì)量點(diǎn)模型(集中質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量1.67 kg，彈簧剛度2.3×106N/m，機(jī)匣徑向阻尼1 000 N·s/m)的簡化原則是使集中質(zhì)量點(diǎn)模型下的彈簧剛度與圓柱殼模型下的機(jī)匣等效剛度相同。從圖5(a)可以看出機(jī)匣簡化為圓柱殼模型時(shí)的最大法向碰摩力Fn比機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量點(diǎn)模型時(shí)的最大法向碰摩力小，說明將機(jī)匣簡化為圓柱殼模型后能更多的考慮機(jī)匣柔性對碰摩的影響。從圖5(c)頻譜圖可以看出兩種模型對葉尖彎曲位移的影響主要體現(xiàn)在幅值上，而在彎曲位移的頻率成分上幾乎一致。兩種模型下葉尖彎曲位移都會在5fr(fr為葉片的轉(zhuǎn)頻)與20fr出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象，這是因?yàn)?fr(1 083 Hz)與葉片的1階動頻(1 090 Hz，對應(yīng)葉片的一階彎曲)接近，而20fr(4 333 Hz)與氣動力頻率相同，會產(chǎn)生共振。

圖6中的A′為第1種機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量點(diǎn)模型的機(jī)匣節(jié)點(diǎn)(集中質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量1.67 kg，彈簧剛度2.3×106N/m，機(jī)匣徑向阻尼1 000 N·s/m)；A″為第2種機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量點(diǎn)模型的機(jī)匣節(jié)點(diǎn)(集中質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量1.67 kg，彈簧剛度2×108N/m，機(jī)匣徑向阻尼1 000 N·s/m)，這種簡化原則是使集中質(zhì)量點(diǎn)模型的1階固有頻率和圓柱殼的1階固有頻率相同；A、B、C、D分別對應(yīng)機(jī)匣上的4個(gè)節(jié)點(diǎn)(見圖1)。從圖6可以看出，不同模型下機(jī)匣的徑向位移響應(yīng)有較大的區(qū)別。第1種集中質(zhì)量點(diǎn)模型下的機(jī)匣徑向位移在轉(zhuǎn)頻fr(216.5 Hz)處出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)頻fr和機(jī)匣的固有頻率(186 Hz)接近；第2種集中質(zhì)量點(diǎn)模型的機(jī)匣徑向位移在8fr(1 732 Hz)處出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象。機(jī)匣上的A節(jié)點(diǎn)為碰摩發(fā)生處，所以這一節(jié)點(diǎn)處的徑向位移最大，且在8fr處出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象，機(jī)匣上其他3個(gè)節(jié)點(diǎn)為非碰摩處，它們的響應(yīng)曲線形狀相似，也會在8fr(1 733 Hz)處出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象。圖6(c)和(d)為圓柱殼機(jī)匣上不同節(jié)點(diǎn)的徑向振動頻譜圖(每隔8個(gè)節(jié)點(diǎn)做一個(gè)FFT)，從圖中可以看出，局部碰摩點(diǎn)及附近節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng)從fr到7fr都存在幅值，而遠(yuǎn)離碰摩位置的節(jié)點(diǎn)從8fr開始才有幅值，并且這種頻率變化存在一個(gè)漸變的過程。

表2 葉片幾何參數(shù)及碰摩仿真參數(shù)

(a) 法向碰摩力

(b) 葉尖彎曲位移時(shí)域圖

(c) 葉尖彎曲位移頻譜圖

(a) 機(jī)匣上不同節(jié)點(diǎn)的時(shí)域圖

(b) 機(jī)匣上不同節(jié)點(diǎn)的頻譜圖

(c) 圓柱殼機(jī)匣上不同節(jié)點(diǎn)處的頻譜圖

(d) 圓柱殼機(jī)匣上不同節(jié)點(diǎn)處的頻譜圖(俯視)

圖7中(a1)～(d1)分別為葉片轉(zhuǎn)到機(jī)匣的0 (t=0.075 2 s)、π/2 (t=0.076 4 s)、π (t=0.077 5 s)和3π/2 (t=0.078 7 s)處時(shí)機(jī)匣變形后的位置圖，葉片在A處與機(jī)匣發(fā)生碰摩，其他3處位置不發(fā)生碰摩。這里的變形是機(jī)匣中曲線上各節(jié)點(diǎn)的徑向位移放大1×104倍后和機(jī)匣半徑疊加后的效果圖。從圖7(a1)可以看出，機(jī)匣上A節(jié)點(diǎn)處的局部變形明顯比其他節(jié)點(diǎn)處的變形大，而集中質(zhì)量點(diǎn)模型的機(jī)匣變形是一個(gè)整體變形，在碰摩發(fā)生時(shí)機(jī)匣會整體向右平動一段距離，且變形量比圓柱殼模型的變形量小。采用圓柱殼模型后，在碰摩發(fā)生時(shí)機(jī)匣變形量大，所以葉尖侵入到機(jī)匣的侵入量小，碰摩力也就比集中質(zhì)量點(diǎn)模型的碰摩力小，同時(shí)還可以明顯觀察到碰摩激發(fā)出的機(jī)匣的節(jié)徑振動。圖7(a2)～(d2) 為對應(yīng)時(shí)刻的機(jī)匣整周徑向振動響應(yīng)時(shí)域圖，圖7(a3)～(d3)為對應(yīng)時(shí)刻的機(jī)匣整周徑向振動響應(yīng)頻譜圖，該圖通過機(jī)匣整周徑向位移響應(yīng)數(shù)據(jù)延拓10份后進(jìn)行傅里葉變化得到。由頻譜圖可知機(jī)匣的徑向振動在7節(jié)徑(1 964.7 Hz)、9節(jié)徑(1 764.9 Hz)、10節(jié)徑(1 713.1 Hz)和13節(jié)徑(1 755.0 Hz)都有較大的幅值，說明在碰摩導(dǎo)致的機(jī)匣變形中這四個(gè)模態(tài)都起到了主導(dǎo)作用。這是因?yàn)?fr(1 733 Hz)與機(jī)匣的第三階頻率(1 713.1 Hz，對應(yīng)(1,10)模態(tài)振型)，第四階頻率(1 755.0 Hz，對應(yīng)(1,13)模態(tài)振型)和第五階頻率(1 764.9 Hz，對應(yīng)(1,9)模態(tài)振型)都比較接近，而9fr(1 950 Hz)與機(jī)匣的第九階頻率(1 964.7 Hz，對應(yīng)(1,7)模態(tài)振型)接近，所以最終的機(jī)匣變形是以7、9、10和13節(jié)徑為主導(dǎo)的耦合形式。當(dāng)葉片與機(jī)匣發(fā)生碰摩時(shí)，碰摩節(jié)點(diǎn)A處的徑向變形非常明顯。機(jī)匣變形隨著時(shí)間不斷變化，主導(dǎo)模態(tài)的峰值響應(yīng)降低。

圖7 不同時(shí)刻的機(jī)匣整周徑向振動響應(yīng)

4 結(jié) 論

為了探究旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣碰摩對機(jī)匣節(jié)徑振動的激發(fā)規(guī)律，本文基于ANSYS有限元軟件，采用殼單元建立的圓柱殼模型來模擬機(jī)匣，建立了旋轉(zhuǎn)葉片-柔性機(jī)匣碰摩模型。通過計(jì)算動態(tài)間隙函數(shù)、機(jī)匣節(jié)點(diǎn)徑向位移和葉尖節(jié)點(diǎn)徑向位移來確定每個(gè)載荷步下葉尖節(jié)點(diǎn)和機(jī)匣對應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的間隙，從而判定碰摩是否發(fā)生。通過分析將機(jī)匣簡化為圓柱殼模型后碰摩對葉片振動響應(yīng)，機(jī)匣振動響應(yīng)及機(jī)匣節(jié)徑振動的影響，得到如下結(jié)論：

(1) 機(jī)匣簡化為圓柱殼模型后可以考慮碰摩對柔性機(jī)匣節(jié)徑振動的影響，而且相比于集中質(zhì)量點(diǎn)模型，碰摩力和葉尖彎曲位移響應(yīng)均呈現(xiàn)出降低趨勢。

(2) 柔性機(jī)匣碰摩節(jié)點(diǎn)處的徑向位移要大于非碰摩節(jié)點(diǎn)處的徑向位移，且碰摩節(jié)點(diǎn)和非碰摩節(jié)點(diǎn)徑向位移的頻率成分有較大區(qū)別。主要體現(xiàn)在碰摩節(jié)點(diǎn)及附近節(jié)點(diǎn)處頻率成分中會有低倍轉(zhuǎn)頻的出現(xiàn)，而遠(yuǎn)離碰摩處的節(jié)點(diǎn)處僅在高倍轉(zhuǎn)頻有響應(yīng)。

(3) 圓柱殼模型可以考慮碰摩過程中機(jī)匣的局部變形，并且能明顯觀察到碰摩激發(fā)出的機(jī)匣的節(jié)徑振動。就本文模型而言，碰摩激發(fā)的機(jī)匣變形是以7、9、10和13節(jié)徑為主導(dǎo)的耦合形式。