在“逆過來”做中走向“有序”

蔡雯麗

【摘? ?要】基于數(shù)據(jù)分析觀念內(nèi)涵的深刻理解，“可能性”一課的教學(xué)重點(diǎn)可以指向“體會數(shù)據(jù)隨機(jī)”上。具體而言，在教學(xué)安排上通過摸球游戲一摸到底，逆過來做實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中觸摸數(shù)據(jù)，感悟大小，感受從“無序”的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)變成“有序”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，最終形成隨機(jī)觀念并體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，達(dá)到體會數(shù)據(jù)隨機(jī)的目的。

【關(guān)鍵詞】可能性;實(shí)驗(yàn)操作;數(shù)據(jù)隨機(jī)

一、“實(shí)驗(yàn)必不可少”——厘清教材編寫意圖，定調(diào)實(shí)驗(yàn)操作

對于“可能性”這一內(nèi)容，人教版老教材中分兩次編排：一次是在三年級上冊，讓學(xué)生初步體驗(yàn)有些事件的發(fā)生是確定的，而有些事件的發(fā)生是不確定的，知道可能性大小和數(shù)量有關(guān)，能羅列出事件發(fā)生的所有可能性。

三年級上冊

第二次是在五年級上冊，讓學(xué)生在三年級基礎(chǔ)上深化，從定性向定量過渡，不但能用恰當(dāng)?shù)脑~語來表述事件發(fā)生可能性的大小，還要學(xué)會用分?jǐn)?shù)的形式來表示事件發(fā)生的概率。

五年級上冊

在新教材中，這一知識明顯有兩個(gè)變化。

1.內(nèi)容后移，合二為一：從兩個(gè)階段的教學(xué)變?yōu)橐粋€(gè)階段的教學(xué)，集中安排在五年級上冊進(jìn)行教學(xué)。

2.難度下降，重視隨機(jī)：三個(gè)例題承載的教學(xué)目標(biāo)不同，但是毫無疑問，對于“用分?jǐn)?shù)表示事件發(fā)生的概率，能計(jì)算一些簡單事件發(fā)生的可能性”已不做要求，而對“體驗(yàn)隨機(jī)事件”這一目標(biāo)做了明確的要求。

【思考分析】

為什么會有這兩個(gè)變化，對于“可能性”教學(xué)有什么指導(dǎo)意義？我們不難發(fā)現(xiàn)，無論新舊教材，例題都以“活動”展開，因此在“可能性”教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)必不可少！實(shí)驗(yàn)的目的是什么？作為一節(jié)統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域內(nèi)容的課，課標(biāo)中明確提出一個(gè)核心詞：數(shù)據(jù)分析觀念。即了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著的信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。

設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)，從而達(dá)到“體會數(shù)據(jù)隨機(jī)” 的目的，這就是筆者在“可能性”中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作的出發(fā)點(diǎn)！

二、“逆過來”做——基于前測學(xué)情分析，確定實(shí)驗(yàn)操作方式

學(xué)生已有的認(rèn)識和經(jīng)驗(yàn)，對于數(shù)學(xué)新內(nèi)容的理解和認(rèn)識，具有至關(guān)重要的作用。對于“可能性”需要達(dá)成的目標(biāo)，對于“數(shù)據(jù)隨機(jī)”，學(xué)生到底已經(jīng)站在了一個(gè)怎樣的起點(diǎn)上呢？為了找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的真正起點(diǎn)，我們對五年級學(xué)生進(jìn)行了前測（共 138人）。

【前測內(nèi)容】

【前測結(jié)果】

【思考分析】

數(shù)據(jù)隨機(jī)，它包含兩方面的意義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的;另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1.觸摸數(shù)據(jù)，讓數(shù)據(jù)說話。從前測調(diào)查可見，對于小學(xué)階段唯一一次概率教學(xué)的可能性知識，學(xué)生對于用“一定”“可能”“不可能”描述簡單隨機(jī)現(xiàn)象以及可能性大小與數(shù)量有關(guān)沒有困難，那么設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)需要注意什么？實(shí)驗(yàn)的目的不應(yīng)只是學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)的展示，更應(yīng)該是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的發(fā)展！我們需要引導(dǎo)學(xué)生通過蘊(yùn)含隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)過程，在實(shí)驗(yàn)中逐步感受隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)， 體會相應(yīng)的思維方式，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)的角度看待可能性大小，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)分析問題的習(xí)慣。

2.“逆過來”做，感受規(guī)律性。從前測中我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的理解有困難，那么這就是本節(jié)課實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)目標(biāo)。為了達(dá)到這一目標(biāo)，我們嘗試“逆過來”做實(shí)驗(yàn)，即不知道袋中球個(gè)數(shù)的情況下進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，得到數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)不斷增加的情況下，結(jié)果呈現(xiàn)一定的規(guī)律，利用規(guī)律，學(xué)生對袋中球的情況進(jìn)行科學(xué)合理的推斷。

三、“一摸二放三再摸”——分步推進(jìn)實(shí)驗(yàn)操作，體驗(yàn)隨機(jī)觀念

基于學(xué)生的學(xué)情分析，將教材例題合理整合，設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)操作，配以有效的引導(dǎo)，我們或許可以這么做：

[解構(gòu)1][解構(gòu)2][解構(gòu)3][對于“隨機(jī)”已有的了解][感受有“隨機(jī)”那么回事][體會“隨機(jī)”規(guī)律要多次實(shí)驗(yàn)][應(yīng)用“隨機(jī)”發(fā)現(xiàn)規(guī)律][重建]

在“足夠多的數(shù)據(jù)”實(shí)驗(yàn)中合理進(jìn)行引導(dǎo)，將學(xué)生的思維從數(shù)據(jù)的“無序”狀態(tài)引入數(shù)據(jù)的“有序”狀態(tài)，感受規(guī)律性，體會數(shù)據(jù)隨機(jī)的思想，更好地發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。

思考一：一摸，觸摸“隨機(jī)”，體會“無序”

【教學(xué)片段】出示游戲規(guī)則

要求：誰來摸一摸，看看能不能獲獎？

3名學(xué)生都摸出藍(lán)球。

提問：看來大家運(yùn)氣都不太好，摸到現(xiàn)在，你有什么想說的？

生：袋子里藍(lán)球有很多。

生：老師太賴皮了，有可能一個(gè)黃球都沒有。

師：看來同學(xué)們對袋子里的球有疑問，想看嗎？

（球一個(gè)個(gè)拿出來，5個(gè)藍(lán)球）

師：現(xiàn)在你又有什么想說的？

生：都是藍(lán)球，怎么可能拿出黃球呢？

生：怎么摸都摸不到獎品。

師（小結(jié)）：是呀，袋子里都是藍(lán)球，所以摸出的球一定是藍(lán)球的，也就是說不可能摸到黃球。看來，抽獎箱里只有藍(lán)球的時(shí)候，摸一個(gè)球它的結(jié)果是確定的。這樣摸獎公平嗎？現(xiàn)在我放入黃球（一個(gè)一個(gè)放，袋中共5黃5藍(lán)），搖均勻，現(xiàn)在你們覺得公平嗎？

生（齊聲）：公平。

師：采訪你一下，你希望摸到什么顏色的球？一定能摸到嗎？那就請你摸一摸吧！（生摸到黃球）

師：再請一個(gè)學(xué)生來摸一摸，他會摸到什么顏色的球呢？一定是黃色嗎？

生：可能是黃色，也有可能是藍(lán)色。

師（小結(jié)）：通過剛才的摸球游戲，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)箱子里有藍(lán)球、有黃球時(shí)，摸一個(gè)球，會有兩種結(jié)果，可能摸到藍(lán)球，也可能會摸到黃球。能確定嗎？（板書：不確定）

【思考分析】

實(shí)驗(yàn)是否需要做？這是筆者首先思考的問題?；趯W(xué)情，學(xué)生知道結(jié)果的確定性與不確定性和袋中球的顏色有關(guān)，那么實(shí)驗(yàn)還有沒有做的必要性呢？張丹教授曾指出：一部分學(xué)生對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不敏感，一個(gè)重大原因就是相關(guān)實(shí)驗(yàn)做得太少，沒有經(jīng)驗(yàn)積累。在小學(xué)階段設(shè)置簡單的“概率”內(nèi)容，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維，讓學(xué)生學(xué)會用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是用確定的思維方式去理解事物。基于“概率”知識的本性和學(xué)生隨機(jī)思想的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)是必要的！

“隨機(jī)”，通俗地說，就是實(shí)驗(yàn)結(jié)果誰也不知道下一次是什么，但經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)后其結(jié)果又有點(diǎn)規(guī)律。要讓學(xué)生知道有“隨機(jī)”這么件事兒，但是并不隨人的意念，即不管多想摸黃球，摸到黃球和藍(lán)球皆有可能，不能確定。

從建構(gòu)主義的立場出發(fā)，學(xué)習(xí)并非一種機(jī)械的、高度統(tǒng)一的過程。第一次摸球?qū)嶒?yàn)，目的停留于“隨機(jī)”“不確定”層面，經(jīng)歷“躍躍而試的沖動”→“對袋內(nèi)裝球的懷疑”→ “知道袋中球后理性地嘗試”的過程，從確定思維到不確定思維，引導(dǎo)學(xué)生走向?qū)Α半S機(jī)”的認(rèn)識，明白“隨機(jī)”的那么件事兒。在第二輪嘗試摸球的實(shí)驗(yàn)中，讓學(xué)生進(jìn)行預(yù)測分析，明白結(jié)果是不確定的，但是不確定中還存在著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律。這樣就使摸球游戲不僅是一次游戲，更多的是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)材料，經(jīng)歷從生活經(jīng)驗(yàn)走向數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。充分感受不確定事件是可以重復(fù)發(fā)生的，雖然摸到的都是黃球，但是是哪一個(gè)黃球不確定，在一個(gè)個(gè)實(shí)驗(yàn)中觸摸“隨機(jī)”，體會“無序”。

思考二：二放，創(chuàng)造“隨機(jī)”，感悟“大小”

【教學(xué)片段】

師：請你自己來設(shè)計(jì)一個(gè)抽獎游戲，和同桌說一說你會怎么放球。

交流：這么多情況，能用上剛才學(xué)到的“可能”“一定”“不可能”來評價(jià)一下嗎？

生1：10藍(lán)，一定能摸到藍(lán)球，不可能摸到黃球。

生2：10黃，一定能摸到黃球，不可能摸到藍(lán)球。

生3：其他幾種情況，有可能摸到藍(lán)球，也可能摸到黃球，不確定。

師：這么多方案，如果是你，你會選擇哪個(gè)方案來抽？說說你的想法？

生1：我會選擇1號方案，這樣我就一定能中獎了。

師：他是從誰的角度考慮的，如果老板，他同意嗎？

……

師小結(jié)：看來都關(guān)注到了黃球和藍(lán)球的個(gè)數(shù)，認(rèn)為個(gè)數(shù)多的，摸到的可能性就大，個(gè)數(shù)少的，摸到的可能性就小。

【思考分析】

實(shí)驗(yàn)如何進(jìn)行到底？實(shí)驗(yàn)必須做，不可能是把幾個(gè)實(shí)驗(yàn)做一個(gè)簡單的加法，那么如何將摸球?qū)嶒?yàn)的情境貫穿始終，在實(shí)驗(yàn)不同環(huán)節(jié)達(dá)成不同的目標(biāo)，真正做到一摸到底呢？五年級學(xué)生的思維處于形象思維逐步向抽象思維過渡的發(fā)展階段，在可能性概念教學(xué)中，重視直觀性、感知、體驗(yàn)，無疑是必要的。但如果止步于對事物的感知，忽視對概念本質(zhì)特征的抽象與概括，這樣做實(shí)際上低估了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，勢必影響其抽象能力、概括能力和推理能力的發(fā)展。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自己來設(shè)計(jì)游戲，并且用上“可能”“一定”“不可能”來描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步感受不確定現(xiàn)象。自己設(shè)計(jì)如何放球，關(guān)注的焦點(diǎn)是探索活動中摸球的規(guī)律，是不確定現(xiàn)象的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷對隨機(jī)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步豐富的過程，為后面學(xué)習(xí)概率大小的規(guī)律性埋下基礎(chǔ)。生活中充滿了數(shù)學(xué)問題，但不是所有的問題都是數(shù)學(xué)問題。只有對生活中的現(xiàn)象進(jìn)行抽象、推理、再創(chuàng)造，才能成為數(shù)學(xué)問題?！叭绻闶穷櫩?，你會選擇哪個(gè)袋子？”“如果你是老板呢？”學(xué)生在這樣的角色代入中圍繞可能性大小進(jìn)行探討，各抒己見，是對隨機(jī)現(xiàn)象的再次解讀，學(xué)生在自主創(chuàng)造“隨機(jī)”的過程中，感悟“大小”。

思考三：三摸，摸出“規(guī)律”，走向“有序”

【教學(xué)片段】

引導(dǎo)：這里有一個(gè)袋子，按同學(xué)們剛才設(shè)計(jì)的方案放球，不直接打開袋子看，我們怎么做，可以比較準(zhǔn)確地猜出黃球和藍(lán)球誰多誰少呢？

生：一個(gè)一個(gè)摸出來。

生：多摸幾次看看。

（師呈現(xiàn)PPT要求）

第一次猜測：從你們組摸出的黃球和藍(lán)球個(gè)數(shù)來看，你們的猜測是怎樣的？為什么這么猜？

師：有11個(gè)小組匯報(bào)了發(fā)現(xiàn)，你有什么想說的？

師追問：有什么辦法可以進(jìn)一步提高猜測的準(zhǔn)確性？

第二次猜測：根據(jù)12個(gè)小組摸球的結(jié)果，你們小組現(xiàn)在的猜測是怎樣的？為什么改變主意了？

第三次猜測：如果想要多看幾組數(shù)據(jù)，讓實(shí)驗(yàn)的結(jié)果更準(zhǔn)確一些，我們怎么操作？

電腦模擬實(shí)驗(yàn)：

思考：我們已經(jīng)模擬了3次摸球1000次的結(jié)果，看著這個(gè)摸球結(jié)果，現(xiàn)在你們的猜測是怎樣的？而且你們能不能大膽猜測一下，可能黃球有幾個(gè)，藍(lán)球有幾個(gè)？

師：到底怎么樣呢？最終還得——把袋子打開看看。

師（提問）：通過剛才的實(shí)驗(yàn)過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師（小結(jié)）：雖然每一次摸到的球的顏色不確定，但是黃球被摸到的次數(shù)多，說明它被摸到的可能性就大，可以推斷出袋子中黃球的數(shù)量比較多。摸的次數(shù)少，可能會發(fā)生意外，但是實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，我們的猜測就會離真實(shí)情況越來越接近。

【思考分析】

實(shí)驗(yàn)如何操作？在這個(gè)過程中，一般有兩種操作方法，一種是正向做實(shí)驗(yàn)，即給出袋中藍(lán)球黃球個(gè)數(shù)，驗(yàn)證可能性大小，用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證猜測;一種是逆過來做，也就是筆者在本節(jié)課中所采取的方式。不正向地給出袋中球的數(shù)量，通過實(shí)驗(yàn)從數(shù)據(jù)中獲取信息，對總體作出推斷。

史寧中教授在《“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議》這篇文章中提出：對于先給出定義，教師往往比較習(xí)慣，而對于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷，教師往往比較陌生。舉個(gè)例子：一個(gè)袋子里有5個(gè)球，4個(gè)白球、1個(gè)紅球，如果讓學(xué)生通過摸來驗(yàn)證出現(xiàn)白球的可能性是[45]、出現(xiàn)紅球的可能性是[15]，這不是統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)是這樣的，告訴學(xué)生袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的，讓學(xué)生去摸，摸到一定程度的時(shí)候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進(jìn)一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時(shí)候，能夠估計(jì)出來幾個(gè)白球和幾個(gè)紅球。這才是統(tǒng)計(jì)的過程。

課堂中我們可以看出學(xué)生對實(shí)驗(yàn)操作、數(shù)據(jù)分析的理解仍然處于“用確定性思維代替不確定思維”的階段。學(xué)生對于實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加會提高推斷可靠性的認(rèn)識還是比較缺乏的，所以怎樣在“足夠多的數(shù)據(jù)”實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生感受到猜測規(guī)律是我們要解決的問題。

因?yàn)閿?shù)據(jù)是隨機(jī)的，用部分的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)有時(shí)可能會估計(jì)得準(zhǔn)一些，有時(shí)會偏差很大，三次猜測讓學(xué)生體會這種推斷并不是“瞎猜”，而是在足夠多的實(shí)驗(yàn)過程中找到一定的規(guī)律。三次猜測循序而進(jìn)，體會在次數(shù)足夠多的情況下，讓學(xué)生充分感受到“隨機(jī)”過程中的規(guī)律：多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中其出現(xiàn)的頻繁程度就是一件事情出現(xiàn)的可能性大小。通過這一實(shí)驗(yàn)過程，學(xué)生從模糊地猜到有根據(jù)地進(jìn)行推斷，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的思想，深刻感悟隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，摸出“規(guī)律”，走向 “有序”。

課堂實(shí)驗(yàn)的目的——形成隨機(jī)觀念并體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。通過摸球游戲一摸到底，在實(shí)驗(yàn)中感受從“無序”的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)變成“有序”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律！

（浙江省杭州市學(xué)軍小學(xué)之江校區(qū)? ?310024）