從小數(shù)除法看“運(yùn)算感”

【摘? ?要】我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于計(jì)算教學(xué)，通常把目標(biāo)定位于算法和算理。事實(shí)上，這樣的定位并沒(méi)有將運(yùn)算過(guò)程的全部?jī)?nèi)容充分發(fā)揮出來(lái)。因此需要拓展對(duì)于運(yùn)算過(guò)程的認(rèn)識(shí)，從運(yùn)算產(chǎn)生的背景、對(duì)算式的理解以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果的預(yù)測(cè)等多角度看待運(yùn)算過(guò)程。為此有必要將計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)拓展為“運(yùn)算感”。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算;計(jì)算;運(yùn)算感;算法;算理;小數(shù)除法

“小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)，通常安排在四年級(jí)或五年級(jí)的數(shù)學(xué)課程中。學(xué)生在自二年級(jí)開(kāi)始的整數(shù)除法學(xué)習(xí)中，所經(jīng)歷的兩數(shù)相除運(yùn)算的活動(dòng)，分別是“等分（Partition）”和“包含（Quotition）”。比如對(duì)于算式[12÷3=？]，可以理解為12個(gè)蘋(píng)果平均分給3人，每人得到多少個(gè)？還可以理解為12個(gè)蘋(píng)果平均分給若干人，每人分得3個(gè)，一共分給多少人？由此帶來(lái)關(guān)于除法的經(jīng)驗(yàn)中就會(huì)包括如下內(nèi)容：

●除法運(yùn)算源于“分”的活動(dòng)。

●被除數(shù)是分的對(duì)象，除數(shù)表示分的方式，商表示分的結(jié)果。因此除數(shù)必須是整數(shù)，而且被除數(shù)應(yīng)當(dāng)大于除數(shù)和商。

基于這些認(rèn)識(shí)開(kāi)始小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“坎兒”，也就是如何解釋含有小數(shù)的除法算式的含義？比如面對(duì)[0.2÷0.8]這樣的算式，被除數(shù)小于除數(shù)，而且除數(shù)0.8小于1，利用整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，難以構(gòu)建出“分”的活動(dòng)與這個(gè)算式相對(duì)應(yīng)。因此對(duì)于小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，首先應(yīng)當(dāng)是拓展對(duì)于兩數(shù)相除過(guò)程所對(duì)應(yīng)的背景活動(dòng)的認(rèn)識(shí)。

一、感受差異，澄清誤解

學(xué)習(xí)小數(shù)除法的第一步，可以是通過(guò)與整數(shù)除法的對(duì)比，感受兩者之間的不同，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)除法產(chǎn)生的背景。比如，首先出示兩個(gè)語(yǔ)言結(jié)構(gòu)完全相同的問(wèn)題作為學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生思考討論。

任務(wù)1：用盡可能多的方法解決下面兩個(gè)問(wèn)題，并對(duì)比兩個(gè)問(wèn)題的相同之處和不同之處。

（1）如果買(mǎi)3千克蘋(píng)果，共花費(fèi)18元，那么1千克蘋(píng)果多少元？

（2）如果買(mǎi)0.5千克蘋(píng)果，共花費(fèi)3元，那么1千克蘋(píng)果多少元？

問(wèn)題（1）是學(xué)生已經(jīng)熟悉的平均分類(lèi)型，把3千克蘋(píng)果平均分為3份，其中的1份的價(jià)格就是1千克蘋(píng)果的價(jià)格，因此不難列出除法算式[18÷3]，求出1千克蘋(píng)果的價(jià)格等于6元。但對(duì)于問(wèn)題（2），運(yùn)用“分”的方法就很難想到列出算式[3÷0.5]，求出蘋(píng)果的單價(jià)。

按照Siegbert Schmidt等人對(duì)日本五年級(jí)學(xué)生的研究，學(xué)生面對(duì)類(lèi)似于問(wèn)題（2）時(shí)，首先不是列出除法算式，而后進(jìn)行計(jì)算，而是運(yùn)用自身已有經(jīng)驗(yàn)，直接進(jìn)行問(wèn)題的解決。[1]多數(shù)學(xué)生可能運(yùn)用的方法主要有兩個(gè)。

第一個(gè)是基于對(duì)小數(shù)0.5的認(rèn)識(shí)，以及“加倍取半”的思維方式。知道0.5千克就是1千克的一半，也就是說(shuō)1千克是0.5千克的2倍，因此1千克蘋(píng)果的價(jià)格應(yīng)當(dāng)是3元的2倍，運(yùn)用乘法算式[3×2]，可以求出1千克蘋(píng)果等于6元。這樣的過(guò)程其實(shí)是運(yùn)用了乘法的思維。

第二個(gè)可能運(yùn)用的方法是將0.5千克和3元同時(shí)擴(kuò)大10倍，也就是買(mǎi)5千克蘋(píng)果需要30元，因此1千克蘋(píng)果的價(jià)格可以用[30÷5]計(jì)算出來(lái)，等于6元。這樣的方法是在無(wú)意之中使用了除法商不變的規(guī)律。實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了比例的思維方式（Proportional Thinking），用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光看待乘與除的關(guān)系。利用表格可以把這樣的關(guān)系清晰地表示出來(lái)：

[價(jià)格（元） 3 ？ 18 …… 30 數(shù)量（千克） 0.5 1 3 …… 5 ]

問(wèn)題中出現(xiàn)了“千克”和“元”兩類(lèi)不同的量，用變化的眼光看，一類(lèi)量增加或者減少，另一類(lèi)量也隨之增加或者減少相同的倍數(shù)。這樣的過(guò)程中，就可以感受到[3÷0.5]與[30÷5]的結(jié)果是相同的。同時(shí)可以感受到，當(dāng)除數(shù)小于1時(shí)，除法運(yùn)算使得結(jié)果變大，拓展了整數(shù)除法中“越除越小”的認(rèn)識(shí)。

在兩個(gè)問(wèn)題的對(duì)比討論中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題的共同點(diǎn)。第一個(gè)問(wèn)題的算式[18÷3=]？，實(shí)質(zhì)上是在問(wèn)“幾的3倍等于18”;按照這樣的理解，第二個(gè)問(wèn)題同樣可以列出算式[3÷0.5=]？，實(shí)質(zhì)上是問(wèn)“幾的0.5倍是3”。學(xué)生過(guò)去對(duì)于“倍”通常理解為擴(kuò)大，有了小數(shù)之后，倍同樣可以描述縮小。這樣就將過(guò)去對(duì)于除法運(yùn)算單一的“平均分”的認(rèn)識(shí)，拓展為“乘法運(yùn)算逆運(yùn)算”。整數(shù)除法通常表達(dá)的是“縮小”的過(guò)程，小數(shù)除法也可以表示“擴(kuò)大”的過(guò)程。

二、鞏固提升，綜合應(yīng)用

通過(guò)任務(wù)1兩個(gè)問(wèn)題的思考討論，學(xué)生可以初步感知到小數(shù)除法與整數(shù)除法的差異，小數(shù)除法計(jì)算主要依賴將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，以及用乘法看待除法。在此基礎(chǔ)上，一方面這樣的方法需要進(jìn)一步鞏固，另一方面也需要感知到加倍取半方法的局限性。為此可以出示下面的任務(wù)2讓學(xué)生思考討論。

任務(wù)2：用盡可能多的方法解決下面兩個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比，找到兩個(gè)問(wèn)題的不同之處。

（1）如果買(mǎi)2.5千克蘋(píng)果，共花費(fèi)15元，那么1千克蘋(píng)果多少元？

（2）如果買(mǎi)2.4千克蘋(píng)果，共花費(fèi)14.4元，那么1千克蘋(píng)果多少元？

對(duì)于問(wèn)題（1），同樣可以運(yùn)用加倍取半的方法，從“2.5千克花費(fèi)15元”，想到“5千克花費(fèi)30元”，因此1千克蘋(píng)果價(jià)格可以列式為：[15÷2.5=30÷5]，計(jì)算結(jié)果為6元。

對(duì)于問(wèn)題（2），由于2.4加倍后仍然是小數(shù)，所以自然的想法是前面使用過(guò)的將2.4千克和14.4元同時(shí)擴(kuò)大10倍，將[14.4÷2.4]改變?yōu)檎麛?shù)除法算式[144÷24]，計(jì)算結(jié)果為6元。通過(guò)對(duì)任務(wù)2的思考討論，可以將學(xué)生對(duì)于乘法和除法兩者關(guān)系的理解拓展為如下的認(rèn)識(shí)：

●除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)的未必一定是分的活動(dòng)，經(jīng)常是乘法的逆運(yùn)算導(dǎo)致除法運(yùn)算的出現(xiàn)。

●除法算式的計(jì)算，基本思路是將小數(shù)除法變?yōu)檎麛?shù)除法。

鑒于學(xué)生在實(shí)際情境中經(jīng)常會(huì)混淆乘法和除法運(yùn)算，因此還可以讓學(xué)生利用計(jì)算器，經(jīng)歷乘法和除法同時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題解決過(guò)程。

任務(wù)3：每個(gè)國(guó)家都有自己的貨幣，因此需要將貨幣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。請(qǐng)你使用計(jì)算器，分別解決下面兩種貨幣轉(zhuǎn)換的問(wèn)題。

（1）按照今天的匯率，用0.88元人民幣可以兌換0.13美元。那么美元與人民幣的匯率是怎樣的？如果在美國(guó)消費(fèi)了99美元，相當(dāng)于人民幣多少元？

（2）按照今天的匯率，用0.66元人民幣可以兌換10.96日元。那么日元和人民幣之間的匯率是怎樣的？如果在日本消費(fèi)了400日元，相當(dāng)于人民幣多少元？

這兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，目的是為了澄清學(xué)生對(duì)于除法算式中，被除數(shù)要比除數(shù)和商大這一誤解。所謂描述匯率無(wú)非是要計(jì)算兌換的問(wèn)題。因此學(xué)生需要思考的問(wèn)題可能是如下四個(gè)：

●1美元可以兌換多少人民幣？（算式：0.88÷0.13）

●1元人民幣可以兌換多少美元？（算式：[0.13÷0.88]）

●1日元可以兌換多少人民幣？（算式：[0.66÷10.96]）

●1元人民幣可以兌換多少日元？（算式：[10.96÷0.66]）

思考過(guò)程中出現(xiàn)的算式既有被除數(shù)大于除數(shù)的情況，也有被除數(shù)小于除數(shù)的情況;而且除數(shù)有大于1的情況，也有除數(shù)小于1的情況。因此學(xué)生可以充分感受到除法運(yùn)算從整數(shù)到小數(shù)所發(fā)生的變化，拓展對(duì)于除法的認(rèn)識(shí)。

對(duì)于“相當(dāng)于多少人民幣”的問(wèn)題，事實(shí)上是一個(gè)開(kāi)放的設(shè)計(jì)?？赡苡贸朔?，也可能用除法。比如，如果已知1美元兌換6.77元人民幣，那么消費(fèi)99美元相當(dāng)于人民幣的數(shù)額就要用乘法[99×6.77]計(jì)算;如果已知1元人民幣可以兌換0.15美元，那么就要用除法算式[99÷0.15]計(jì)算。為了進(jìn)一步將學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與小數(shù)除法聯(lián)系起來(lái)，可以給學(xué)生出示更加開(kāi)放的任務(wù)。

任務(wù)4：舉出盡可能多的實(shí)例，解釋除法算式[0.2÷0.8]的含義。

面對(duì)這樣的問(wèn)題，整數(shù)除法中“分”的活動(dòng)已經(jīng)不再適用，期望學(xué)生能夠運(yùn)用在小數(shù)乘法中積累的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用已經(jīng)熟悉的量進(jìn)行理解。

比如，從長(zhǎng)度的角度看，兩根繩子長(zhǎng)度分別為0.2米和0.8米，如果要描述兩者的關(guān)系，可以說(shuō)：0.8米比0.2米多，或者0.2米比0.8米少“0.8-0.2”米。也可以說(shuō)：0.8米是0.2米的“[0.8÷0.2]”倍;還可以說(shuō)：0.2米是0.8米的“[0.2÷0.8]”倍。

如果從行程問(wèn)題看，一只螞蟻用0.8分鐘爬行了0.2米，那么“[0.2÷0.8]”就可以表示螞蟻每分鐘爬行的距離，也就是螞蟻的爬行速度。

總之，鑒于小數(shù)除法的實(shí)際意義與學(xué)生已經(jīng)熟悉的整數(shù)除法的意義有很大差異，因此學(xué)習(xí)小數(shù)除法之初，應(yīng)當(dāng)把學(xué)習(xí)目標(biāo)定位于“除”運(yùn)算產(chǎn)生的背景以及對(duì)除法算式自身結(jié)構(gòu)的理解，而不是豎式計(jì)算的方法。

三、運(yùn)算感

美國(guó)華盛頓州立大學(xué)David Slavit教授曾經(jīng)提出“運(yùn)算感（Operation Sense）”的概念，[2]用于描述學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算過(guò)程中的多種能力，這些能力可以表現(xiàn)為許多方面。

第一，對(duì)于一個(gè)算式自身的理解。比如面對(duì)算式[0.2÷0.8]，首先應(yīng)當(dāng)理解其中的0.2與0.8兩個(gè)小數(shù)的含義，比如0.2是0.1的2倍，是1的五分之一。同時(shí)應(yīng)當(dāng)理解“[÷]”的多重含義，可以表示“分”的過(guò)程，也可以表示乘法的逆運(yùn)算等。對(duì)于算式自身的理解還應(yīng)當(dāng)包括運(yùn)算所遵循的規(guī)律，比如除法運(yùn)算具備商不變的規(guī)律。如果除數(shù)大于1，那么除得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)小于被除數(shù)，如果除數(shù)小于1，那么結(jié)果應(yīng)當(dāng)大于被除數(shù)，這一點(diǎn)與乘法縮放過(guò)程正好相反。[3]

第二，對(duì)算式產(chǎn)生背景的理解。比如對(duì)于[0.2÷0.8]，應(yīng)當(dāng)知道什么情況下會(huì)出現(xiàn)這樣的算式。有時(shí)是描述兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，有時(shí)是描述兩類(lèi)按比例變化的量之間轉(zhuǎn)換的率（Rate），也有時(shí)是在乘法運(yùn)算中，已知乘積和一個(gè)因數(shù)的情況下，求另外一個(gè)因數(shù)。

第三，與其他算式之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。對(duì)于[0.2÷0.8]，運(yùn)用商不變規(guī)律可以知道，與[2÷8]的結(jié)果相同。根據(jù)乘除運(yùn)算的互逆關(guān)系，可以知道兩個(gè)算式[0.2÷0.8=0.25]與[0.25×0.8=0.2]描述的是同樣的數(shù)量關(guān)系。

第四，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)與解釋。在沒(méi)有計(jì)算之前，對(duì)于算式[0.2÷0.8]能夠預(yù)測(cè)出其結(jié)果小于1，并且大于0.2，理由是因?yàn)楸怀龜?shù)0.2小于除數(shù)0.8，并且除數(shù)0.8小于1。

第五，熟悉特殊的運(yùn)算結(jié)果。比如[0.2÷2=0.1]，[0.2÷0.8]實(shí)際就是四分之一，用小數(shù)表示是0.25。諸如此類(lèi)的事實(shí)，對(duì)于運(yùn)用多種方法實(shí)施計(jì)算，往往是有益的。

第六，能夠運(yùn)用多視角以及多種方法得到運(yùn)算結(jié)果。比如可以運(yùn)用商不變規(guī)律將[0.2÷0.8]改變?yōu)閮蓚€(gè)整數(shù)2與8的除法運(yùn)算。還可以將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大5倍，使得算式改變?yōu)閇1÷4]，繼續(xù)將1擴(kuò)大100倍，將算式改變?yōu)閇100÷4]，此時(shí)利用整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)立刻知道結(jié)果為25，縮小100倍就得到[0.2÷0.8]的結(jié)果為0.25。

第七，能夠在不同語(yǔ)境中清晰地辨別應(yīng)當(dāng)采用的運(yùn)算類(lèi)型。比如如果已知1美元兌換6.7元人民幣;1元人民幣可以兌換16.4日元?，F(xiàn)在用1000元人民幣，兌換為美元，或者兌換為日元，所采用的運(yùn)算類(lèi)型就是不同的。

我國(guó)的計(jì)算教學(xué)通常強(qiáng)調(diào)“算法”和“算理”，所謂算法往往僅理解為諸如豎式等標(biāo)準(zhǔn)算法，而算理通常理解為這樣標(biāo)準(zhǔn)算法能夠?qū)嵤┑睦碛?。這樣的理解顯然是不夠的，為了發(fā)揮數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程更大的育人功能，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把算法和算理的說(shuō)法拓展為“運(yùn)算感”。

參考文獻(xiàn)：

[1]Siegbert Schmidt and Werner Weiser. Semantic Structures of One-Step Word Problems Involving Multiplication or Division[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 28， No. 1 （Jan.，1995），pp.55-72.

[2]David Slavit. The Role of Operation Sense in Transitions from Arithmetic to Algebraic Thought[J]. Educational Studies in Mathematics，Vol.37， No.3（1998-1999），pp.251-274.

[3]郜舒竹.小數(shù)乘法起點(diǎn)在哪[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（9）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）