錯(cuò)有其源，糾有其法

李明哲 周青燕

作為一名一線教師，通讀了《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2018年第11期文章之后，感受到每一篇文章充滿著智慧和藝術(shù)，并引起筆者深深的思考與感悟。特別是鄭倩老師和郜舒竹教授撰寫的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺(jué)與誤解》（見第4至5頁(yè)），引用了豐富的國(guó)外文獻(xiàn)，具有廣闊的國(guó)際視野，并以心理學(xué)理論為依據(jù)，使研究具有堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ);問(wèn)題描述客觀，貼近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際，有很強(qiáng)的針對(duì)性，筆者感觸頗為深刻。

觸動(dòng)1：有一種錯(cuò)叫直覺(jué)的錯(cuò)

“錯(cuò)誤源于誤解，誤解源于直覺(jué)”，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很多，有必然性，也有普遍性，在探尋學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的時(shí)候，多了一點(diǎn)對(duì)學(xué)生的包容之心，那就是學(xué)生的錯(cuò)誤還有可能源于直覺(jué)與誤解。

文章中，“以色列學(xué)者菲茨拜因在其研究中指出：直覺(jué)是基于判斷信息種類或關(guān)系的思維模式和行為模式。在此思維模式的作用下會(huì)形成有規(guī)律的行動(dòng)。菲茨拜因?qū)⑷说睦斫夂驼J(rèn)知過(guò)程分為兩類：一類是直覺(jué)的，一類是邏輯的。學(xué)生受初學(xué)知識(shí)的影響，常因?yàn)橹庇X(jué)認(rèn)知導(dǎo)致最后結(jié)果的錯(cuò)誤?！盵1]

這樣的錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不乏實(shí)例，比如：

（一）視覺(jué)直觀出現(xiàn)的錯(cuò)覺(jué)

學(xué)生會(huì)認(rèn)為圖1雞與鴨一樣多，圖2松果比松鼠多1。

出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因是學(xué)生在“比多少”時(shí)，單憑視覺(jué)上的直觀就作出了判斷（圖1雞和鴨兩種動(dòng)物各自排列都非常整齊，且上下首尾對(duì)齊;圖2松果和松鼠同樣各自排列整齊，且憑直觀感覺(jué)是多1），兩個(gè)圖都沒(méi)有采用一一對(duì)應(yīng)的方法比較物體的多少，故意讓人從視覺(jué)上出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（二）視覺(jué)干擾引發(fā)的錯(cuò)覺(jué)

在上圖中學(xué)生會(huì)正確地判斷出圖3①號(hào)的面積最大，圖4乙的面積大于甲的面積，從而引發(fā)錯(cuò)覺(jué)，面積越大，周長(zhǎng)也越大。特別是在學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)之后，學(xué)生計(jì)算一個(gè)物體或一個(gè)圖形的周長(zhǎng)基本上不會(huì)有問(wèn)題，在教完面積時(shí)，讓學(xué)生計(jì)算一個(gè)物體或一個(gè)圖形的面積，學(xué)生也能十分輕松地完成。但是在后面既有周長(zhǎng)又有面積的練習(xí)中，學(xué)生就容易混淆了，在求周長(zhǎng)時(shí)受到面積的干擾，無(wú)法從二維的面積里剝離出一維的周長(zhǎng)。

（三）心智不成熟產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué)

這是因?yàn)閷W(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，可能只關(guān)注到眼前個(gè)別信息，從而產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué)。他們認(rèn)為題目中只要出現(xiàn) “走了、游走、去掉、吃了、用掉”等這樣的信息，一定就是用減法解決，筆者認(rèn)為這是心智不成熟的一種表現(xiàn)。

著名的兒童心理學(xué)家、認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰通過(guò)研究表明，加減法的學(xué)習(xí)必須深刻理解對(duì)整體和部分的包含邏輯。低段學(xué)生對(duì)這種理解是有困難的，當(dāng)呈現(xiàn)1白9棕的木念珠時(shí)，問(wèn)：“這里的木念珠多還是棕色念珠多？”學(xué)生會(huì)認(rèn)為棕色的多。當(dāng)追問(wèn)：“棕色念珠是木念珠嗎？”學(xué)生回答：“是?！痹俅螁?wèn)：“這里的木念珠多還是棕色念珠多？”這個(gè)年齡段還有很多人會(huì)再次回答棕色念珠多。

皮亞杰通過(guò)研究得出結(jié)論：四到七歲的學(xué)生理解整體和部分包含邏輯有三個(gè)層次。

第一層次：堅(jiān)持說(shuō)棕色念珠多。

第二層次：在起初回答棕色念珠多，經(jīng)過(guò)教師的追問(wèn)后，糾正了自己的想法，學(xué)生是在直覺(jué)水平上或通過(guò)試誤掌握了這一觀念。

第三層次：學(xué)生毫不猶豫地回答木念珠多。

當(dāng)學(xué)生處于第一、二層次的理解，所理解的關(guān)系是直覺(jué)的，依賴實(shí)際知覺(jué)，不能形成穩(wěn)定的結(jié)合，對(duì)理解“已知兩個(gè)數(shù)和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)用減法算”的應(yīng)用題是有很大障礙的。不達(dá)到第三層次的理解，學(xué)生會(huì)像皮亞杰所說(shuō)的：“當(dāng)兒童一注意部分，就忘記整體。當(dāng)念珠分為棕色和白色兩個(gè)集合時(shí)，全部念珠的集合就消失了?！盵2]

（四）知識(shí)儲(chǔ)備不夠造成的錯(cuò)覺(jué)

郜舒竹教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》一文的“直觀和經(jīng)驗(yàn)不可靠”一章中提出：在小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)“圓錐體積”時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)疑惑：“既然圓柱和圓錐分別是由長(zhǎng)方形和直角三角形圍繞一條邊旋轉(zhuǎn)而成，旋轉(zhuǎn)前三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的二分之一，那么旋轉(zhuǎn)后的體積為什么不是二分之一，而是三分之一了呢？”（圖7）

其實(shí)，我們大家知道，如圖8，設(shè)想一個(gè)點(diǎn)距離旋轉(zhuǎn)軸3厘米，一個(gè)點(diǎn)距離旋轉(zhuǎn)軸4厘米，那么轉(zhuǎn)出的圓周長(zhǎng)不一樣，所以旋轉(zhuǎn)出來(lái)的體，不僅跟旋轉(zhuǎn)前的面的大小有關(guān)，還與這個(gè)旋轉(zhuǎn)面到旋轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)。但對(duì)于面來(lái)說(shuō)（如圖9），到旋轉(zhuǎn)軸的距離從面的重心開始，所以圖中點(diǎn)M是三角形ABD的重心，N是三角形BCD的重心，線段NH的長(zhǎng)度是線段AB長(zhǎng)度的三分之一，線段MG的長(zhǎng)度是線段AB長(zhǎng)度的三分之二，因此，三角形ABD的重心到旋轉(zhuǎn)軸的距離就是三角形BDC重心到旋轉(zhuǎn)軸距離的2倍。因此旋轉(zhuǎn)出來(lái)的體積也是2倍關(guān)系，也就是說(shuō)圓錐占整個(gè)體積的三分之一。[3]

觸動(dòng)2：有一種教叫從錯(cuò)誤開始

從直覺(jué)的角度出發(fā)，可以幫助我們理解學(xué)生錯(cuò)誤的合理性，準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的困難所在，可以根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的直覺(jué)錯(cuò)誤展開教學(xué)。

比如文章中針對(duì)三角形內(nèi)角和的問(wèn)題時(shí)，意識(shí)到學(xué)生心中存在“三角形越大，內(nèi)角和越大”的誤解。教師可以通過(guò)布置任務(wù)的方式讓學(xué)生思考產(chǎn)生這樣誤解的原因。以小組合作的方式組織教學(xué)，首先出示上文中的三個(gè)任務(wù)，讓學(xué)生快速地通過(guò)直覺(jué)進(jìn)行判斷，呈現(xiàn)出錯(cuò)誤。接著，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考并討論出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的原因。通過(guò)小組探究，總結(jié)出常出現(xiàn)的直覺(jué)規(guī)律，在今后的學(xué)習(xí)中盡量避免此類錯(cuò)誤的產(chǎn)生。同時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生不僅依賴于任務(wù)的外部特征，更要觀察變中的不變，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，批判性地看待自己的答案，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知評(píng)價(jià)能力。[1]

在周長(zhǎng)概念中， 關(guān)鍵詞是“一周”和“長(zhǎng)度”，它們同屬于一維空間的測(cè)量，但周長(zhǎng)卻常用在二維圖形上，如平面、曲面。也就是說(shuō)周長(zhǎng)是一維的量，卻在二維的面里出現(xiàn)和應(yīng)用，同時(shí)，小學(xué)生的思維以形象思維為主，空間想象能力比較薄弱。因此，一維的周長(zhǎng)與二維的面積容易混淆，對(duì)此，教師可以通過(guò)以下兩種方式進(jìn)行避免。

（一）呈現(xiàn)有效素材，建立表象

周長(zhǎng)屬于一維空間（只有“長(zhǎng)度”）。在呈現(xiàn)素材時(shí)，就應(yīng)淡化“面”的干擾，突出物體或平面圖形邊線的長(zhǎng)度信息，給學(xué)生以視覺(jué)沖擊，幫助其在大腦中形成周長(zhǎng)就是物體或平面圖形所有邊線的長(zhǎng)度之和，這樣的一個(gè)正確表象。

（二）抓住概念本質(zhì)，建構(gòu)模型

周長(zhǎng)的本質(zhì)就是“長(zhǎng)度”。史寧中教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題（基本概念和運(yùn)算法則）》一書中提到“長(zhǎng)度是對(duì)一維空間圖形的度量”。那么初步認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，自然離不開對(duì)其長(zhǎng)度的測(cè)量和計(jì)算。測(cè)量活動(dòng)是學(xué)生感悟周長(zhǎng)的實(shí)際含義的有效方式，也是探究周長(zhǎng)計(jì)算方法的前提。更是符合該年段學(xué)生特點(diǎn)的有效學(xué)習(xí)方式。因此，設(shè)計(jì)量、描等操作活動(dòng)是必不可少的。

本期文章中，蔣迪峰老師和夏杭英老師就周長(zhǎng)的教學(xué)與大家分享了他們的想法，分別是《淡化概念形式 把握概念本質(zhì)》《聚焦概念本質(zhì) 錘煉數(shù)學(xué)思維》。

觸動(dòng)3：有一種錯(cuò)叫老師也會(huì)犯

教師在教學(xué)當(dāng)中是否也會(huì)犯因直覺(jué)與誤解引起的錯(cuò)誤？當(dāng)教師以成人的直覺(jué)去判斷學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，是否已經(jīng)讀懂了學(xué)生的背景，讀懂了學(xué)生的思維？（如圖10）

學(xué)生的回答有問(wèn)題嗎？那么錯(cuò)誤又在哪里呢？

再如圖11，為什么要寫6月1日？因?yàn)榍懊嬉粋€(gè)小朋友的生日是5月31日，她把前面的小朋友當(dāng)作了“黨”。[4]

如何避免教師直覺(jué)上的錯(cuò)誤呢？文章給了我們啟示，2006年潘德麗莎、安尼塔和德梅特拉針對(duì)“三角形越大，內(nèi)角和越大”的研究表明：當(dāng)學(xué)生面對(duì)兩個(gè)不同的三角形或四邊形時(shí)，會(huì)優(yōu)先關(guān)注兩個(gè)圖形之間大小這樣的顯著特征。圖形大小的變化影響了學(xué)生對(duì)內(nèi)角和的判斷。

又如教學(xué)“平均分”一課時(shí)，導(dǎo)入新課就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生都是平均分的方法，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？筆者曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)調(diào)查（如圖12）。

不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有了平均分的認(rèn)知水平，我們的設(shè)計(jì)就不能評(píng)直覺(jué)去判斷。特級(jí)教師王建良的設(shè)計(jì)巧妙地避開了這一現(xiàn)象。

1.投影出示一只狗媽媽和一只狗寶寶的情景。

師：這里有兩只可愛的狗， 分別是小狗寶寶和狗媽媽。主人給它們6根骨頭， 你建議怎么分比較好呢？

學(xué)生可能出現(xiàn)：狗媽媽5根，狗寶寶1根，因?yàn)楣穻寢屛缚诖螅穼殞毼缚谛?。也有可能?huì)出現(xiàn)：狗寶寶4根，狗媽媽2根，因?yàn)楣穼殞氄情L(zhǎng)身體的時(shí)候，狗媽媽會(huì)讓出自己的骨頭給寶寶吃。當(dāng)然也有可能會(huì)出現(xiàn)分成一樣多的情況。教師把學(xué)生的分法用符號(hào)記錄下來(lái)。

2.如果出現(xiàn)三種分法，教師可設(shè)問(wèn)：“哪一種分法比較特別？特別在哪里？”如果只出現(xiàn)一樣多與狗寶寶多（或狗媽媽多）兩種分法，則提問(wèn)：“兩種分法有什么不同？”

師：小狗寶寶分得3根，狗媽媽分得3根，像這樣的分法你們知道叫什么分嗎？（平均分）

師：我們可以說(shuō)“把6根骨頭平均分給了2只狗，每只狗得3根”。

王建良老師的導(dǎo)入讓我們眼前一亮，他理解學(xué)生的難處所在，理解學(xué)生善意淳樸的想法，利用了狗媽媽和狗寶寶這樣的生活原型，自然構(gòu)建出了學(xué)生各種個(gè)性的思考。在留給學(xué)生表達(dá)不同見解的空間的同時(shí)，也將隨意分的方法毫無(wú)痕跡地展現(xiàn)出來(lái)。

因此，我們要將兒童研究從概念化走向具體化，并細(xì)化到兒童的知識(shí)技能、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、興趣愛好等，而不是憑著我們對(duì)學(xué)生的直覺(jué)規(guī)律作出判斷。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄭倩，郜舒竹.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺(jué)與誤解[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)），2018（11）：4-5.

[2] （美）R.W.柯普蘭.兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1985：131-134.

[3] 郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M]上海：華東師范大學(xué)出版社，2015：134-137.

（浙江省永嘉縣少年藝術(shù)學(xué)校? ?325100

（浙江省杭州市勝利小學(xué)? ?310012）