數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的化歸思想

江欣恩 王向東

【摘要】 數(shù)學(xué)素養(yǎng)一直是數(shù)學(xué)教育教學(xué)關(guān)注的核心問題.不僅在課程標(biāo)準(zhǔn)文件上出現(xiàn)的次數(shù)頻繁，在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)對于數(shù)學(xué)教育教學(xué)也具有極大的意義.化歸思想作為中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的思想方法，與數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著什么關(guān)聯(lián)？本文基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)研究的基礎(chǔ)，探索數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的化歸思想以及化歸在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透教學(xué).

【關(guān)鍵詞】 中學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)素養(yǎng);化歸

一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（一）數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（以下簡稱《意見》）指出：課程改革的深化將提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會關(guān)愛、國家情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐.在具體的課程改革中，將基于學(xué)科本質(zhì)觀來確立學(xué)科素養(yǎng)，基于學(xué)科素養(yǎng)來選擇學(xué)科課程內(nèi)容，基于學(xué)科課程內(nèi)容來研究學(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

我們基于核心素養(yǎng)的界定下，探討數(shù)學(xué)素養(yǎng).一般而言，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科上的“投影”，或者說核心素養(yǎng)是各學(xué)科素養(yǎng)的整合與篩選.

另外，我們還可以從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來探討數(shù)學(xué)素養(yǎng)的外延，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力和必備的數(shù)學(xué)品格來進(jìn)行探討.

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》上指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).這說明了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)性.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》上指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征，適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力.

課程標(biāo)準(zhǔn)是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特征出發(fā)，明確了學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo).關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，先提出空間想象能力、抽象概括能力，推理論證能力、運(yùn)算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力.然后換一個(gè)角度，再提出數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力.因此，通過核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義對比，本文認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的核心素養(yǎng).

（二）數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念界定

在國內(nèi)，對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的探究，主要有兩個(gè)方向的研究思路.

1.從素養(yǎng)的綜合特征上

從素養(yǎng)的綜合特征上來考慮，什么是素養(yǎng).素養(yǎng)，就是一種平日的修養(yǎng).康世剛、宋乃慶在《論數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵及特征》上談到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)活動對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感情和反思，并在真實(shí)情境中表現(xiàn)出來的一種綜合性特征.廣義地講是一種綜合特征，狹義地講，是指在真實(shí)情景中有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與技能理性地處理問題的行為特征.在這個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的界定上，是從素養(yǎng)是一種心理狀態(tài)或者特征出發(fā)來作數(shù)學(xué)的界定，由“素養(yǎng)”概念或者由“特征”概念限定（抽象）出來的或者說演繹出來的，其界定并不具有數(shù)學(xué)學(xué)科的屬性.

2.從數(shù)學(xué)學(xué)科活動上

從數(shù)學(xué)學(xué)科的活動、內(nèi)容和性質(zhì)上，對數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行概念的界定，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的、需要學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)能力.張奠宙、李仕锜、李俊在《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》上談到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)思維能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象力，其核心則是邏輯思維能力.在這個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的界定上，是基于考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，需要學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)能力，其中核心是邏輯思維能力.

綜上所述，對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的界定，主要有兩個(gè)方向的思路，一個(gè)是從素養(yǎng)的綜合特征上，另一個(gè)是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特征.還有一種觀點(diǎn)是這兩個(gè)方向的綜合表述.

何小亞在《學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”指標(biāo)的理論分析》上談到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生為了滿足自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體.實(shí)際上就是運(yùn)用了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心素養(yǎng)”.緊接著，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素上，給出了更加具體的表述，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素為：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.

綜合上述的觀點(diǎn)，筆者對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念定義是：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生完成社會實(shí)踐活動所必備的數(shù)學(xué)方面的品格與能力，并且學(xué)生能在真實(shí)情境中表現(xiàn)出來的一種綜合性特征.

二、數(shù)學(xué)素養(yǎng)中化歸思想的體現(xiàn)

（一）化歸思想方法

在定義化歸上，章士藻認(rèn)為，所謂化歸，從字義上說，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思.數(shù)學(xué)中的化歸方法，就是將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行規(guī)范化，將一個(gè)新的、有待解決的或未能解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程、歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，從而最終求得解答的一種手段或方法.

張奠宙給出一個(gè)簡潔的定義，所謂化歸方法，就是將一個(gè)問題A進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.定義的簡潔在于說明了化歸思想方法的精髓在于轉(zhuǎn)化的思想.

王林全根據(jù)化歸思想方法的特征，給化歸的定義是，將一個(gè)問題由繁化簡，由難化易，由復(fù)雜化簡單的過程稱為化歸.

綜合上述的觀點(diǎn)，筆者對于化歸概念定義是：化歸就是把一個(gè)我們需要解決的問題，通過一定的轉(zhuǎn)化方法，歸結(jié)到另一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中.化歸思想方法的精髓在于轉(zhuǎn)化的思想.

（二）數(shù)學(xué)素養(yǎng)中化歸思想

在了解化歸思想方法的定義上，我們可以得出的結(jié)論，數(shù)學(xué)上大部分的問題，都可以通過化歸來解決，并且化歸最重要的思想方法在于轉(zhuǎn)化.在中學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)上，是否體現(xiàn)了化歸思想方法的要求？

根據(jù)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生為了滿足自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體.化歸思想方法在數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的體現(xiàn)，關(guān)鍵在于探究化歸思想方法是否學(xué)生為了滿足自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力.接下來從兩個(gè)方面來探究數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的化歸思想，一個(gè)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，另一個(gè)是化歸思想的價(jià)值.

1.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求

數(shù)學(xué)素養(yǎng)具體是什么，一直沒有明確的說明.但是我們可以從課程標(biāo)準(zhǔn)上來研究數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含的內(nèi)容.課程標(biāo)準(zhǔn)上目標(biāo)，規(guī)定了學(xué)生的培養(yǎng)方向和要求，從課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)，我們可以推斷在中學(xué)階段學(xué)生需要形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具體的內(nèi)容.

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》上提到，高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個(gè)人發(fā)展與社會進(jìn)步的需要.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)是基于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是一種長期穩(wěn)定的數(shù)學(xué)修養(yǎng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)需要一定的時(shí)間，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的特點(diǎn).

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》上具體目標(biāo)的第一個(gè)，講述學(xué)生需要在掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能上，體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用.通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.學(xué)生需要通過掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法，體會在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用，其中最關(guān)鍵的是能在后續(xù)的學(xué)習(xí)中運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法在實(shí)際中的應(yīng)用，其中大部分都是基于化歸的數(shù)學(xué)思想方法.通過轉(zhuǎn)化，把需要解決的問題，歸結(jié)到另一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中.

除了在課程標(biāo)準(zhǔn)上推斷出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，何小亞對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素給出了具體的總結(jié)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.在此，化歸是屬于數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)思想方法，并且是學(xué)生必備的基礎(chǔ)思想方法.

2.在中學(xué)教學(xué)中，化歸思想方法的價(jià)值

從化歸的價(jià)值，我們可以得出化歸思想方法是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一.

（1）提高學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的意識和能力.

張奠宙教授曾經(jīng)說過：形式化不是數(shù)學(xué)的起源，也不是最終的目標(biāo).掌握數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識客觀世界的數(shù)量變化規(guī)律，并用于認(rèn)識世界和改造世界，才是數(shù)學(xué)科學(xué)的真諦.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，歸根到底不是為了考試，更重要的是掌握數(shù)學(xué)的思想方法并將數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活當(dāng)中.化歸有利于提高學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的意識和能力，幫助學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題.

（2）化歸思想有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)新舊知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科基本結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與完善.

在中學(xué)教學(xué)中，化歸思想可以幫助學(xué)生把復(fù)雜的問題簡單化，生疏的知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的知識，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)新舊知識之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生形成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)知識體系.

（3）化歸思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的正遷移能力

化歸思想幫助學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，解決新的數(shù)學(xué)問題，有利于提高學(xué)生的正遷移能力，幫助學(xué)生深刻地體會數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.并且有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，掌握多種方法解決問題.

（4）化歸思想有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)中應(yīng)用化歸思想可以將復(fù)雜的問題簡單化，生疏的知識可以轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過的熟悉的知識，實(shí)際上將數(shù)學(xué)問題簡單化，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.這與高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)具體目標(biāo)的第五條可以對應(yīng)起來，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.

由此我們可以看出，化歸作為一種數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中必不可少的一部分，是學(xué)生需要掌握的基本思想方法之一.

三、數(shù)學(xué)素養(yǎng)下，如何在中學(xué)中滲透化歸思想

（一）中學(xué)教學(xué)中化歸思想的滲透

1.基于數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，教師應(yīng)當(dāng)重視化歸思想方法，認(rèn)識到化歸是學(xué)生的基本能力.

化歸有利于加強(qiáng)新舊知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科基本結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與完善，化歸思想不僅在數(shù)學(xué)，甚至其他學(xué)科上，也有極大的用途.學(xué)無止境，學(xué)生在中學(xué)所學(xué)習(xí)到的知識是有限的，在未來的學(xué)習(xí)與生活中，對于學(xué)生起到重要作用的是基本的方法與技能.因此，比起傳授知識，教師在中學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該重視思想方法的傳授，教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，尤其重視化歸在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的作用.

2.數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題的能力.

在修改課程標(biāo)準(zhǔn)的歷程中，我們得出的結(jié)論是，教學(xué)越來越重視培養(yǎng)學(xué)生對于實(shí)際問題的解決能力.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，歸根到底不是為了考試，更重要的是掌握數(shù)學(xué)的思想方法并將數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活當(dāng)中.在生活中，數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題，根源上是化歸.化歸有利于學(xué)生把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題，從而解決生活上的實(shí)際問題.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)重視化歸的“實(shí)際價(jià)值”，有意引導(dǎo)學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題.

【參考文獻(xiàn)】

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