教與學(xué)知效合一 提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

高建成

摘? ? 要：知效合一是指認(rèn)知活動(dòng)、能力和學(xué)習(xí)效率、效果相統(tǒng)一.學(xué)生的認(rèn)知能力、水平高，學(xué)習(xí)的效果就好，同時(shí)，良好的學(xué)習(xí)效果又促進(jìn)了認(rèn)知的加深.在知效合一的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷地將孤立的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成具有內(nèi)生活力的生態(tài)結(jié)構(gòu)，提升思維品質(zhì)，強(qiáng)化思維的深刻性、廣闊性、靈活性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性.

關(guān)鍵詞：知效合一;思維品質(zhì);教學(xué)分析

知效合一的“知”是指師生的認(rèn)知活動(dòng)、能力，“效”主要是指學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、效果，知效合一就是認(rèn)知活動(dòng)、能力和學(xué)習(xí)效率、效果是相統(tǒng)一的.認(rèn)知能力、水平高，學(xué)習(xí)的效果就好，同時(shí)，良好的學(xué)習(xí)效果又會(huì)促進(jìn)認(rèn)知的加深.教學(xué)中的一切認(rèn)知活動(dòng)、認(rèn)知能力都是為提高學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)效果服務(wù)的.一切的認(rèn)知活動(dòng)、認(rèn)知能力如果不能提高學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)效果，便不能算作真認(rèn)知.反之，如果效率、效果不是以提高學(xué)生認(rèn)知做參考，便不能算作真效率、真效果.一節(jié)有效率的數(shù)學(xué)課堂是“扎實(shí)”的課堂，一節(jié)有效果的數(shù)學(xué)課堂是“真實(shí)”的課堂，“扎實(shí)”“真實(shí)”的課堂最終落腳點(diǎn)是增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

在實(shí)際教學(xué)過程中，教與學(xué)是兩個(gè)主體，作為教師要不斷更新自己的知識(shí)體系和教育理念，研究數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，研究數(shù)學(xué)教材的設(shè)計(jì)，研究學(xué)生的心理，利用一切現(xiàn)有的教學(xué)資源，定期對(duì)自己的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)和反思，不斷提高教師自己對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)認(rèn)知的深度、高度、廣度，從而滿足學(xué)生的求知欲望和自豪感.因此，數(shù)學(xué)教師對(duì)教的相關(guān)認(rèn)知就決定了教的效率、教的效果，決定了學(xué)生的思維層次.

教與學(xué)的知效合一深刻地影響到學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的建立和發(fā)展.數(shù)學(xué)思維又有很明顯的三個(gè)階段：經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化階段，即借助于觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、概括而積累的事實(shí)材料;數(shù)學(xué)事實(shí)材料的邏輯組織化階段，即由積累的材料抽象出原始的概念，并在這些概念基礎(chǔ)上演繹出相關(guān)的性質(zhì)、判定等理論;數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用階段，即將有邏輯體系的理論用于解決現(xiàn)實(shí)中的問題[1].數(shù)學(xué)教師只有清晰地明了學(xué)生思維所處的相對(duì)應(yīng)階段，采取合適的方法，選擇適當(dāng)?shù)牟牧?，提供必要的支撐，才能產(chǎn)生好的師生互動(dòng)效應(yīng)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，獲得好的學(xué)習(xí)效果.

因此，在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，教與學(xué)認(rèn)知的深度決定行動(dòng)效率，影響數(shù)學(xué)思維深刻性;認(rèn)知的廣度決定行動(dòng)效應(yīng)，拓展數(shù)學(xué)思維的廣闊性及靈活性;認(rèn)知的高度決定行動(dòng)效果，提升數(shù)學(xué)思維的批判性.

下面以浙教版數(shù)學(xué)教材《3.2實(shí)數(shù)》為例，說明如何基于知效合一進(jìn)行分析.

一、基于知效合一的教學(xué)內(nèi)容分析? ?提升數(shù)學(xué)思維的深刻性

浙教版數(shù)學(xué)教材《3.2實(shí)數(shù)》是一節(jié)概念課，主要內(nèi)容有無理數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的概念和分類、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).實(shí)數(shù)把數(shù)的概念擴(kuò)充到初中階段最大的范圍.從概念形成的方式來看，無理數(shù)是形成發(fā)生定義，實(shí)數(shù)是列舉定義.無理數(shù)的產(chǎn)生是由小學(xué)的“小數(shù)型”（無限不循環(huán)小數(shù)），到初一的“根號(hào)型”（[2]，[3]等），再到“小數(shù)型”（用逼近法來確定部分“根號(hào)型”是無限不循環(huán)小數(shù)）的過程，這充分體現(xiàn)前后知識(shí)之諧.

基于以上認(rèn)知的深度，針對(duì)本節(jié)課概念性強(qiáng)、例題不多的特點(diǎn)，將“微課”融入課堂教學(xué)，讓學(xué)生了解“無理數(shù)”的發(fā)生和發(fā)展史，抽象并建立起“無理數(shù)”及“實(shí)數(shù)”概念，實(shí)現(xiàn)把數(shù)的概念擴(kuò)充到初中階段最大的范圍，提高課堂學(xué)習(xí)效率.同時(shí)為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)奠定基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)思維的深刻性，

【微課片段1】神奇的[π]

（先簡(jiǎn)介祖沖之、劉徽、阿基米德等古代對(duì)圓周率[π]進(jìn)行過研究的數(shù)學(xué)家及他們的貢獻(xiàn)）

德國(guó)數(shù)學(xué)史家莫瑞茲·康托說得好：“歷史上一個(gè)國(guó)家所算的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo).”數(shù)[π]原本來自圓的幾何學(xué)，但它還反復(fù)出現(xiàn)在各種各樣的科學(xué)現(xiàn)象中.例如，[π]似乎操縱著彎彎曲曲的河流的長(zhǎng)度.劍橋大學(xué)的地球科學(xué)家漢斯-亨利克·斯多勒姆教授計(jì)算了從河源頭到河出口之間河流的實(shí)際長(zhǎng)度與它們的直接距離之比.雖然這一比率因不同的河流而變化，但是它們的平均值只比3略大一點(diǎn)，也就是說大致上是直接距離的3倍.事實(shí)上，這個(gè)比近似等于3.14，接近于[π]的值.

二、基于知效合一的學(xué)生學(xué)情分析? ?提升數(shù)學(xué)思維的廣闊性

學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)的過程中，經(jīng)歷了一個(gè)不斷抽象的漫長(zhǎng)過程.小學(xué)里，學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)與具體的實(shí)例認(rèn)識(shí)了自然數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而對(duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)卻是“超經(jīng)驗(yàn)”的，因此學(xué)生在認(rèn)識(shí)與理解實(shí)數(shù)上帶來很大的困難，況且本節(jié)課的授課對(duì)象是初一學(xué)生，初一學(xué)生的思維正處在以具體形象思維向邏輯思維過渡的關(guān)鍵期.要讓初一學(xué)生經(jīng)歷一次新的數(shù)系擴(kuò)充，理解實(shí)數(shù)概念是一件并不容易的事.

歌德曾經(jīng)說過：“一門學(xué)科的歷史，就是這門學(xué)科的本身.”因此，數(shù)學(xué)教師還要看到，歷史上人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)知也是非常艱難的：公元前3000年古巴比倫已經(jīng)計(jì)算了[2]約為1.41423;公元前470年，畢達(dá)哥拉斯提出萬物皆數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)[2]的問題，即不可以用兩個(gè)整數(shù)之比，覺得是“無比數(shù)”，后來翻譯成中文，變成“無理數(shù)”;到18世紀(jì)，人們首先用計(jì)算的方式，算出一些根號(hào)數(shù)的值，而后才證明出[2]是無理數(shù)[2].學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知與歷史的發(fā)展有相似性，因此，學(xué)生對(duì)無理數(shù)認(rèn)知的困難也就不難理解了.

基于上述認(rèn)知的廣度，考慮到初一學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，在教學(xué)中充分發(fā)揮師生、生生、生本之間的互動(dòng)效應(yīng)，理解無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念，了解實(shí)數(shù)的分類，正確區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)，并能用尺規(guī)將[2]在數(shù)軸上進(jìn)行表示，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步了解無理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)是合理的，從而讓數(shù)學(xué)的思維更廣闊.

【微課片段2】如何理解“理”的含義？

《幾何原本》是我國(guó)最早譯自拉丁文的數(shù)學(xué)著作，明朝科學(xué)家徐光啟在翻譯時(shí)沒有現(xiàn)成的、可對(duì)照的詞，許多譯名都是從無到有創(chuàng)造出來的.徐光啟將“比”譯成了“理”，即理就是比的意思.所以，“有理數(shù)”應(yīng)理解為“可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)”，不應(yīng)理解為“有道理的數(shù)”;同樣，“無理數(shù)”應(yīng)該理解為“不可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)”，不應(yīng)理解為“沒有道理的數(shù)”.因此，也有人建議，把“有理數(shù)”和“無理數(shù)”改稱為“比數(shù)”和“非比數(shù)”.

三、基于知效合一的教學(xué)法分析? ?提升數(shù)學(xué)思維的靈活性

理解無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念;在和有理數(shù)的類比學(xué)習(xí)中，了解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值和大小比較法則仍然都適用;在將實(shí)數(shù)準(zhǔn)確和近似表示在數(shù)軸上的操作過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，解決實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.以上三點(diǎn)是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，要完成這一目標(biāo)，需要相應(yīng)教學(xué)法的支持，需要學(xué)生在體驗(yàn)用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)范圍的過程中，對(duì)數(shù)進(jìn)行分析、猜測(cè)、探索的方法，通過微課提升學(xué)生數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

基于以上認(rèn)知的高度，課堂教學(xué)中從學(xué)生認(rèn)知水平的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓學(xué)生寫出各種類型的數(shù)并歸納出共同特點(diǎn)，初步認(rèn)識(shí)到數(shù)可分為兩類——有限循環(huán)小數(shù)和非有限循環(huán)小數(shù)，而后教師采取邊講邊問的教學(xué)模式展開教學(xué)，課間穿插了活動(dòng)教學(xué)、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合作學(xué)習(xí)等多種輔助教學(xué)，從而達(dá)到幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)無理數(shù)、理解無理數(shù)，建構(gòu)實(shí)數(shù)概念的效果.

由于實(shí)數(shù)概念抽象難懂，教師要抓住π、[2]這兩個(gè)特殊的無理數(shù)教學(xué)進(jìn)行重點(diǎn)解剖，借助于微視頻看一看、正方形紙片折一折、計(jì)算器按一按、直尺圓規(guī)畫一畫等教學(xué)手法，多角度地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這兩個(gè)無理數(shù)的特點(diǎn)，加深對(duì)無理數(shù)的理解，使抽象的無理數(shù)變得具體直觀，完成實(shí)數(shù)概念的初步建構(gòu)，有效突破教學(xué)難點(diǎn)，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性.

【微課片段3】[2]由來的故事

希伯索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)

古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯意識(shí)到從音樂的和聲到行星的軌道，一切事物中皆藏有數(shù)，這導(dǎo)致他宣布“萬物皆數(shù)”，宇宙間各種關(guān)系都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表達(dá).但是后來畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門徒希伯索斯發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，從而打破了他們的這一信條，導(dǎo)致西方數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.

無理數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，卻不能把它全部直觀地表示出來.教師可以采用問題發(fā)現(xiàn)法，讓學(xué)生運(yùn)用已知的有理數(shù)進(jìn)行比較，來建立新知，通過師生探究活動(dòng)和微課的介紹，給無理數(shù)概念的形成搭建臺(tái)階.

問題是數(shù)學(xué)的心臟，一個(gè)好的問題，常常能喚起學(xué)生的求知欲.本節(jié)課可以設(shè)計(jì)以下既有獨(dú)立又有聯(lián)系的七個(gè)問題：

問題1：請(qǐng)你盡可能多地列舉不同類型的數(shù).

問題2：你能說出π小數(shù)點(diǎn)后幾個(gè)數(shù)字？它有何特點(diǎn)？

問題3：請(qǐng)用邊長(zhǎng)為2米的正方形白紙，折出一個(gè)面積為2平方米的正方形.（折紙步驟見圖1）

①你折出的面積為2平方米的正方形邊長(zhǎng)為多少？

②面積為2平方米的正方形邊長(zhǎng)介于哪兩個(gè)整數(shù)之間？為什么？

問題4：[2]十分位上的數(shù)字是多少？百分位、千分位……呢？

問題5：下列各數(shù)中哪些是無理數(shù)？

[5]，1.23，-[36]，[-π2]，3.14159，0，[227]，

-0.1212212221，0.1010010001L（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）

問題6：無理數(shù)[2]如何在數(shù)軸上表示？

問題7：請(qǐng)把下列實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩?lt;”號(hào)連接）.

-1.4，? [8] ，? 3.3， [π] ， [-2]，? 1.5

這七個(gè)問題圍繞實(shí)數(shù)概念教學(xué)，層層遞進(jìn)，貫穿五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，問題1、2通過開放性設(shè)問，溫故知新，問題3、4、5、6圍繞[2]設(shè)問，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握無理數(shù)概念，進(jìn)一步掌握實(shí)數(shù)概念.問題7設(shè)計(jì)了3個(gè)有理數(shù)、3個(gè)無理數(shù)的排序問題，是實(shí)數(shù)大小比較的典型范例，讓學(xué)生對(duì)新學(xué)的無理數(shù)有一個(gè)幾何直觀描述，有利于學(xué)生加深對(duì)實(shí)數(shù)概念的理解.同時(shí)，這七個(gè)問題內(nèi)涵極其豐富，要通過問題中的子問題進(jìn)行不斷變式，讓學(xué)生的思維更加靈活，從而達(dá)到深度理解.

四、基于知效合一的數(shù)學(xué)拓展分析? ?提升數(shù)學(xué)思維的批判性

從對(duì)[2]是否為無理數(shù)的說理來看，所有的教材都從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，作了一個(gè)描述說明，有其合理性，這也是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.但從嚴(yán)謹(jǐn)性角度看，僅憑觀察來判斷[2]，[3]是無理數(shù)，總覺得缺乏數(shù)學(xué)味，與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性有悖，有一種言猶未盡之感.

事實(shí)上，從反面來說明[2]，[3]是無理數(shù)，一部分優(yōu)等學(xué)生還是能接受的，這一做法對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性培養(yǎng)更好些.當(dāng)然，要通過前面形象的案例或視頻，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有理數(shù)可表示兩個(gè)整數(shù)的商，而無理數(shù)不能.

基于以上認(rèn)知，建議在學(xué)生接受描述的說明后，用反證法思想給予證明.下面給出證明：若[2]是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)m， n使得[2=mn]，即[2=（mn）2]，也即[m2=2n2]，所以m是偶數(shù).設(shè)[m=2k]（k是整數(shù)），得n2=2k2，所以n是偶數(shù)，m， n有一個(gè)約數(shù)2，與m， n是互質(zhì)矛盾.

最后讓學(xué)生當(dāng)堂回答[3]是不是無理數(shù)，并說說理由.進(jìn)一步變式，練一練[2]+1，[3-2]，[32]是不是有理數(shù)，等等.

課外拓展學(xué)習(xí)時(shí)，安排《實(shí)數(shù)的公理化定義》微視頻，進(jìn)一步形成對(duì)無理數(shù)描述性定義的批判，不斷強(qiáng)化批判性思維，拓展學(xué)生眼界.

【微課片段4】實(shí)數(shù)的公理化定義

1872年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金的“分割”理論、康托爾的“基本序列”理論以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn).實(shí)數(shù)的三大派理論從本質(zhì)上給出無理數(shù)的嚴(yán)格定義，從此無理數(shù)才真正在數(shù)學(xué)園地中扎下根，無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

總之，知效合一理論告訴我們，數(shù)學(xué)教師對(duì)教的認(rèn)知深度決定教的效率，學(xué)生對(duì)學(xué)的認(rèn)知深度決定學(xué)的效率.教與學(xué)認(rèn)知的綜合作用，就能達(dá)到深度理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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[2]宋萬言，栗小妮.實(shí)數(shù)的概念：折紙、拼圖中發(fā)現(xiàn)，計(jì)算、比較中建構(gòu)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（12）：43.