數(shù)學(xué)的章節(jié)起始和章節(jié)復(fù)習(xí)都應(yīng)融會貫通

陳春濤

摘? ? 要：核心素養(yǎng)視角下的課堂應(yīng)是融通的課堂，知識的融會貫通也是學(xué)生學(xué)習(xí)所追求的境界.課堂中教師需要與學(xué)生共同努力，共建融通的課堂.教師可以從以下方面努力：章節(jié)起始課需要注重脈絡(luò)梳理，新授教學(xué)力求一題一課;章節(jié)復(fù)習(xí)時教師盡量做到一題多變;學(xué)生則需培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，通過整理章節(jié)筆記融合知識，最終形成高效課堂，沉淀為核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);章節(jié)起始;章節(jié)復(fù)習(xí);融通

核心素養(yǎng)視角下的課堂應(yīng)該是融通的，知識之間脈絡(luò)貫通，課堂環(huán)節(jié)流暢自如，知識的應(yīng)用圓融自然.在這樣的課堂中，每節(jié)課都需要注意知識的承上啟下.在章節(jié)起始課和章節(jié)復(fù)習(xí)課中，這一特點體現(xiàn)得更為清晰.下面，筆者以自己的教學(xué)經(jīng)歷為例，對于構(gòu)建融通的課堂談?wù)剛€人的看法.

一、模塊起始的教材解讀注意脈絡(luò)梳理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對教材的編寫提出以下要求：“教材編寫應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性.”對知識整體性的把握，即知識脈絡(luò)的梳理，一般體現(xiàn)在章節(jié)起始課和復(fù)習(xí)課中.起始課注重的是整個模塊知識的融通，而復(fù)習(xí)課則多注重章節(jié)知識的融通.故在章節(jié)起始課中，既要立足于學(xué)生小學(xué)時的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，又要闡明本章節(jié)的知識脈絡(luò)以及對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響.以有理數(shù)的起始課為例，有理數(shù)是數(shù)與式模塊的起始課，對于它的理解影響著模塊后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，故在有理數(shù)起始課的教材處理中要注意這樣幾處細節(jié).

一是梳理數(shù)的發(fā)展過程.課文的引例圖展現(xiàn)了從結(jié)繩計數(shù)到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，在自然數(shù)范圍內(nèi)，加法、乘法、乘方運算是封閉的;后來為解決“除不盡”的問題，引入了分?jǐn)?shù);現(xiàn)在為解決“減不夠”的問題，又引入了負數(shù)，此時的“數(shù)”就擴充到了有理數(shù)集;在有理數(shù)范圍內(nèi)加、減、乘、除、乘方運算都可以暢通無阻，但乘方的逆運算，即開方或?qū)?shù)運算的結(jié)果并不全是有理數(shù)，故后續(xù)還需擴充數(shù)的種類，學(xué)習(xí)新的運算.

二是理解有理數(shù)的構(gòu)成：符號（性質(zhì)符號）和數(shù)值（絕對值）.課文中談到“像……這樣在正數(shù)前加上符號‘-（負號）的數(shù)叫作負數(shù)”.即從“數(shù)”的角度來看，有理數(shù)就是在小學(xué)所學(xué)的數(shù)的前面添上“+”“-”號，故有理數(shù)可以從符號和絕對值兩方面分類，運算時也要先確定結(jié)果的符號，再確定數(shù)值（絕對值）運算的結(jié)果.

三是理解正數(shù)與負數(shù)是一組互為相反意義的量.課文的歸納部分講道：“如果一個問題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負數(shù)表示.”既然具有“相反意義”，那么有理數(shù)進行加法運算時異號的部分可以互相抵消，同號的部分則可以累計，以此可以比較容易地理解有理數(shù)的加法法則.

四是正號可以省略，負號表示相反意義.課文中還談到正號可以省略不寫，因此加減運算都可以統(tǒng)一為加法運算，如：+5-（+6）+（-2）-（-4）可以簡寫為5-6-2+4.在這一過程中，-（+6）與+（-2）省略了“正號”，“減-4”直接理解為“負的-4”，這種將性質(zhì)符號與運算符號統(tǒng)一的做法并不影響計算的結(jié)果.

第一處細節(jié)注意了小學(xué)中關(guān)于數(shù)的認(rèn)識，梳理了“數(shù)”的發(fā)展歷程，后三處細節(jié)則理解了本節(jié)需要理解的運算對象——有理數(shù).這些認(rèn)識不僅統(tǒng)領(lǐng)了整個有理數(shù)一章，而且貫穿了整個代數(shù)計算.例如：（5a-3b）-3（a-2b）的后一個括號，可以運用分配律，將-3分別與a和-2b相乘，直接將原式化簡為5a-3b-3a+6b.應(yīng)用加減消元法解方程組[2x-5=3y2x-1=y]時，兩式相減，得到-5-（-1）= 3y-y，其中的-5，-1都理解為“負5”“負1”，而不是“減5”“減1” .函數(shù)y=2x-3中，根據(jù)k=2>0，b=-3<0，可知圖象過一、三、四象限，式中的-3理解為“負3”，而不是“減3”.

由此可見，模塊起始課的脈絡(luò)梳理有助于學(xué)生理解知識結(jié)構(gòu)，起始課知識的融通理解是后續(xù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.

二、章節(jié)起始的新授教學(xué)力求一題一課

學(xué)習(xí)的主陣地在課堂，一堂好課應(yīng)該像一首流動的小詩，課堂環(huán)節(jié)之間流轉(zhuǎn)自如，知識之間一脈相通.要做到這一點，課堂上就不能有太多孤立的例題，盡量以一道例題或一個知識點貫穿整節(jié)課堂.

以平行四邊形的起始課為例，本課中需要學(xué)習(xí)平行四邊形的概念與性質(zhì)，知識點較多，所以，如何將眾多的知識貫穿起來，是形成融通課堂的關(guān)鍵.課本中有這樣一道例題.

原題? ?如圖1，在[?]ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證AE=CF.

本課的所有知識點都可以以此為原型，通過題目的變形來貫穿始終.

概念學(xué)習(xí)：如圖2，這個圖形在小學(xué)曾學(xué)過，名稱是什么？（追問：為什么叫“平行”四邊形？）

性質(zhì)學(xué)習(xí)：圖2中的線段除了含有平行的位置關(guān)系外，有沒有其他關(guān)系？除了邊，圖中的幾個角有特殊關(guān)系嗎？請證明你的結(jié)論.

性質(zhì)練習(xí)：如圖3，在[?]ABCD中，DE為∠ADC的平分線，（1）若∠A=38°，求其他角的度數(shù);（2）若DE將AB邊分成5cm和3cm兩部分，求平行四邊形的周長;（3）如圖4，若BF為∠ABC的平分線，求證DE[?]BF且DE=BF.

例題學(xué)習(xí)：如圖1，若DE，BF分別為AB，CD邊的高，則DE與BF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由.

概念學(xué)習(xí)：像這樣，過兩平行線上任一點，到另一條直線的距離，叫作兩平行線間的距離.兩平行線間距離處處相等.

例題變式：（1）若E，F(xiàn)分別為AB，CD邊上的中點，結(jié)論是否依然成立？請說明理由.（2） 若E，F(xiàn)分別為AB，CD邊上的動點，請你添加一個條件，使DE[?]BF且DE=BF.

（說明：要引導(dǎo)學(xué)生添加新的條件，從邊和角兩個角度去添加，如：AE=CF，或∠CDE=∠ABF.注意規(guī)范書寫）

課堂練習(xí)：（1）如圖4，在[?]ABCD中，DE為∠ADC的平分線，F(xiàn)為CD上一點，連接BF，若DE[?]BF，求證：BF為∠ABC的平分線.

（2）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，[?]ABCD的頂點A，B，D的坐標(biāo)分別是（0，0），（6，0），（1，4），①求點C坐標(biāo);②若DE[?]BF，且AE=5，求點F的坐標(biāo).

上述的教學(xué)設(shè)計以課本例題圖形為藍本，借助例題中的圖形，從認(rèn)識圖形概念開始，在圖形中逐步添加角平分線、高線、中線等線段，將平行四邊形的概念、性質(zhì)、例題逐一呈現(xiàn)，再通過改變已知條件、添加條件、交換題設(shè)與結(jié)論等各類變式，將平行四邊形邊、角的性質(zhì)與此前所學(xué)的三角形全等、平面直角坐標(biāo)系等知識有機融合，使整堂課一以貫之.課堂中學(xué)生每一步的學(xué)習(xí)都以前面所學(xué)的內(nèi)容為臺階，通過不斷搭建腳手架，最終形成高節(jié)奏、大容量、有思維含量的高效課堂，學(xué)生的知識正是在這種融通中逐漸融合，沉淀為核心素養(yǎng).

三、章節(jié)復(fù)習(xí)的例題編寫盡量一題多變

影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素是多方面的，不僅有知識表里和前后的關(guān)系，還有知識之間橫向的關(guān)系.重視溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，由“點”及“鏈”，由“鏈”及“網(wǎng)”，有利于學(xué)生形成完整而開放的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進知識的建構(gòu)和生長.融通的復(fù)習(xí)課堂應(yīng)當(dāng)是八方聯(lián)系、高度整合的課堂，這就要求復(fù)習(xí)時注重一題多變，以一道題目為背景，充分挖潛.具體以初一平面直角坐標(biāo)系的復(fù)習(xí)課為例.

如圖6，已知在△AOB中，A，O兩點的坐標(biāo)分別是A（1，5），O（0，0）.

（1）將圖6中的平面直角坐標(biāo)系補充完整，寫出點B坐標(biāo).

（2）將△AOB先向左平移3個單位再向上平移2個單位，得到△A1O1B1，并寫出這三點的坐標(biāo).

（3）求△AOB的面積.

（4）另作一點C，使A， O， B， C四點形成的四邊形是平行四邊形.

（5）若△AOB向左平移3個單位，試求在平移的過程中△AOB掃過部分的面積.

（6）請用方位角加距離的方法表示A， B兩點間的位置關(guān)系.

（7）在坐標(biāo)軸上找到一點D，使△BOD的面積為5個單位.

（8）點E為y軸上一動點，若△ABE的面積是5個單位，求點E的坐標(biāo).

新授課中的一題一課是針對當(dāng)堂知識的小融合，復(fù)習(xí)課中的一題多變則是某章節(jié)或某模塊知識的大融合.這里的幾道小題從一個學(xué)生熟悉的圖形出發(fā)，步步深入，覆蓋了同背景下可以關(guān)聯(lián)的大部分知識.更重要的是如果把這些題目添上二次函數(shù)背景，就成了中考中常見的二次函數(shù)綜合題.如：第（3）小題求三角形面積，本題中常用“補”的方法來求，若添上二次函數(shù)背景，該方法依然適用，即使三個點中有一個點為動點也依然可用相同的方法，這種用簡單方法解決復(fù)雜問題的能力就是核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

四、自主融通的學(xué)習(xí)方法推薦筆記整理

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，待優(yōu)生與優(yōu)生在知識的組織方式上存在差異，前者頭腦中的知識是零散和孤立的，知識呈水平排列方式或列舉方式.而后者的知識是有組織和系統(tǒng)的，知識點按層次排列，而且有內(nèi)在聯(lián)系，如果把他們頭腦中的知識結(jié)構(gòu)畫成一幅圖的話，就呈現(xiàn)出一個層次網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).

知識融通的前提就是知識的結(jié)構(gòu)化，知識結(jié)構(gòu)化的過程應(yīng)當(dāng)是一個主動的過程，教師的課堂融通只是提供知識結(jié)構(gòu)化的范本和環(huán)境，最終的內(nèi)化仍然需要學(xué)生自己完成.

筆記整理就是一種很好的方法.在每個章節(jié)的學(xué)習(xí)結(jié)束后，可以通過布置學(xué)生整理章節(jié)筆記的方法來復(fù)習(xí).具體要求是：（1）按知識點整理筆記，每個知識點配備一至兩道對應(yīng)的習(xí)題;（2）技能訓(xùn)練的習(xí)題少而精，如計算題必須每道題都有針對性;（3）每次的筆記至少有一道題目包含一題一課的思想，能夠融合多個知識點.

交流流程是：（1）個人整理筆記;（2）小組內(nèi)交流，將整個小組學(xué)生的筆記整合為一份;（3）大組交流，每三個小組組成一個大組，融合成一份筆記;（4）以大組為單位全班展示.

以下是筆者任教班級某個大組全班交流時展示的有理數(shù)計算題，一共只有6道，但每一道題目都具有針對性.

（1）[（+4）-（-6）+（-3.2）+（+5）-（+6.8）]

【目的】訓(xùn)練將加減統(tǒng)一為代數(shù)和形式，復(fù)習(xí)有理數(shù)加減法法則，考查加法結(jié)合律.

（2） [-234+713-512-456]

【目的】訓(xùn)練異分母的帶分?jǐn)?shù)加減法，合理兩兩組合，注意帶分?jǐn)?shù)運算時“借1”和“進1”的情況.

（3） [-1÷12×（-23）÷（-34）×45]

【目的】訓(xùn)練多個因數(shù)相乘除時先確定符號的習(xí)慣，注意同級運算從左至右運算，不能直接相鄰兩數(shù)約分.

（4） [-12-（-32）+（-13）2-223+432]

【目的】理解有理數(shù)的乘方法則，注意理解乘方的底數(shù).

上述四道計算題覆蓋了有理數(shù)計算中常見的技巧與注意事項，很難想象初一的學(xué)生能夠整理出質(zhì)量這么高的筆記，但借助自主學(xué)習(xí)和小組交流學(xué)習(xí)，最終達到了這一高度.

融通，即融會貫通，意思是參合多方面的知識或道理而得到全面的透徹的領(lǐng)悟.這是一項標(biāo)準(zhǔn)很高的要求，擁有“無招勝有招”式的通透.