數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用

包加強(qiáng)

摘 要：隨著初中數(shù)學(xué)教材版本的不斷更新，數(shù)學(xué)史知識(shí)在數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)必不可少。其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透也成為必然趨勢(shì)。本文通過對(duì)數(shù)學(xué)史案例的分析發(fā)現(xiàn)，第三學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的作用有：提高課堂教學(xué)效果；激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造力；培養(yǎng)科學(xué)的思維方法；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣等。

關(guān)鍵詞：第三學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史知識(shí)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；數(shù)學(xué)名題

數(shù)學(xué)是人類文化的一部分，數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)是我國(guó)義務(wù)教育必不可少的一門教學(xué)；把數(shù)學(xué)史滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)更是迫在眉睫。姜伯駒先生談數(shù)學(xué)課程改革時(shí)強(qiáng)調(diào)“初中是一個(gè)理性與思想的啟蒙教育階段，能否有理性地、有思想地啟蒙是這個(gè)時(shí)期教育的關(guān)鍵”，初中階段，新課程中數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性的一個(gè)重要方式。隨著數(shù)學(xué)史圖像的增多，新教材比舊教材要淺顯許多。但是就課程標(biāo)準(zhǔn)而言，教育部對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求并沒有變低，反而是高了很多，提出了培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，創(chuàng)新能力的要求，而創(chuàng)新是相對(duì)有一定基礎(chǔ)而言的。中國(guó)式的考試，永遠(yuǎn)是基礎(chǔ)的最好體現(xiàn)。在現(xiàn)代教學(xué)中，老師們習(xí)慣讓學(xué)生把時(shí)間花在題海戰(zhàn)術(shù)上，以為這樣的考試立竿見影，然而一次次的考試，一次次的壓力只是讓學(xué)生心理更加焦慮，逐漸影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。我覺得教學(xué)生不可一蹴而就，教書就像熬湯一樣需要掌握火候，在課堂上提及數(shù)學(xué)史知識(shí)，讓學(xué)生慢慢去體會(huì)，他們將會(huì)給你驚人的答案，所以說數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透是值得深思的。以此為背景，本文主要通過對(duì)教材上數(shù)學(xué)史案例的分析探討在第三學(xué)段數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透對(duì)提高學(xué)生興趣的作用。

1 第三學(xué)段數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史知識(shí)案例

1.1 為什么 不是有理數(shù)

公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一種觀點(diǎn)，即“萬物皆數(shù)”，一切量都可以用整數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）表示。后來，當(dāng)這一派中的希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或者整數(shù)比表示，即 不是有理數(shù)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到驚恐不安，由此，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。[1]

隨著認(rèn)識(shí)的不斷深入，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派逐漸承認(rèn) 不是有理數(shù)，并給出了證明。下面給出歐幾里得《原本》中的證明方法。

假設(shè) 是有理數(shù)，則存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p，q使得

于是

兩邊平方得

由2p2是偶數(shù)，可是p2是偶數(shù)。而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)

因此，可設(shè)p=2s，代入上式，得 ，即

所以q也是偶數(shù)。p和q均為偶數(shù)，不互質(zhì)，這與假設(shè)p、q互質(zhì)相互矛盾。

所以得 不是有理數(shù)。實(shí)際上， 是無限不循環(huán)小數(shù)。

1.2 費(fèi)馬大定理

根據(jù)勾股定理，任意直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)a，b和斜邊長(zhǎng)c都是含三個(gè)未知數(shù)的方程 的一組解，而每一組勾股數(shù)（例如：3，4，5；5，12，13等）都是這個(gè)方程的正整數(shù)解。

高于二次方程 ， …是否也有正整數(shù)解呢？這個(gè)問題引起了法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的研究興趣。費(fèi)馬在讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的《算術(shù)》一書中，在有方程 的那頁頁邊上，寫下了具有歷史意義的一段文字：“……將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的，關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下”。[2]用數(shù)學(xué)語言來表述，費(fèi)馬的結(jié)論就是：當(dāng)自然數(shù) 時(shí)，方程 沒有正整數(shù)解。

上述命題被稱為“費(fèi)馬大定理”。它的證明引起了世界各國(guó)數(shù)學(xué)家的關(guān)注，包括歐拉、高斯、勒貝格在內(nèi)的許多著名數(shù)學(xué)家都對(duì)這個(gè)命題做了深入的研究，但一直沒能證明它。費(fèi)馬大定理的研究給數(shù)學(xué)界帶來了很大的影響，很多數(shù)學(xué)成果、甚至數(shù)學(xué)分支在這個(gè)過程中誕生，費(fèi)馬大定理也因此被數(shù)學(xué)界稱為是一只“會(huì)下金蛋的雞”。

費(fèi)馬大定理的證明最終由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯完成。懷爾斯在很小的時(shí)候就夢(mèng)想能證明費(fèi)馬大定理，后來為此做了大量的努力和準(zhǔn)備。1986年，他發(fā)現(xiàn)了定理證明的一種可能的途徑，就開始全力以赴的投入到定理證明中來，1993年6月懷爾斯在英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)術(shù)討論會(huì)上報(bào)告了他的研究成果，立即引起了全世界數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注。在這以后，他又用了一年多的時(shí)間補(bǔ)證了專家小組發(fā)現(xiàn)證明中的疏漏，并最終于1995年徹底完成了證明.

2 發(fā)揮數(shù)學(xué)史對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的作用

2.1 穿插中外數(shù)學(xué)家的故事，培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)的志向

在講直角坐標(biāo)系時(shí)，就講講關(guān)于迪卡兒發(fā)現(xiàn)直角坐標(biāo)系的這段故事。這件事發(fā)生在迪卡兒服兵役時(shí)期，據(jù)悉，迪卡兒當(dāng)時(shí)就是類似現(xiàn)在的偵察技術(shù)兵，不過他對(duì)數(shù)學(xué)一直非常熱愛和癡迷，當(dāng)時(shí)是秋天，他們兵營(yíng)駐扎在多瑙河右岸，前兩天還在左岸，他躺在草地上，看著滿天繁星，思緒跑了很遠(yuǎn)，他在想天上繁星點(diǎn)點(diǎn)，怎么通過幾何與代數(shù)的方式表達(dá)出來呢，前兩天在多瑙河左岸，這兩天又到右岸，中間是烏爾姆鎮(zhèn)，想著怎樣幫助排長(zhǎng)制作一個(gè)好的確定目標(biāo)的方法，這樣想著不自覺間就進(jìn)入了夢(mèng)想，他夢(mèng)見他一個(gè)要好的戰(zhàn)友將他從床上拉起，指著外面夜空中的星星，從身后掏出兩支箭矢，搭成一個(gè)“十”字型，對(duì)他說：這樣我的箭可以射到我想射的任何地方，這時(shí)他的腦子里閃過一道靈光，可總覺得很模糊，然后好友又道：我的這兩支箭矢可以將整片天空分成四個(gè)面，就像咱們現(xiàn)在所處烏拉姆鎮(zhèn)一樣，烏拉姆鎮(zhèn)在中心，前兩天在左岸，現(xiàn)在在右岸不就是表示出來了嗎？糊里糊涂中，好戰(zhàn)友將他推入了水中，他一下子嚇醒 ，才知道這只是一個(gè)夢(mèng)，他就接著剛才的夢(mèng)先畫了一條豎線，表示為y；接著又畫了一條橫線，表示為x，完成了偉大的直角坐標(biāo)系。這個(gè)發(fā)現(xiàn)是他對(duì)數(shù)學(xué)的研究，熱愛，日思夜想的結(jié)果。通過講述他對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱愛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在數(shù)學(xué)課堂中穿插一些富有啟迪作用的數(shù)學(xué)故事，激發(fā)、調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，主動(dòng)性，引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生更好的領(lǐng)會(huì)所學(xué)的知識(shí)?；钴S課堂氣氛，提高課堂教學(xué)效果。

2.2 介紹中國(guó)數(shù)學(xué)史的發(fā)展，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情

我國(guó)數(shù)學(xué)史的發(fā)展相當(dāng)悠久，兩漢時(shí)期，已經(jīng)有專業(yè)的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》等出現(xiàn)，有一套獨(dú)立數(shù)學(xué)知識(shí)體系，對(duì)后世數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一定的影響，在那時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展已經(jīng)到了一個(gè)高峰階段。

魏晉時(shí)期，中國(guó)的數(shù)學(xué)理論體系有了較大的發(fā)展。其中趙爽和劉徽的數(shù)學(xué)理論體系為最。趙爽將數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行了證明，以及對(duì)《周髀算經(jīng)》做了詳細(xì)補(bǔ)充說明。學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)候，就可以引入趙爽的勾三股四弦五。劉徽將《九章算術(shù)》進(jìn)行了詳注，他將里面的公式、定理作了推導(dǎo)證明，還提出來一些新的思路，又在這基礎(chǔ)上撰寫《海島算經(jīng)》。著名的割圓術(shù)就是劉徽創(chuàng)立的，這為周率的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)圓的過程時(shí)，講到劉徽的圓周率，劉徽將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值兀=3.14，用分?jǐn)?shù)表示是157/50被稱為的“徽率”。劉徽還是第一個(gè)提出數(shù)學(xué)極限思想并運(yùn)用的人。

南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)發(fā)展又一次達(dá)到高峰，有很多數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)，有《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等。祖沖之、祖暅父子是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)方面的杰出代表，他們研究數(shù)學(xué)思維方法及推理，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)推向了一個(gè)新的高度。祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，得出；祖暅還提出了“祖氏原理”，即“冪勢(shì)既同，則積不容異”，也就是說：兩個(gè)相等高度的立體圖形，如果他們的水平截面積相等，則這兩個(gè)立體體積相等。西方的“卡瓦列利原理”比“祖氏原理”遲了一千年多年。由此看來中國(guó)的數(shù)學(xué)水平在當(dāng)時(shí)國(guó)際上處于領(lǐng)先地位。

在宋元時(shí)期，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)到達(dá)黃金時(shí)期。這一時(shí)期涌現(xiàn)出很多數(shù)學(xué)家，如楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，他們的成就已經(jīng)達(dá)到了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的最高峰。主要成就有：高次方程數(shù)值解法；天元術(shù)與四元術(shù)；大衍求一術(shù)，現(xiàn)在稱為中國(guó)剩余定理；招差術(shù)和垛積術(shù)，即高次內(nèi)插法和高階等差級(jí)數(shù)求和等等。在講授二項(xiàng)式時(shí)，提到楊輝三角，突顯當(dāng)時(shí)我國(guó)在數(shù)學(xué)上的偉大成就。

教授數(shù)學(xué)課時(shí)，講講中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史，以及一些偉大的數(shù)學(xué)家還有他們的成就，提高學(xué)生的民族自豪感，激勵(lì)學(xué)生奮發(fā)圖強(qiáng)。

2.3 體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，激發(fā)求知欲和創(chuàng)造欲

通過下面教學(xué)案例，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造欲。

師問：某段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，按照規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)。如果要登上第10級(jí)臺(tái)階，會(huì)有幾種不同的方法呢？[3]

（學(xué)生的好奇心一下子調(diào)動(dòng)起來，試驗(yàn)著，探討著，爭(zhēng)論著，……）

生3：如果登上一級(jí)有1種方法。若登上二級(jí)有2種方法，若登上三級(jí)有3種方法，若登上四級(jí)有5種方法。登上六級(jí)有8種方法……

師：你才登上六級(jí)。離十級(jí)還遠(yuǎn)，關(guān)鍵的是要發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生3：發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律，以上結(jié)果排成的數(shù)依次為1，2，3，5，8，…，而3=1+2，5=2+3，8=3+5，……，得出從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前兩個(gè)數(shù)的和。

師：這就叫做突破。

生3（極其興奮地）：l，2，3，5，8，后面數(shù)依次為13，2l，34，55，89。

講到這里再到歷史上著名的“斐波那契數(shù)列”，是不是跟這個(gè)原理一樣呢，為了拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，給同學(xué)們講到，隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來 越逼近于黃金分割數(shù)值0.618033……。刺激學(xué)生的樂趣，讓學(xué)生自己動(dòng)手體驗(yàn)，激發(fā)求知欲以及創(chuàng)造欲。

2.4 解決中外歷史名題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)自信心

通過給學(xué)生講解歷史名題，使他們感受到數(shù)學(xué)的魅力與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的高明。這樣不僅促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)開拓了學(xué)生看數(shù)學(xué)的眼光，提高了數(shù)學(xué)思維方式，還可以加強(qiáng)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)自主性。通過對(duì)古人的事例說明，讓學(xué)生更好地發(fā)散思維，創(chuàng)新學(xué)習(xí)。

例1 最早研究方程的是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖。在他的墓志中寫著這樣一段話：“丟番圖一生有1/6為童年，1/12為青年，1/7為單身漢，在結(jié)婚5年后，生了個(gè)兒子，兒子在他最終年齡的一半時(shí)候，比他的父親早4年死去?！鼻髞G番圖的年齡。[4]

解：設(shè)丟番圖的年齡為x歲

解得 x=72

答：求得丟番圖的最終年齡為72歲。

在“求解二元一次方程組”的教學(xué)中，推出古代著名的“雞兔同籠”問題。

例2 [5]雞兔同籠，共有頭5個(gè)，腳16只。請(qǐng)問雞兔各幾只？

解：假設(shè)有雞、兔分別有x、y只。則

解得x=23，y=12

答：雞有23只，兔有12只。

3 結(jié)論

將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)，可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，將古代數(shù)學(xué)史料進(jìn)行改編，豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容、提高了教學(xué)效果，更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思考方法與增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題能力?，F(xiàn)代教學(xué)中，數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透被越來越多的人重視。在教學(xué)中有意滲透數(shù)學(xué)史，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)積極性，將是以后數(shù)學(xué)教育的大趨勢(shì)。只有把數(shù)學(xué)史知識(shí)滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生才能更好地理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的興趣，才能夠更好地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)

[1]徐冠中.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課程中的文化價(jià)值[J].西南大學(xué)，2006，32頁.

[2]九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)大綱—（試用）[M].北京：人民教育出版社，1995.

[3]陳銀芝.初中中等生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)激勵(lì)機(jī)制的研究[A].浙江師范大學(xué)，60頁.