初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用探究

張小亮

摘 要：隨著新課改的推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)有所提高，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，創(chuàng)新教學(xué)模式。在初中，學(xué)生開始接觸函數(shù)問題，但由于函數(shù)解題的抽象性，很多學(xué)生在解題過程中容易不知所措。主要分析了數(shù)學(xué)結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用，期望能夠幫助學(xué)生提高函數(shù)解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)解題

一、數(shù)形結(jié)合思想的方法的含義和特點(diǎn)

1.數(shù)形結(jié)合思想法的含義

數(shù)形結(jié)合思想就是將代數(shù)和幾何相結(jié)合，充分利用兩者結(jié)合的優(yōu)勢(shì)解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合的使用分兩種情況，一是利用圖形的形象性揭示隱藏在圖形中的數(shù)據(jù)的聯(lián)系，例如可以使用一次函數(shù)的圖象揭露一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中k，b不同取值對(duì)函數(shù)圖象的影響。二是使用代數(shù)闡述函數(shù)圖象的性質(zhì)。

2.數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)

（1）形象性。在講解題的過程中，教師僅使用語(yǔ)言描述很難讓學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。使用數(shù)形結(jié)合，能夠通過形象的圖形和具體的數(shù)據(jù)推導(dǎo)幫助學(xué)生形成形象思維。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，只有將一次函數(shù)的圖象反映到坐標(biāo)中，并通過坐標(biāo)的移動(dòng)軌跡總結(jié)到圖象的特點(diǎn)。

（2）直觀性。圖形具有直觀性、生動(dòng)性，在處理圖形問題時(shí)應(yīng)充分使用圖形的優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)抽象的概念和形象的圖象之間的轉(zhuǎn)化。使用圖形能夠?qū)?shù)據(jù)直觀呈現(xiàn)出來，以便于學(xué)生的理解。例如在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，單純通過數(shù)字很難讓學(xué)生理解其圖形的變化規(guī)律，這時(shí)就可以使用圖形反應(yīng)二次函數(shù)的圖象的特點(diǎn)。

（3）雙向性。在解題的過程中，往往需要將數(shù)量關(guān)系和圖形綜合使用，相互轉(zhuǎn)化。有些問題通過數(shù)很難解釋，但使用圖形則能夠迅速得到結(jié)果。還可以根據(jù)圖形檢驗(yàn)數(shù)量關(guān)系，反之還可以通過數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證圖形。

二、數(shù)學(xué)結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用

1.以圖形幫助代數(shù)

在二次函數(shù)的解題過程中，如果遇到數(shù)據(jù)型題目時(shí)，就可以通過繪制二次函數(shù)的圖形幫助解題。例如，有一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象上分別有（-3，6），（-2，0），（-1，-4），（4，6），（3，0）幾個(gè)點(diǎn)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求ax2+bx+c<0的解集。解這道題時(shí)，首先要想到的是將函數(shù)知識(shí)和不等式相結(jié)合，通過繪制二次函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)x軸以下部分的圖形，然后將這部分圖形通過代數(shù)表示即可。很多學(xué)生在看到這道題時(shí)會(huì)想到使用這些點(diǎn)求出函數(shù)的表達(dá)式，然后求解。但通過觀察這些點(diǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這道題給出了兩個(gè)x軸上的點(diǎn)，通過觀察圖象可知道ax2+bx+c<0時(shí)x的取值范圍為-2

如一元一次函數(shù)表達(dá)式，如y=3x+2，y=-3x+2，y=3x-2，y=-3x-2，當(dāng)x取不同值時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的k和b的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響。當(dāng)k>0時(shí)，x變大，y也隨之增大，反映到圖象上就是圖形直線從左到右呈上升趨勢(shì)。當(dāng)k<0時(shí)，x變大，y值變小，反映到圖象上就是圖形直線從左至右呈下降趨勢(shì)。同理，可以探究b的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響。

如，初中銳角三角函數(shù)的定義是在直角三角中定義的，有關(guān)的例題、習(xí)題等也都是通過構(gòu)造直角三角形來解題的，即將這個(gè)角放到直角三角形中。例如，在Rt△ABC中，角C為直角，且AC=4，BC=3，則SinA的值為多少。在解題的過程中，學(xué)生就可以通過畫一個(gè)三角形，通過計(jì)算可知，AB=5，然后通過得到SinA=0.6。

2.以數(shù)輔形

以數(shù)輔形就是利用代數(shù)解決有關(guān)函數(shù)圖象的有關(guān)問題。例如，一次函數(shù)y=kx+m與二次函數(shù)y=ax2+bx+c有交點(diǎn)（1，2），（8，9），二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（6，0），求：k>0時(shí)，x的取值范圍。這道題反應(yīng)的就是以數(shù)輔形，通過觀察圖象就能夠得到題目的解。雖然圖形較為形象，但其中所隱藏的數(shù)量關(guān)系很難直觀被反映出來。

3.數(shù)形結(jié)合在函數(shù)應(yīng)用題中的應(yīng)用

在解函數(shù)應(yīng)用題的過程中，通常需要使用數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)代數(shù)和圖形的有效結(jié)合，以更好地解題。數(shù)形結(jié)合在函數(shù)應(yīng)用題中的應(yīng)用通常需要將問題中所描述的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行解決，有利于學(xué)生更好地理解，特別是二次函數(shù)，很多實(shí)際問題都使用到了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。例如，在體育測(cè)試中需要測(cè)試扔鉛球，某男生在測(cè)試扔鉛球時(shí)，出手高度為2米，鉛球運(yùn)行到最高點(diǎn)時(shí)距地面6米，距離出手點(diǎn)的水平距離為5米，假設(shè)鉛球運(yùn)動(dòng)的軌跡為二次函數(shù)圖象的一部分，求鉛球擲出的水平距離。在遇到這一類型題目時(shí)，如果不畫圖形時(shí)，學(xué)生很難較好地解題。這時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生通過題目中的已知條件畫圖形，已知條件分別為出手高度的坐標(biāo)為（0，2）、最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，6），然后就可以簡(jiǎn)練地畫出這一二次函數(shù)的一段，然后再以y=0求出x的值就是答案。但在實(shí)際問題中，x的值應(yīng)為正數(shù)，x取正值即可。另外，一次函數(shù)在實(shí)際中也有較多的應(yīng)用，例如速度和路程問題、注水問題等，都可以利用一次函數(shù)的特性和圖形進(jìn)行解題。

在初中階段，學(xué)生開始接觸和學(xué)習(xí)函數(shù)問題，但由于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力還處于發(fā)展期，學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解和掌握還存在一定的不足。因此，教師應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合法幫助學(xué)生理解代數(shù)和圖形之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)換。另外，教師應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，幫助學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)形結(jié)合法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]何火欽.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透探究[J].考試周刊，2018.

[2]張麗娟.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合思想”例談[J].現(xiàn)代教育，2018.

注：本文系2018年平?jīng)鍪薪逃茖W(xué)“十三五”規(guī)劃課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：[2018]PLG470）《初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合思想”在函數(shù)中的應(yīng)用研究》成果。