一道高考題的解法探究

☉安徽省宣城中學(xué) 陳 誠

通過建立平面直角坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對）、曲線與方程建立了聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.在解析幾何中，通過聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，可將直線與圓錐曲線的交點(diǎn)體現(xiàn)為方程組的解.結(jié)合韋達(dá)定理，就可以用代數(shù)的方法獲得幾何的結(jié)論.

2018年全國高考卷Ⅰ理科第19題第（2）問是典型的解析幾何問題，即用解析的方法說明了當(dāng)直線過定點(diǎn)，斜率之和為定值.其本質(zhì)是直線繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的恒成立問題.以直線與橢圓為例，常見的直線過定點(diǎn)問題有（1）斜率之和為0，直線過x軸上一定點(diǎn)；（2）斜率之和為一非零常數(shù)，直線過象限內(nèi)一定點(diǎn).筆者基于這一高考題來探究問題的本質(zhì).在橢圓背景下，筆者得到了兩斜率之和為定值，直線過定點(diǎn)的有關(guān)結(jié)論.

一、試題解析

題目：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

解：（1）略.

（2）證明：由橢圓C的方程可得F（1，0）.

當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°，結(jié)論顯然成立.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.當(dāng)直線l既不與x軸重合也不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l：x=my+1，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

則直線MA，MB的斜率之和為

由x1=my1+1，x2=my2+1，得

故kMA+kMB=0，即MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，即∠OMA=

在這個(gè)問題中，點(diǎn)M（2，0）與過右焦點(diǎn)的直線有什么聯(lián)系嗎？事實(shí)上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，經(jīng)筆者探究發(fā)現(xiàn)有如下結(jié)論.

二、背景探究

命題1橢圓，直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0）且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明

證明：同上題解析，也可證明其逆命題是成立的.

命題2橢圓點(diǎn)M的坐標(biāo)為直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若kMA+kMB=0，則直線l過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）.

簡證如下：當(dāng)直線l既不與x軸重合也不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l：x=my+t，令Δ＞0，設(shè)因?yàn)?/p>

希望m的變化對等式的成立沒有影響，

因此，可以得證.

結(jié)論1橢圓：點(diǎn) 的坐標(biāo)為M直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）.

評注：此結(jié)論是否只在直線過橢圓焦點(diǎn)時(shí)才成立呢？如果直線l僅是過x軸上某一定點(diǎn)是否也有此優(yōu)美的結(jié)論呢？筆者繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn).

結(jié)論2橢圓：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0）（t≠±a且t≠0），直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過定點(diǎn)

令Δ＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

分子為

必要性證明略.

評注：事實(shí)上不僅在橢圓中，在拋物線中也有相似的結(jié)論.例如2015年全國高考卷Ⅰ理科第20題，筆者將它推廣為一個(gè)與結(jié)論1類似的結(jié)論.

結(jié)論3拋物線C：y2=2px（p＞0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0）（t＜0），直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過定點(diǎn)（-t，0）.

證明略.

評注：斜率之和可以為其他非零常數(shù)嗎？筆者繼續(xù)探究得到結(jié)論4，也補(bǔ)充了結(jié)論2中點(diǎn)M與橢圓頂點(diǎn)重合的情況.

結(jié)論4橢圓，橢圓的右頂點(diǎn)M（a，0），直線l與橢圓交于異于點(diǎn)M的A，B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=（tt≠0）的充要條件是直線l過定點(diǎn)

證明：必要性.顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=kx+m.

可得m=-ak（此時(shí)直線l過橢圓右頂點(diǎn)）或

可得直線l過定點(diǎn)

充分性證明略.

結(jié)論5若點(diǎn)M為橢圓上頂點(diǎn)（0，b），直線l與橢圓交于異于點(diǎn)M的A，B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=t（t≠0）的充要條件是直線l過定點(diǎn)證明略.