一道壓軸題引發(fā)的思考

☉廣東省廣州市第八十九中學(xué) 歐陽圣

廣州市第八十九中學(xué)2018學(xué)年上學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試填空題壓軸題如下：

題目：已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若則|k|=______.

全校560多名學(xué)生參加考試，絕大部分考生選擇放棄，平均分不到0.5分，可謂全軍覆沒.原因是此題考查的知識點(diǎn)涉及到向量運(yùn)算、直線和圓錐曲線聯(lián)立消元、韋達(dá)定理、拋物線定義、向量的坐標(biāo)表示等.運(yùn)算復(fù)雜，思維嚴(yán)謹(jǐn)，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題策略于一體.這道題的常規(guī)解法如下：

解：設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），與拋物線y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn).

所以Δ=16-16km＞0，即km＜1，

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0）.由，得于是得

所以m=-k.② 所以

在有限的時間里，按照常規(guī)方法來解此題，需要扎實(shí)的基本功以及堅強(qiáng)的意志和耐心.此類試題在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬于客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的.很明顯是一道拉分題，所以有必要對此類題型進(jìn)行探究，找出解題規(guī)律或改進(jìn)解題方法.

此題中涉及斜率、離心率、定比分點(diǎn)、焦半徑等知識.讓人很容易聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.

定理1圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離之比是圓錐曲線的離心率.

定理2設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若，則

下面簡單證明定理2：如圖1所示，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)A1，B1，過點(diǎn)B作AA1的垂線BM，垂足為點(diǎn)M，連接AB.由定理1可知，

圖1

推論1若傾斜角為θ，則（三角恒等變形可知）.

推論2當(dāng)曲線的焦點(diǎn)在y軸上時

推論3無論是中的λ，還是中的λ，的值都是一樣的.

現(xiàn)在回到上面那道期中考試題中，將e=1，λ=2代入

解：這里，又有λ=4，代入公式得，故選A.

解：這里，又有λ=3，代入公式得，故選B.

這種方法相比于常規(guī)法，省略了復(fù)雜的運(yùn)算，在高考中，如果掌握了這個性質(zhì)，不僅可以節(jié)省很多時間，還可以輕松拿分.所以作為一名一線教師，在課堂上需要將“教師講授”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)生討論”，通過合作學(xué)習(xí)使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.在教學(xué)中，大膽放手，給學(xué)生充足的時間去互相討論，去合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主角以及知識的主動探索者.在創(chuàng)設(shè)研討、競爭的學(xué)習(xí)氣氛中，學(xué)生始終處于不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思考狀態(tài)中，一節(jié)課下來不但學(xué)到了自己感興趣的知識，而且使自己的自主性得到充分發(fā)揮.

教師不但要在課內(nèi)激發(fā)和維持學(xué)生自主參與的熱情，更要將課內(nèi)迸發(fā)出的參與熱情有效地延續(xù)到課外，以促使其在課外積極主動地探索數(shù)學(xué)知識的奧秘，并由此體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識所散發(fā)出的魅力，進(jìn)一步激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，從而使學(xué)生從課內(nèi)到課外始終處于積極主動、自覺參與的氛圍之中.

只要教師在教學(xué)中重視，并不斷地對學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練，久而久之就會使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展，使學(xué)生探究的積極性得到提高，并且通過不斷探究，從中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，然后運(yùn)用規(guī)律去解決同類問題.這樣既可以培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新精神，又可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)解題的樂趣.