失誤突破，對(duì)策剖析
——以2018年全國(guó)卷Ⅰ文科第20題為例

☉山東省青島第一中學(xué) 任軍濤

通過對(duì)高考試題的深入分析與研究，并進(jìn)行讀題、做題、議題、思題等步驟，關(guān)注高考對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想．下面以2018年全國(guó)卷Ⅰ文科第20題為例，這是一道以拋物線為背景的解析幾何問題，表述清晰，難度中等．而從高考后對(duì)此題的作答的調(diào)查情況來看，仍有頗多的典型失誤．

一、試題呈現(xiàn)

題目（2018·全國(guó)卷Ⅰ文·20）設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN．

本題涉及到拋物線的方程與幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的方程與斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力等．

解：（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，代入拋物線C：y2=2x，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2），

所以直線BM的方程為或

（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN；

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知直線BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN.

綜上所述，∠ABM=∠ABN．

二、典型失誤與對(duì)策分析

1．對(duì)而不全

在第（2）問的證明過程中，沒有對(duì)“l(fā)與x軸垂直”和“l(fā)與x軸不垂直”兩種情況進(jìn)行分類討論，就直接設(shè)出直線l的方程為y=k（x-2），然后進(jìn)行推演與證明．

分析：對(duì)于后者的錯(cuò)誤，這是解析幾何中涉及直線方程的斜率存在性問題中最常見的典型失誤，屬于邏輯性錯(cuò)誤．這類典型失誤在平時(shí)課堂教學(xué)過程中會(huì)經(jīng)常強(qiáng)調(diào)．但在實(shí)際解答過程中，由于受到問題的特殊性以及高考狀態(tài)下學(xué)生思維的片面性等原因的影響，導(dǎo)致此類失誤一再出現(xiàn)．

這類典型失誤除了在解析幾何中出現(xiàn)，在其他知識(shí)點(diǎn)中也經(jīng)常出現(xiàn)．例如，在三角運(yùn)算中“角的范圍限制”問題，等比數(shù)列中的首項(xiàng)以及公比“非零”問題，直線與圓錐曲線相交的“判別式”問題，基本不等式中“一正二定三相等”問題，函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)與其“單調(diào)性的關(guān)系”問題，函數(shù)的極值點(diǎn)與“導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系”問題等，都是比較容易出現(xiàn)忽略、遺漏或是轉(zhuǎn)化過程的不等價(jià)變換等情況．

對(duì)策：加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，特別是嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練．邏輯推理與解答過程是類似的，必須具備等價(jià)性．而在解答題的書寫過程中，就必須嚴(yán)謹(jǐn)，正確區(qū)分從一般到特殊以及從特殊到一般的關(guān)系．在以上典型失誤中，解答過程中畫出的直線l是某一瞬間的、特別的情況，不可能同時(shí)包括“l(fā)與x軸垂直”和“l(fā)與x軸不垂直”這兩種情況，進(jìn)而在解答的書寫過程中就會(huì)導(dǎo)致遺漏，造成對(duì)而不全．

教師在教學(xué)過程中，必須重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性（變式法）、靈活性（多視角）、創(chuàng)新性（構(gòu)造法）以及全面性（等價(jià)轉(zhuǎn)化）的培養(yǎng)與訓(xùn)練．針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從問題的不同角度、各種關(guān)系、相關(guān)屬性等進(jìn)行全面考慮，靈活地解決問題．

2．運(yùn)算不準(zhǔn)

在第（1）問的求解過程中，出現(xiàn)了運(yùn)算出錯(cuò)，坐標(biāo)確定出錯(cuò)，直線方程出錯(cuò)等；在第（2）問的證明過程中考查數(shù)學(xué)基本運(yùn)算，包括直線的斜率之和、直線與拋物線的位置關(guān)系等問題中的運(yùn)算，有的在kBM+kBN的轉(zhuǎn)化過程中運(yùn)算出錯(cuò)，有的在直線方程代入拋物線方程中運(yùn)算出錯(cuò)，有的在利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化中運(yùn)算出錯(cuò)，有的是運(yùn)算一半，無法進(jìn)行下去而出錯(cuò)，總之運(yùn)算過程中變量較多，運(yùn)算繁雜，從而導(dǎo)致失誤．

分析：運(yùn)算錯(cuò)誤分析其原因有兩個(gè)：一個(gè)是知識(shí)性錯(cuò)誤，一個(gè)是心理性錯(cuò)誤．

（1）基本知識(shí)掌握不牢固，導(dǎo)致知識(shí)性錯(cuò)誤．本題比較常見的有直線的斜率公式出錯(cuò)而導(dǎo)致相關(guān)的運(yùn)算出錯(cuò)，直線與橢圓的位置關(guān)系中聯(lián)立方程組的運(yùn)算出錯(cuò)，根與系數(shù)的關(guān)系中表達(dá)式的運(yùn)算出錯(cuò)等．而在其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)中，也經(jīng)常會(huì)由于相應(yīng)基本知識(shí)掌握不牢固的情況而導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)．

（2）心理因素不穩(wěn)定導(dǎo)致麻痹大意或過度緊張．由于在高考的高壓狀態(tài)下，考生的心理狀態(tài)很容易被分為兩個(gè)極端，一個(gè)是麻痹大意，一個(gè)是過度緊張，其都是心理因素不穩(wěn)定造成的．而其最終造成的結(jié)果就是要么對(duì)簡(jiǎn)單運(yùn)算不夠重視，要么心態(tài)不穩(wěn)導(dǎo)致筆誤等，最終都會(huì)造成運(yùn)算錯(cuò)誤．

對(duì)策：加強(qiáng)課內(nèi)、課外訓(xùn)練．

（1）課內(nèi)強(qiáng)化訓(xùn)練．在課堂教學(xué)中，重視對(duì)學(xué)生基本運(yùn)算求解能力的訓(xùn)練，力求做到基本運(yùn)算零失誤．在專心、細(xì)心、耐心、信心等方面下功夫，在學(xué)生的每一個(gè)細(xì)節(jié)上尋求突破，實(shí)現(xiàn)全面提升．

（2）課外面批訓(xùn)練．利用自習(xí)課等，在作業(yè)解答、測(cè)試訓(xùn)練中，通過課外面批，針對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，指導(dǎo)學(xué)生有針對(duì)性地對(duì)知識(shí)點(diǎn)、心理素質(zhì)等加以訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生基本知識(shí)的進(jìn)一步熟練掌握，心理素質(zhì)的進(jìn)一步有效提升．

3．思維不暢

在第（2）問的證明過程中，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，要證明∠ABM=∠ABN成立，轉(zhuǎn)化為BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，即kBM+kBN=0來處理．由于思維不暢，無法進(jìn)行上述思維的合理轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致無從下手．

分析：解決問題的思維方式往往是巧妙轉(zhuǎn)化與化歸，解題思維的切入點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．通過分類討論，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN；當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，如何選定證明∠ABM=∠ABN時(shí)所切入的角度，就是解決問題的關(guān)鍵．由于思維不暢，不會(huì)加以巧妙轉(zhuǎn)化利用BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，即kBM+kBN=0來處理．

（1）導(dǎo)致思維不暢的一個(gè)主要原因是知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系不夠密切．很多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間是相互聯(lián)系，密切相通的，這在解題過程中需要經(jīng)常對(duì)思維加以轉(zhuǎn)化．例如直線與圓錐曲線有無交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的判別式的正負(fù)取值，直線的斜率與對(duì)應(yīng)的傾斜角，直線垂直與圓的關(guān)系，平面向量的數(shù)量積與垂直、平行關(guān)系等，都是思維轉(zhuǎn)化的重要知識(shí)點(diǎn)．

（2）導(dǎo)致思維不暢的另一個(gè)主要原因就是缺少解題的靈活性，當(dāng)一種思維不暢時(shí)，可以采取其他思維方法來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．其實(shí)本題中，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，要證明∠ABM=∠ABN成立，還可以轉(zhuǎn)化為：①巧設(shè)直線l的方程為：x=my+2（m∈R），結(jié)合角平分線的性質(zhì)知，若有∠ABM=∠ABN，則有成立；利用兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化以及比值的應(yīng)用得到相應(yīng)關(guān)系式成立，進(jìn)而得以證明∠ABM=∠ABN.②巧設(shè)直線l的方程為x=my+2（m∈R），利用平面幾何方法，根據(jù)∠ABM=∠ABN的等價(jià)條件Rt△BFN∽R(shí)t△BEM的轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何中對(duì)應(yīng)直角三角形相應(yīng)邊的比值的關(guān)系式的建立與轉(zhuǎn)化來分析，進(jìn)而得以證明∠ABM=∠ABN.③通過設(shè)出直線l的參數(shù)方程為θ為直線l的傾斜角，θ≠0，t為參數(shù)），引入?yún)?shù)，結(jié)合直線BM，BN的斜率之和kBM+kBN=0的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而來確定直線BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，最終得以證明∠ABM=∠ABN等．

對(duì)策：加強(qiáng)全面分析，一題多解的訓(xùn)練．

（1）加強(qiáng)全面分析．在分析問題時(shí)，要全面把握題目所提供的所有關(guān)鍵信息，尋找相關(guān)信息之間的關(guān)聯(lián)，探索已知信息與所求結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)通道與轉(zhuǎn)化途徑，力求解題方向明確，思維體系通暢，內(nèi)在聯(lián)系明了，解題運(yùn)算簡(jiǎn)單．

（2）加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練．在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，學(xué)生的思維極具定向性、專一性．而“一題多解”恰好是克服其思維定式的有效途徑，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和思維靈活多樣性的有效方法．通過“一題多解”的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生從多角度、多途徑、多知識(shí)尋求解題方法，開拓解題思路，進(jìn)而通過多種解法的對(duì)比與分析選取最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，提升解題能力，增強(qiáng)思維品質(zhì)，最終提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

三、幾點(diǎn)反思

以上只是這道解析幾何問題的一些典型失誤，在其他知識(shí)點(diǎn)的解題過程中也存在類似的失誤，有時(shí)還有其他方面的失誤．這些典型失誤在平時(shí)教學(xué)過程中重復(fù)出現(xiàn)，而在考場(chǎng)中也時(shí)時(shí)重演著．

從教師層面，應(yīng)加強(qiáng)與學(xué)生面對(duì)面的交流，指導(dǎo)學(xué)生從平時(shí)抓起，從“糾錯(cuò)本”入手，注意細(xì)節(jié)，提高正確率．不少教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)方法等方面的指導(dǎo)還不夠，只是沿用傳統(tǒng)的線性方式記筆記和糾正錯(cuò)題，沒有形成體系化，導(dǎo)致記憶效果不佳．從學(xué)生層面，必須加強(qiáng)學(xué)科學(xué)習(xí)體系、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)方法等方面的改進(jìn)，注重自主學(xué)習(xí)，使得學(xué)科內(nèi)容體系化、解題過程嚴(yán)謹(jǐn)化、學(xué)習(xí)動(dòng)力內(nèi)驅(qū)化，真正做到自主學(xué)習(xí)并科學(xué)掌握．

總之，教師要充分挖掘?qū)W生自身內(nèi)部的能動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減少或避免由于各種原因?qū)е碌牡湫湾e(cuò)誤，真正達(dá)到學(xué)會(huì)、會(huì)做、做好的目的．H