基于“解決問題”的微專題復(fù)習(xí)案例設(shè)計與思考
——以“導(dǎo)數(shù)在三次函數(shù)中的應(yīng)用”為例

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

近期，本人受淮安市教研室的委托，為本市特級教師工作室的老師上了一節(jié)“基于解決問題的微專題復(fù)習(xí)”展示課，現(xiàn)將上課前后的心路歷程呈現(xiàn)出來.本課立足于一道考題，從母題出發(fā)，建構(gòu)三次函數(shù)的圖像特征，對一些零散的知識進行串聯(lián)，運用變式巧妙挖掘，既能探究解決問題的通性通法，又能依據(jù)問題的特點尋求簡化解法，教會學(xué)生如何思考，培養(yǎng)和提高學(xué)生“解決問題”的能力.

一、案例設(shè)計

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在江蘇高考中地位突出，常考常新.三次函數(shù)更是高考的高頻考點，在全國各地的?？寂c高考中爭奇斗艷，特別是三次項的系數(shù)含參的三次函數(shù)問題更成為各地競相展演的重點，真可謂“你方唱罷我登場”.

1.課前熱身（課前10分鐘）

（1）（教材改編）函數(shù)f（x）=x3-3x-1的單調(diào)減區(qū)間為______.

（2）（2016蘇州模擬）已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時有極值0，則a-b=______.

（3）函數(shù)f（x）=x3-ax-1在（-2，+∞）上既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為______.

（4）（2016揚州模擬）函數(shù)f（x）=x3-3x+a有三個零點，則a的取值范圍為______.

設(shè)計意圖：教材中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要講兩個方面，一是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，二是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極（最）值.函數(shù)的單調(diào)性與極（最）值是研究函數(shù)的重要基礎(chǔ)，函數(shù)其他性質(zhì)的研究最終都要落實到這二者上.以上四個小題都很基礎(chǔ)，目的是深化學(xué)生對基礎(chǔ)知識以及重要考點的理解與掌握.

2.問題提出

母題（2008江蘇高考14題改編）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1，討論f（x）的單調(diào)性.

設(shè)計意圖：母題是本節(jié)課的“魂”.設(shè)計目的有五個：一是探究三次項的系數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性；二是借助本例題探索一般三次函數(shù)的圖像特征；三是利用三次函數(shù)的圖像特征深化研究有關(guān)三次函數(shù)性質(zhì)的問題；四是適當(dāng)降低難度，搭建臺階，為解決2008年江蘇高考第14題作鋪墊；五是期望以母題為出發(fā)點，進行一題多解、一題多變、一題多用的訓(xùn)練，使學(xué)生能夠多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識問題，全面深化“解決問題”的能力.

3.合作交流

師：請同學(xué)們按獨立思考、小組交流、成果展示這樣的流程探究母題.

生1：f′（x）=3ax2-3，由于含參，首先考慮對參數(shù)進行分類討論.

①當(dāng)a≤0時，f′（x）=3ax2-3＜0對于?x∈R恒成立，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間.

②當(dāng)a＞0時，

令f′（x）=3ax2-3=0，得或

易得，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和單調(diào)遞減區(qū)間為

師：生1同學(xué)運用分類討論思想給出了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.你能由單調(diào)區(qū)間畫出該函數(shù)的示意圖嗎？哪位同學(xué)來展示一下？

生2：

4.探究提升

師：生2同學(xué)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分三種情況畫出了該函數(shù)的示意圖，直觀體現(xiàn)了函數(shù)的圖像特征.如果將該三次函數(shù)一般化，同學(xué)們能參照上述的分析過程，探究一般三次函數(shù)的圖像特征嗎？我們約定：三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax2+2bx+c，方程f′（x）=0的判別式Δ=4（b2-3ac）.

師生合作探究，歸納出如下結(jié)論：

a＞0 Δ＞0 Δ=0 Δ＜0導(dǎo)函數(shù)圖像y原圖函像數(shù)xx單調(diào) 遞增區(qū)間（-∞，x1），（x2， 遞增區(qū)間 遞增區(qū)間區(qū)間+∞），遞減區(qū)間（x1，x2） （-∞，+∞） （-∞，+∞）

（a＜0時，仿上）

5.縱引橫聯(lián)

問題1：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

生3：由生2所作示意圖可知，（1）當(dāng)a≤0時，顯然符合題意；（2）當(dāng)a＞0時，區(qū)間（-1，1）必為的子區(qū)間，

即0＜a≤1.

綜上，a∈（-∞，1］.

生4：分兩步：首先轉(zhuǎn)化為恒成立問題；其次是分離參數(shù)、分類討論.

由題可知，f′（x）=3ax2-3≤0對?x∈（-1，1）恒成立.則

（1）當(dāng)x=0時，a∈R；

（2）當(dāng)x≠0時對?x∈（-1，0）∪（0，1）恒成立，所以a≤1.

綜上，a∈（-∞，1］.

設(shè)計意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生感悟并理解“函數(shù)在某區(qū)間上遞減（增）”即“該區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞減（增）區(qū)間的子區(qū)間”；（2）引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)函數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系出發(fā)，探究“函數(shù)在某區(qū)間上遞減（增）”必有“在此區(qū)間上f′（x）≤0（f′（x）≥0）恒成立”；（3）熟練掌握用分離參數(shù)法來研究恒成立問題；（4）鞏固數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

問題2：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），求實數(shù)a的值.

生5：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間就是f′（x）＜0的解集，所以

即（-1，1），

設(shè)計意圖：問題2意在與問題1進行比較，讓學(xué)生辨別“函數(shù)的單調(diào)遞減（增）區(qū)間”與“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減（增）”的關(guān)系.

問題3：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：何為“不單調(diào)”？對于連續(xù)函數(shù)（常函數(shù)除外）而言，函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，意思為函數(shù)在該區(qū)間上既有遞增區(qū)間又有遞減區(qū)間，可進一步理解為，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有極值點.因此，即

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生透徹理解“函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)不單調(diào)”的含義，深化學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識.

問題4：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1在區(qū)間［1，2］上存在單調(diào)增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：首先，當(dāng)a≤0時，f（x）在區(qū)間［1，2］單調(diào)遞減，不符合題意，因此必有a＞0.

生6：由于函數(shù)f（x）在其遞增區(qū)間上滿足f′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］上存在單調(diào)增區(qū)間，即f′（x）＞0在［1，2］上有解，換句話說，f′（x）＞0的解集與［1，2］有公共區(qū)間.所以，，即

設(shè)計意圖：通過對關(guān)鍵詞“存在”的理解，使學(xué)生掌握“函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)增（減）區(qū)間”即這個區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間有公共區(qū)間.

變式1：已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-x+c在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

變式2：已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-x+c在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.

通過對以上四個問題及兩個變式的研究，指導(dǎo)學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)、單調(diào)性、極（最）值等知識進行梳理，既理解了概念，又掌握了方法，也滲透了數(shù)學(xué)思想，學(xué)生對考點的把握達到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、深刻化.

6.課后思考

1.（2014遼寧高考11題）當(dāng)x∈［-2，1］時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則a的取值范圍為______.

2.（2012浙江高考17題）關(guān)于x的不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0對任意的x＞0恒成立，則實數(shù)a=______.

設(shè)計意圖：設(shè)計思考題，意在讓學(xué)生進一步感知高考試題，深化鞏固用最值法和分離參數(shù)法來探究恒成立問題中的參數(shù)范圍（或值），尤其是思考2在最值法、分離參數(shù)法等常規(guī)方法難以奏效的情況下，如何尋找解題突破口？可否借助三次函數(shù)的圖像特征尋求解題之道？由于求的是a的值而不是取值范圍，那么賦值法是否可行？這樣的設(shè)計有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、反思感悟

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.從課堂實施的效果來看，本節(jié)課的教學(xué)是比較成功的，教學(xué)過程體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用，突出了學(xué)生的主體地位，使學(xué)生在活躍愉快的生生合作及師生合作中完成了教學(xué)目標(biāo).課堂教學(xué)之后，筆者對本節(jié)課的教學(xué)進行了全面的回顧與小結(jié)，對此也有了更深入的思考，并發(fā)現(xiàn)在教學(xué)實踐中存在的一些缺憾.

1.明確主題，拓展思維

本節(jié)課的課題是“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——三次函數(shù)”，主旨是“基于‘解決問題’的微專題復(fù)習(xí)”，教學(xué)過程始終圍繞主題展開，精心設(shè)計問題串，為學(xué)生營造了廣闊的思維空間，使學(xué)生的思維有了一定的深度和廣度，較深層次地參與到教學(xué)過程之中.無論是問題的設(shè)置與環(huán)節(jié)的掌控，還是活動的展開，都循序漸進、過渡自然、水到渠成.

2.設(shè)計合理，教法恰當(dāng)

本節(jié)課以高考題為載體，核心是用導(dǎo)數(shù)研究含參三次函數(shù)的單調(diào)性，并以此為抓手探究恒成立問題的解法，其中導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系在知識形成的過程中起著關(guān)鍵作用.筆者在教學(xué)中首先通過課前熱身，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，又將2008年江蘇高考14題改編設(shè)計出母題，并由此展開含參三次函數(shù)單調(diào)性的探究，為最終解決該高考題搭建平臺，在教學(xué)過程中對導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系作了細(xì)致地分析與探究，使學(xué)生可以通過對這一關(guān)系的理解，更好地把握“最值法”和“分離參數(shù)法”.

3.突出重點，深度探究

整節(jié)課在“問題”的驅(qū)動下，學(xué)生通過自主探究、合作探究等方式掌握知識、訓(xùn)練思維、培養(yǎng)能力，從而有效地突出了本節(jié)課的重點與難點.課堂上筆者設(shè)計了很多活動，從中可以看出知識是學(xué)生在自主探究中獲得的，問題是學(xué)生在自我辨析中解決的，過程與方法目標(biāo)的達成度較好.

4.流程平實，注重層次

具有以下特點：①導(dǎo)——引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深入思考.如對“函數(shù)在區(qū)間（1，2）上不單調(diào)”和“函數(shù)在區(qū)間［1，2］上存在單調(diào)增區(qū)間”兩個問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生借助三次函數(shù)的圖像，探尋“不單調(diào)”與“區(qū)間內(nèi)存在極值點”之間的關(guān)系，探尋“區(qū)間［1，2］”與“函數(shù)的遞增區(qū)間”之間的關(guān)系，將學(xué)生的思維引向深處.②啟——啟發(fā)學(xué)生用多種方法解決同一問題，拓展學(xué)生思維.如在研究2008年江蘇高考14題的過程中，啟發(fā)學(xué)生從不同視角出發(fā)，用“最值法”“分離參數(shù)法”“特殊值法”等方法來求解，體會一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.③提——提高思維層次，提升思維品質(zhì).如在研究2008年江蘇高考14題時，在學(xué)生用第三種方法“特殊值探路，避免討論”后，繼續(xù)追問，能否更進一步，再賦值，從而將特殊值法發(fā)揮到極致.④變——通過“一題多變”培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.本節(jié)課從母題出發(fā)，立足于導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，縱引橫聯(lián)，一題多變，設(shè)計出一系列問題，加深學(xué)生對知識的理解，有利于學(xué)生思維水平的提升.

5.白壁微瑕，不足尚存

問題3與問題4是學(xué)生在本節(jié)課中需要突破的兩個難點，在引導(dǎo)學(xué)生進行辨析時，應(yīng)留出充足的時間讓學(xué)生進行獨立思考和討論分析，并通過師生互動的方式深入剖析，使學(xué)生充分領(lǐng)會“不單調(diào)”及“在某區(qū)間上遞增”的本質(zhì)含義，以達成教學(xué)目標(biāo)，但在教學(xué)的實施過程中，此處的處理有些倉促，剖析、挖掘得不夠深入.H