借助幾何直觀理解問題 構(gòu)建直觀模型解決問題*
——淺談學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

☉江 蘇 省 太 湖 高 級 中 學 周德明

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研發(fā)展中心 王華民

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》課程目標的集中體現(xiàn)，其中直觀想象是六個核心素養(yǎng)之一.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).直觀想象包括“直觀感知”和“空間想象”兩部分.直觀是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識；幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題［1］，徐利治教授認為幾何直觀是指借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知.本文的討論側(cè)重于幾何直觀方面，通過建立形與數(shù)的聯(lián)系，借助幾何直觀理解問題，構(gòu)建直觀模型探索解決問題的方法.

一、建立數(shù)與形的聯(lián)系，引導學生增強數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識

直觀想象的載體是圖形，數(shù)和形是數(shù)學研究與學習的基本對象，相對而言，形直觀而數(shù)抽象.正如華羅庚先生所言：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎.向量的數(shù)量積具有代數(shù)形式與幾何形式雙重身份，而解析幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.因此，向量和解析幾何試題的結(jié)合是非常自然的.

問題1設點P是圓O：x2+y2=16上的任意一點，EF是圓M：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑，求的最大值.

解析：這是一道解幾背景的向量數(shù)量積的最值問題，如圖1，一般應從向量數(shù)量積的代數(shù)和幾何特征加以分析、求解.

圖1

（代數(shù)角度）根據(jù)數(shù)量積定義的坐標表示：a·b=x1x2+y1y2，設點P的坐標為（x，y），E（m，n）.因為EF是圓M：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑，則

由于m2+（n-2）2=1，即y）在圓O上，則所以4y.又因為-4≤y≤4，故的最大值為35.

（幾何角度）在△PEF中，PM為邊EF上的中線，運用向量加法的三角形法則，得，將代入，化簡得

觀察圖形，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”和兩圓的位置關系的性質(zhì)，得，當且僅當P、O、M三點共線時，|PM|取得最大值為6.

評注：代數(shù)法是抓住數(shù)量積定義的坐標形式，從數(shù)的角度進行推理運算，有一定的運算量；而幾何法則是充分利用圖形的結(jié)構(gòu)特點，從向量加法的三角形法則出發(fā)，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為|PM|2-1，結(jié)合圖形，利用“三角形三邊關系”和圓的幾何性質(zhì)處理，簡單、流暢，凸顯了幾何法的優(yōu)越性.當然，上述解答也可先從幾何角度出發(fā)，得（*），再從代數(shù)角度求解，設P點為（x，y），則，下面同代數(shù)法.

教學啟示：新課標指出，要突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟知識之間的關聯(lián).上述兩種不同視角是對數(shù)量積問題處理的通性通法，本題幾何法優(yōu)勢明顯.在解析幾何與向量的解題教學中，可優(yōu)先考慮用“形”解，借助圖形、利用幾何性質(zhì)，往往比較簡潔.筆者認為解決數(shù)學問題有兩個基本視角——數(shù)和形，以形助數(shù)或以數(shù)解形.從課堂教學反饋來看，部分學生雖有數(shù)形結(jié)合的意識，但意識不強，因此要通過問題分析、學生談感悟等途徑，引導學生增強數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識，以加深對數(shù)學整體性的理解，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

二、借助幾何直觀使抽象問題形象化，促進學生理解概念、建構(gòu)數(shù)學

由于幾何直觀主要是依托圖形來描述問題，然后進行數(shù)學思考和想象，因此需畫圖在前，分析在后.圖形也包括函數(shù)圖像、數(shù)據(jù)表格和具體情境等.教學中，借助幾何直觀，使抽象問題具體化、形象化，促進學生理解概念、建構(gòu)數(shù)學，為想象提供更高的平臺和起點.

1.借助直觀圖形，幫助學生理解函數(shù)概念，建構(gòu)性質(zhì)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學中最基本的概念之一，是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，其貫穿于整個高中數(shù)學課程，但函數(shù)的概念比較抽象，學生不太理解學習它的必要性.函數(shù)概念已經(jīng)有了初中階段的“變化說”，為何在高中要學習“對應說”呢？學生一頭霧水.筆者認為通過畫出圖形，舉例說明來學習函數(shù)，可以起到事半功倍的效果.第一步，請同學們回憶初中的函數(shù)概念（略），函數(shù)的三種表示——解析式法、列表法和圖像法.第二步，畫出下邊兩個圖形，并提問：圖2、圖3是不是函數(shù)？通過觀察圖像可以清晰發(fā)現(xiàn)，x在變化，但y在某一個范圍內(nèi)是不變的，按原來的函數(shù)觀點解釋，有點牽強，因此有必要對函數(shù)的定義進行拓展、修正與完善.第三步，出示兩個對應的集合圖，如圖4，教師簡要說明后，讓學生概括出函數(shù)的定義，并完善（定義略）.

圖2

圖3

評注：教師通過舉例、兩次畫圖，讓學生感知到具體的圖形、具體的函數(shù)，看得見摸得著，一目了然，使抽象的函數(shù)具體化，學生更容易理解.類似地，指數(shù)函數(shù)對學生而言是一個全新的函數(shù)，學習指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是通過畫兩個特殊的指數(shù)函數(shù)的圖像，并用《幾何畫板》演示不同底數(shù)a對圖像的影響，得出兩類指數(shù)函數(shù)的圖像，而圖像可以直觀地反映出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：在x軸上方過定點（0，1）和a＞1、0＜a＜1時函數(shù)的單調(diào)性等.

2.借助直觀情境，探求等差數(shù)列前n項和公式

在等差數(shù)列前n項和公式的教學中，一位骨干教師創(chuàng)設了下面兩個問題情境：

情境1：蘇教版必修5P40的一道探究題（上一課作業(yè)題12）：1934年東印度（今孟加拉國）學者德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”：

（1）每一行有何特點？每一列有何特點？

（2）“正方形篩子”中位于第100行的第100個數(shù)是多少？

學生回答后教師出示問題1：求這個“正方形篩子”第一行的前100個數(shù)之和？求這個“正方形篩子”第一行的前n個數(shù)之和？

明確目標：求等差數(shù)列前n項和的問題.

情境2：教師用ppt出示鋼管實物圖（如圖5）：這是某倉庫堆放的一堆鋼管，縱截面如圖6所示，則這堆鋼管的總數(shù)有多少？

圖5

圖6

問題2鋼管圖形給我們什么信息？這是一個關于什么的數(shù)學問題？

學生不難得出：最上面一層有4根，下面每一層比上一層多一根，最下面一層有9根，這是一個求等差數(shù)列前6項和的問題.9，共有6層，從而鋼管總數(shù)為

再推廣到一般Sn=a1+a2+a3+…+an，得出倒序相加法（略）.

評注：創(chuàng)設的兩個問題情境，一個是由一道作業(yè)題（數(shù)表）引出等差數(shù)列的求和問題，是從解答數(shù)學問題的需要上來創(chuàng)設的情境，比較自然；另一個是課本上的一道鋼管總數(shù)問題（實物），從圖形的直觀性上，學生看出鋼管數(shù)據(jù)之間的關系，從高斯求和聯(lián)想到倒序拼接，以此歸納出等差數(shù)列求和的倒序相加法.這是借助數(shù)表和實物兩個幾何直觀來幫助學生理解等差數(shù)列求和公式的形成過程.

教學啟示：對于函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等問題，借助函數(shù)圖像、數(shù)表、實物等幾何直觀，既有助于學生理解概念，建構(gòu)數(shù)學結(jié)論（公式、定理、性質(zhì)），也有助于學生借助函數(shù)圖像，架起方程、不等式通往函數(shù)的“橋梁”，得出不等式的解集，還可從變換的視角將復雜函數(shù)“看”簡單.因此，要通過訓練讓學生感受圖形的力量，可以通過經(jīng)常畫簡圖以達到熟練地看圖說話、借圖表達、借圖探究的目的，從而培養(yǎng)學生主動用圖的意識.有時借助《幾何畫板》等數(shù)學軟件的動態(tài)演示，會使圖形更形象、更直觀，學生也更容易弄清問題的本質(zhì).

如何求和呢？有的學生聯(lián)想到高斯求和法.教師肯定后，引導學生從幾何圖形角度去處理：在這堆鋼管旁邊倒放著一堆鋼管（如圖6），每層的鋼管總數(shù)都等于4+

三、構(gòu)建直觀模型使復雜問題簡單化，幫助學生拓寬思路、提升能力

數(shù)學家黎曼說過：“每一個數(shù)學公式背后都有一個反映其本質(zhì)的幾何模型.”其實，許多代數(shù)問題的背后都有一個幾何模型，有的模型是隱性的，不易發(fā)現(xiàn)，需要憑借一雙慧眼，通過想象，挖掘其幾何意義，構(gòu)建直觀模型，才能使復雜問題簡單化，最終尋求解題突破.

1.構(gòu)造特殊的幾何圖形，利用直觀模型解決問題

由于向量有著豐富的幾何背景和幾何意義，向量及其運算的工具性貫穿于高中數(shù)學教材體系的不同內(nèi)容和不同問題之中，因此要理解向量運算的幾何意義，構(gòu)造幾何圖形，以發(fā)揮向量幾何直觀的優(yōu)勢.

問題3（無錫市高一期末測試題12）設向量a，b滿足|a-b|=2，|a|=2，且a-b與a的夾角為則|b|=______.

解析1：從代數(shù)運算角度考慮（略）.

解析2：從向量幾何意義角度思考，畫出圖形，如圖7，這三個向量構(gòu)成一個等腰三角形，且一個角為60°，則該三角形為等邊三角形，故|b|=2.

圖7

評注：這是筆者所教高三“向量復習課”的一個真實案例，教師在出示問題3后，大部分學生想到了解析1會有一定的運算量；解析2是夏同學自告奮勇上講臺，通過構(gòu)造圖形來解決的，贏來了一片掌聲，夏同學很興奮.通過舉手反饋，該班能想到構(gòu)造法的寥寥無幾.

教學啟示：史寧中先生認為“直觀不是‘教’出來的，而是自己‘悟’出來的，這就需要積累經(jīng)驗”.夏同學能夠借助想象，構(gòu)造出一個三角形解決了問題，說明他直覺思維能力強，對平面幾何中特殊三角形的判定和性質(zhì)很熟練.“構(gòu)造”是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要途徑，如何讓夏同學的一點“星火”燎原呢？學生的幾何直觀雖有先天成分，但高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，則需依賴于個體積極參與到幾何活動中.在向量、解析幾何的教學中，要積極引導學生養(yǎng)成主動想圖、作圖和用圖的習慣，注意聯(lián)想幾何圖形的形象關系；在函數(shù)、數(shù)列的教學中，要挖掘符號背后隱含的圖形信息，學會“看”出思路，“看”出簡潔，積累方法和經(jīng)驗，鼓勵構(gòu)造，這樣不但有利于探索解決問題的思路和預測結(jié)果，還有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和直觀想象素養(yǎng).

2.挖掘隱性的幾何模型，利用軌跡思想解決問題

雖然解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法來研究幾何問題，但仍需強調(diào)圖形的重要性，包括圖形的觀察，特別是運動變化中的不變性，抓住幾何特征去思考，或挖掘動點的軌跡，利用軌跡思想去解決.有的代數(shù)問題需要挖掘其背后的幾何意義，而且利用幾何模型來探索思路往往簡單易行.

問題4（無錫市高二期末測試題14）已知直線ax+by+c=0始終平分圓C：x2+y2-2x+4y-4=0（C為圓心）的周長，過點P（6，9）作直線l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0的垂線，垂足為H，則線段CH長度的最大值是______.［2］

解析：這道壓軸題涉及到直線與圓，是高考考查的C級要求，但得分率很低（僅0.1）.由直線始終平分圓的周長知，直線過圓心C（1，-2），故a+c=2b.因直線l含有較多字母，不妨消c，得l：a(2x+y-3)+b(4-x)=0.由2x+y-3=0且4-x=0，得直線l過定點Q（4，-5），而接下來學生的思維受阻.因為線段CH的變化是源于垂足H的變化，故可以挖掘隱含的“軌跡”信息，由P，Q為定點且∠PHQ=90°知，動點H的軌跡是以PQ為直徑的一個圓，計算得圓心D（5，2），半徑，所以，因此可以求出線段CH的最大值為

評注：本題含兩個變量x，y，三個參數(shù)a，b，c，運用了消元、軌跡的思想和對稱、配方的方法，綜合性較強.從學生反饋來看，直線過定點的隱含信息尚有四成的學生能發(fā)現(xiàn)，但“隱圓”的信息僅有幾位學生發(fā)現(xiàn).

問題5（2012鹽城二?！?4）若實數(shù)a，b，c，d滿足，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為_____.［3］

解析：本題用代數(shù)符號表示，含四個變量，許多學生不知所措，需要挖掘代數(shù)符號的幾何意義.條件式背后的幾何意義是動點（a，b）在曲線a2-2lna=b上，動點（c，d）在直線3c-d=4上.目標式背后的幾何意義是兩點間距離的平方，不難得出該問題的幾何意義是曲線y=x2-2lnx與直線y=3x-4上（各取一點）兩動點距離的最小值的平方，則轉(zhuǎn)化為一個常規(guī)的問題，通過對曲線求導，得切點（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離，從而求出最小值.

評注：這道難題的解答過程能變得如此簡潔、流暢，是源于想象出了代數(shù)問題的幾何背景，用解析幾何的視角來解決，揭示問題的本質(zhì)：求兩條曲線上（各取一點）兩動點距離的最小值的平方.

教學啟示：類似于問題4的試題頻頻出現(xiàn)在高考和競賽題中，如2000北京春季高考題22，2008年江蘇高考題13，第十屆美國數(shù)學邀請賽試題等，它具有一定的普遍性，都是挖掘代數(shù)符號的幾何模型——圓（動點的軌跡），再利用圓的相關性質(zhì)求解.而且有些看似與軌跡無關的取值范圍問題，只要充分挖掘其潛在的幾何意義，求出方程、判斷軌跡，就可以發(fā)現(xiàn)解題思路.問題5構(gòu)建了“直線與曲線”的模型.當然，根據(jù)解決問題的需要，還可能構(gòu)建其他幾何直觀模型，如橢圓（2011年高考重慶卷），三點共線（蘇北四市高三調(diào)研試卷）等.這些問題都是通過想象、挖掘，構(gòu)建出幾何模型，使得復雜問題簡單化，抽象問題形象化.然而“軌跡”思想和隱性信息的挖掘卻是不少學生的軟肋，需引起師生的重視，既要有挖掘隱性信息的意識，也要熟悉高中數(shù)學中常用到的直線、圓、橢圓等軌跡，借助模型的幾何性質(zhì)來解決問題，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力.能給出基本不等式的幾何解釋嗎？”其實這個模型也是基本不等式的幾何直觀模型，天平秤以及實驗數(shù)據(jù)也是幾何直觀，有助于學生感受、理解基本不等式.遺憾的是，受題海戰(zhàn)術的影響，日常教學對該情境不夠重視，僅讓學生課后看看.

新課標指出直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎.需要指出的是，有的幾何直觀是借助經(jīng)驗、觀察、類比所產(chǎn)生的對事物關系的直接感知，其正確性還需要通過邏輯推理的嚴格證明.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形直觀和空間想象來思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，從而積累活動經(jīng)驗，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.從本文分析可見，在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)還須注重“自然性”，從平面到空間，從數(shù)到形，不是一個過渡而是一次飛躍，是自然而然的質(zhì)變［4］.要做到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的境界還有很長的路，隨著各地新課標的實施，教育工作者會越來越重視學科核心素養(yǎng)，今后的高考也會逐步加大對核心素養(yǎng)的考查力度，所以數(shù)學教師要立足于課堂主陣地，潛心研究數(shù)學核心素養(yǎng).任務是艱巨的，但前途是光明的，值得我們?yōu)橹龀霾恍傅呐?

我們注意到，人教版、蘇教版等很多教材的編者都比較重視幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，譬如蘇教版的“基本不等式”，開始就給出了“天平秤”實物和一組實驗數(shù)據(jù)，之后出示一個“半圓模型”（如圖8），最后提出思考題：“你