數(shù)學(xué)概念教學(xué)環(huán)節(jié)談
——一道高考題引發(fā)的思考

☉江蘇省海安市立發(fā)中學(xué) 吉訓(xùn)玫

異面直線所成的角一直是自主招生和高考的重要考點(diǎn)之一，其是通過(guò)平面幾何與平面解析幾何中兩條相交直線的夾角來(lái)進(jìn)行刻畫的，實(shí)現(xiàn)了立體空間問(wèn)題的平面化，使得平面幾何與立體幾何之間構(gòu)造起有效的聯(lián)系.而異面直線所成的角的概念教學(xué)一直是重點(diǎn)與難點(diǎn)，下面結(jié)合一道高考真題，通過(guò)對(duì)異面直線所成的角的求解，來(lái)具體剖析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些重要環(huán)節(jié).

【高考真題】（2018·全國(guó)卷Ⅱ理·9）在長(zhǎng)方體ABCD—中，則異面直線AD與DB11所成角的余弦值為（ ）.

一、引入概念

要求解異面直線AD1與DB1所成角的余弦值，首先要有異面直線所成的角的概念.而引入概念就需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)確定.利用兩條異面直線間的位置關(guān)系，可以通過(guò)確定一條直線位置不變，另一條直線旋轉(zhuǎn)變化來(lái)說(shuō)明兩者之間存在某種角度關(guān)系.再借助立交橋的現(xiàn)實(shí)模型來(lái)設(shè)置合理的教學(xué)情景，通過(guò)角的變化來(lái)明確學(xué)習(xí)異面直線所成的角的意義與作用.

其實(shí)，引入數(shù)學(xué)概念，需要根據(jù)具體數(shù)學(xué)概念的不同情況，有時(shí)可以從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程來(lái)引入，有時(shí)也可以從解決實(shí)際問(wèn)題的必要來(lái)引入，方式各樣，場(chǎng)景多變.

二、形成概念

引入概念之后，就是兩條異面直線之間存在某種角度關(guān)系，借助兩條相交直線的夾角，自然就形成了有關(guān)異面直線所成的角的概念.又由于平面上兩條相交直線的夾角是已知的概念，那么異面直線所成的角的概念就必須在平面上兩相交直線的夾角的基礎(chǔ)上加以形成.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)概念的形成階段，往往可以借助相關(guān)典型、豐富的實(shí)例，通過(guò)相互之間的分析、比較、綜合等有意識(shí)的活動(dòng)，進(jìn)而揭示出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.

三、概括概念

有了前面的引入與形成概念的基礎(chǔ)，簡(jiǎn)明扼要且正確的概括就是核心內(nèi)容.而正確的概括就是從某類個(gè)別事物中抽象出相應(yīng)的有效的本質(zhì)屬性，進(jìn)而推廣延伸到該類所有事物的本質(zhì)屬性中，進(jìn)而形成關(guān)于這類事物的普遍性、一致性的認(rèn)知與規(guī)律，這就是相關(guān)概念的概括.正確的概括概念，要充分把握好相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，這也真正有利于學(xué)生語(yǔ)言概括能力的培養(yǎng)與提升.

借助前面對(duì)異面直線所成的角的部分所進(jìn)行的分析與比較，把這類異面直線所成的角的共同特征通過(guò)語(yǔ)言并結(jié)合數(shù)學(xué)形式描述出來(lái)，進(jìn)而推廣到一般情況，這就是給異面直線所成的角的概念下了個(gè)定義：

異面直線所成的角的概念：已知a、b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a1∥a，b1∥b，我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a、b所成的角.

其實(shí)，通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生關(guān)注異面直線所成的角的特征，并進(jìn)一步完善相關(guān)概念，如此操作，不僅可以真正有效地進(jìn)行異面直線所成的角的概念教學(xué)，而且能夠提升學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念的能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言思維能力.

四、明確概念

明確異面直線所成的角的概念，即明確異面直線所成的角的注意點(diǎn)與求解步驟.實(shí)質(zhì)上，就是要明確相關(guān)概念的內(nèi)涵部分與外延部分.

根據(jù)上面異面直線所成的角的概念，通過(guò)總結(jié)分析，可以進(jìn)一步來(lái)明確概念：

1.異面直線所成的角的注意點(diǎn)

（1）由等角定理可知，異面直線a、b所成的角與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).

（2）若兩條異面直線所成的角是直角，則說(shuō)明這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.

2.求解異面直線所成的角的步驟

（1）一作：恰當(dāng)選點(diǎn)，通過(guò)平移構(gòu)造出一個(gè)相交角.

（2）二證：證明平行關(guān)系成立.

（3）三求：把角放入三角形或其他平面圖形中來(lái)求解.

（4）四結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是所求的異面直線所成的角.

有了對(duì)異面直線所成的角的注意點(diǎn)與求解步驟的進(jìn)一步明確，才能為概念的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

五、應(yīng)用概念

在掌握異面直線所成的角的概念的過(guò)程中，需要進(jìn)一步從概念出發(fā)，通過(guò)概念來(lái)有效地解決相關(guān)問(wèn)題，充分認(rèn)識(shí)同類事物，解決相關(guān)問(wèn)題，有效求解異面直線所成的角.而如何正確求解異面直線所成的角，這是應(yīng)用概念與理解概念齊頭并進(jìn)、充分理解與掌握的過(guò)程.

其實(shí)，抓住異面直線所成的角的概念，可以通過(guò)平移兩條異面直線中的一條或兩條，形成相交直線，把空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角形問(wèn)題，再通過(guò)求解三角形最終達(dá)到求解的目的.在通過(guò)實(shí)際平移構(gòu)造異面直線所成的角的過(guò)程中，往往要抓住幾何體中的一些關(guān)鍵特殊點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造異面直線所成的角，再結(jié)合相關(guān)的知識(shí)來(lái)分析與求解.

解法1：如圖1，連接BD1交DB1于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，DE.由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，點(diǎn)O為BD1的中點(diǎn)，則有AD1∥OE，根據(jù)異面直線所成的角的定義可知，∠DOE即為異面直線AD1與DB1所成的角.由題可得D1B=DB1=

所以在△DOE中，由余弦定理可得cos∠DOE=所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.

其實(shí)，數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用也可以與其他原有的數(shù)學(xué)概念相結(jié)合，從而進(jìn)行邏輯思維水平上的延展與應(yīng)用.比如，在求解異面直線所成的角時(shí)，還可以通過(guò)補(bǔ)全幾何體，平移相關(guān)直線使之相交，從而作出相應(yīng)的異面直線所成的交角.補(bǔ)形法往往是通過(guò)補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為熟悉的空間幾何體中的相交直線問(wèn)題來(lái)求解.

解法2：把兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體組合成一個(gè)新的長(zhǎng)方體，如圖2所示，則知AD1∥EB1，異面直線AD1與DB1所成的角就轉(zhuǎn)化為直線EB1與DB1所成的角，即∠DB1E.

圖2

所以在△DB1E中，由余弦定理可得cos∠DB1E=，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.

只有充分理解與掌握異面直線所成的角的概念，才能加以正確應(yīng)用.其實(shí)，求解此類異面直線所成的角的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常通過(guò)補(bǔ)形法，可以借助特殊的空間幾何體為問(wèn)題的背景場(chǎng)所，如正方體、長(zhǎng)方形、平行六面體等，進(jìn)而利用相關(guān)的特殊空間幾何體的圖形特征、結(jié)構(gòu)、線與線、線與面的關(guān)系等，達(dá)到合理轉(zhuǎn)化與構(gòu)造異面直線所成的角的目的.

六、形成認(rèn)知

在學(xué)習(xí)了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)概念之后，一定要把此新概念與相關(guān)的已知的數(shù)學(xué)概念構(gòu)造起有效的關(guān)聯(lián)，明確相關(guān)概念之間的從屬、平行、包含或延伸等關(guān)系，從而把新的數(shù)學(xué)概念納入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念體系中，然后進(jìn)行有效的概念教學(xué)，形成認(rèn)識(shí).我們知道，異面直線所成的角的概念是空間圖形的平面化思維表達(dá)，其也是平面上兩條相交直線的夾角的空間拓展與體現(xiàn).由此形成了兩條直線的夾角的系統(tǒng)概念，為平面幾何與立體幾何的轉(zhuǎn)化構(gòu)造平臺(tái).

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性、概括的精簡(jiǎn)性以及廣泛的聯(lián)系性等特點(diǎn)，在具體概念教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該充分體現(xiàn)基本概念的實(shí)際需要、產(chǎn)生背景與來(lái)龍去脈，并通過(guò)相關(guān)的實(shí)例分析引入基本概念，然后形成相關(guān)概念并加以概括，同時(shí)明確相關(guān)概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)而概括概念、明確概念、完善概念、不斷鞏固和應(yīng)用概念，真正達(dá)到初步掌握概念，進(jìn)而形成認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到有效地用數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的.H