多元表征：讓學(xué)生顯性記錄數(shù)學(xué)思考

張兵

摘? 要：為了充分利用多元表征，讓學(xué)生顯性記錄數(shù)學(xué)思考，在此背景下，筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)計(jì)算教學(xué)為例，通過(guò)多重經(jīng)驗(yàn)的挖掘、多元表征的續(xù)航、多項(xiàng)本質(zhì)的深入、多維思辨的養(yǎng)成等方式，讓多元表征在數(shù)學(xué)課堂上落地、開花、結(jié)果。

關(guān)鍵詞：蘇教版;多元表征;數(shù)學(xué)思考

多元表征是一種認(rèn)知心理顯性，一般是指借助多種表現(xiàn)形式，將要探究的知識(shí)以多種的認(rèn)知方式展現(xiàn)，可以是心理的、主觀的東西（內(nèi)在表征），也可以是外在于人腦的、客觀的東西（外在表征）。它的介入符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，可以使數(shù)學(xué)計(jì)算多角度展開，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，通過(guò)鏈接、轉(zhuǎn)移建構(gòu)知識(shí)體系。在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，多數(shù)教師是按照教程呈現(xiàn)的要求進(jìn)行教學(xué)的，把多元表征和算理算法混淆，在平時(shí)教學(xué)中傾向于培養(yǎng)學(xué)生的書面符號(hào)表征能力，忽視了計(jì)算思維的培養(yǎng)。

基于教學(xué)現(xiàn)狀，多元表征如何在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上挖掘出它的價(jià)值，讓教學(xué)既有學(xué)生的真實(shí)思考又能提高教學(xué)效率，筆者對(duì)蘇教版教材中的計(jì)算內(nèi)容做了實(shí)踐和探究。

一、探尋思考，多重經(jīng)驗(yàn)的挖掘

低段學(xué)生的多元表征主要以動(dòng)作表征（操作）、形象表征（畫圖）、數(shù)字表征為主，繼而為抽象的語(yǔ)言表征和符號(hào)表征累積經(jīng)驗(yàn)。兒童的表征能力依賴于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中經(jīng)驗(yàn)的積累，表征既是數(shù)學(xué)的一部分，又是理解數(shù)學(xué)的手段。

如筆者在教學(xué)蘇教版一年級(jí)上冊(cè)第五單元“10的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，這是學(xué)生首次接觸計(jì)數(shù)單位和位置制原理，拓寬了學(xué)生從個(gè)位到十位的計(jì)數(shù)單位。在教學(xué)過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生尋找他們周圍的“10”，有的學(xué)生找到了鐘面上的數(shù)字10、10根手指、10本書、一支鉛筆10厘米，等等，于是筆者引導(dǎo)學(xué)生梳理汽車上的10個(gè)人、鐘面上的數(shù)字10、10根手指、10支彩色筆屬于生活經(jīng)驗(yàn)的實(shí)物表征，一支鉛筆長(zhǎng)10厘米、10>9、5<10屬于用數(shù)量關(guān)系來(lái)表征數(shù)字“10”，半抽象的用點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器、算盤或者小棒等擺出“10”屬于結(jié)構(gòu)性表征，最后用抽象的數(shù)字“10”來(lái)表征。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中將圖示、數(shù)量、數(shù)序與數(shù)字有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生了解了“十是一個(gè)計(jì)數(shù)單位，10個(gè)一是一個(gè)十”的數(shù)量關(guān)系，向?qū)W生展示了豐盈又完整的多元表征過(guò)程。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的表征不是一節(jié)數(shù)學(xué)課就能教學(xué)和記憶的，需要教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中不只是為了追求教學(xué)結(jié)果，而應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考“怎么想”， 讓學(xué)生利用先前積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)幫助理解，從無(wú)到有，讓學(xué)生在操作與摸索中，從“看得見”“摸得著”“說(shuō)得出”“問(wèn)得好”地由可視化向可思化發(fā)展，從而加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題表征能力的培養(yǎng)，讓他們感悟到原來(lái)數(shù)學(xué)就在我們身邊，為可持續(xù)的表征發(fā)展走好起始步。

二、板塊推進(jìn)，多元表征的續(xù)航

多元表征是對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系多元描述，詳細(xì)地描述了學(xué)生的思考過(guò)程，也是詳細(xì)地記錄了教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的建模過(guò)程。通過(guò)科學(xué)分析和個(gè)體觀察，多元表征的確能夠引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科探究的興趣，促進(jìn)孩子們數(shù)學(xué)計(jì)算思維力的形成。

如筆者在教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)第一單元“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”一課時(shí)，出示了教材中的生活情境，全班學(xué)生都馬上寫出了算式12×3。在探究計(jì)算算理和計(jì)算方法的過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了不同的做法：有的學(xué)生是借助畫圖的方法把這個(gè)兩位數(shù)乘一位數(shù)算式轉(zhuǎn)變?yōu)檫B乘算式，這樣其實(shí)就是把這道計(jì)算題轉(zhuǎn)變成了已經(jīng)學(xué)過(guò)的一位數(shù)乘一位數(shù)，即把12拆成4×3或者2×6，所以12×3=3×3×4或12×3=3×2×6;有的學(xué)生根據(jù)乘法的意義把這道計(jì)算題轉(zhuǎn)變成了連加算式，即12×3=12+12+12;有的學(xué)生是把12拆成了整十?dāng)?shù)10和一位數(shù)2，利用3個(gè)10加3個(gè)2得到答案36;有的學(xué)生是把這道計(jì)算題寫成豎式來(lái)計(jì)算。

又如筆者在教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第一單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，學(xué)生一開始正遷移了學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法的表征方式，但是由于數(shù)字變大他們又覺(jué)得這樣計(jì)算起來(lái)不方便，開始尋找新的表征方式。當(dāng)筆者通過(guò)具體情境出示算式24×12后，部分學(xué)生用畫點(diǎn)子圖來(lái)計(jì)算，馬上就有學(xué)生反映這樣畫點(diǎn)子的方式太慢了，可以用畫一個(gè)大正方形來(lái)代替。雖然點(diǎn)子圖和大正方形的表征意圖相同，但是學(xué)生在計(jì)算這道兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)正方形圖就顯得更加簡(jiǎn)單直觀了。

從上面的表征方式來(lái)看，由于學(xué)生理解的起點(diǎn)不同，他們就會(huì)出現(xiàn)各種不同的表征方式，此時(shí)就需要教師組織學(xué)生展示自己不同的表征過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從更寬廣的視角來(lái)審視自己的解題過(guò)程，在共同學(xué)習(xí)中彌補(bǔ)自身認(rèn)識(shí)上的不足，形成更加合理的計(jì)算表征方式。當(dāng)然，隨著學(xué)生年級(jí)的升級(jí)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富，他們?cè)诮鉀Q新的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)創(chuàng)生新的表征方式，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。

三、資源活化，多項(xiàng)本質(zhì)的深入

鄭毓信教授指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真正內(nèi)核所在是我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生思維，這并非是只想得更快一點(diǎn)，如何能夠與眾不同，而是我們應(yīng)當(dāng)逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。馬立平博士在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》中提出的“數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，即能夠從深度、廣度和完整度方面深刻理解”。計(jì)算教學(xué)重視算理、算法的多元表征，還需通過(guò)變式表征，去蕪存菁將概念的內(nèi)涵理解得更為深刻。

如筆者在教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，借助抽象的表征幫助學(xué)生完成算理和算法的遷移后，在獨(dú)立作業(yè)環(huán)節(jié)我們可以設(shè)計(jì)這樣的題目：不計(jì)算，你覺(jué)得324×21=972有可能正確嗎？有的學(xué)生利用估算的表征方式說(shuō)明如果把324看成300，把21看成20，所以324×21的結(jié)果大約是6000多;有的學(xué)生利用積的數(shù)位來(lái)判斷三位數(shù)乘兩位數(shù)的積肯定是四位數(shù)或五位數(shù)，所以這道題目的結(jié)果是三位數(shù)肯定是不對(duì)的;有的學(xué)生從個(gè)位上的數(shù)字來(lái)表征乘法算式的結(jié)果，因?yàn)閭€(gè)位上“一四得四”，所以最后結(jié)果的個(gè)位肯定是“4”。

又如筆者在教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第一單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，提供的選擇題都是老師給予選項(xiàng)，讓學(xué)生進(jìn)行選擇;課后練習(xí)時(shí)筆者轉(zhuǎn)換思路，巧妙變式，讓學(xué)生根據(jù)題意設(shè)計(jì)選項(xiàng)。如下：

下面的兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法算式中，哪一道題的結(jié)果大于2000，小于2500？（C）

A.___________??? B.___________

C.___________??? D.___________

通過(guò)改編題目的反向操作，這時(shí)學(xué)生的思考遠(yuǎn)比選擇一個(gè)答案復(fù)雜得多，雖然題目中的各種表征載體、形式和心理活動(dòng)不同，但是學(xué)生在思考和解決問(wèn)題讓人要基于各種表征的內(nèi)容和本質(zhì)，估大或是估小都得經(jīng)過(guò)精心思量才行，反其道而行之，讓教學(xué)更有意義。

四、精致結(jié)構(gòu)，多維思辨的養(yǎng)成

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展依賴于教師教學(xué)理念的指引以及課程與評(píng)價(jià)方式的改革。教師在平時(shí)教學(xué)中滲透多元表征方式，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的關(guān)注點(diǎn)，更加關(guān)注過(guò)程，加強(qiáng)聯(lián)系，注重方法，體現(xiàn)思想，實(shí)現(xiàn)表征教學(xué)的最大化成效。

如筆者在教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)第四單元“口算除法”的種子課時(shí)，我們可以充分挖掘表征特點(diǎn)，在算理和算法間游刃變化，讓知識(shí)自主生長(zhǎng)。筆者首先出示了女生的思考“因?yàn)?5個(gè)十除以5等于3個(gè)十，所以……”讓學(xué)生猜一猜她在做哪道口算，學(xué)生馬上猜出是計(jì)算150÷5;再出示男生的思考“因?yàn)?除以4等于2，所以……”此時(shí)有的學(xué)生說(shuō)是計(jì)算8÷4，有的學(xué)生說(shuō)是計(jì)算80÷4，甚至還有學(xué)生說(shuō)8后面可以有很多個(gè)0。在這個(gè)環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生意識(shí)到相同的算法，但是表征方式可以不同。接著，筆者出示了一組有規(guī)律的口算除法題組，讓學(xué)生在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)被除數(shù)后面有幾個(gè)0商后面就加幾個(gè)0。此時(shí)筆者又利用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，給學(xué)生一句乘法口訣如“三六十八”，引導(dǎo)學(xué)生寫出一系列乘法和除法算式。在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們?cè)谖虻乐凶寣W(xué)生把今天的知識(shí)與以前的知識(shí)溝通了，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)變得更簡(jiǎn)單了。

在這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者始終抓住多元表征的主線，在種子課溝通新舊知識(shí)的練習(xí)，不僅降低了知識(shí)的難度，還促成了學(xué)生的整體認(rèn)知。

總之，多元表征在數(shù)學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中的融入，既是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，也是在學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的需求。多元表征對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展是重要階段，筆者以此作為切入點(diǎn)，多重介入，多元產(chǎn)出，多方聯(lián)動(dòng)，使數(shù)學(xué)教學(xué)立足當(dāng)下，關(guān)注學(xué)情，生發(fā)創(chuàng)意，旨在成就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度發(fā)生，在過(guò)程中養(yǎng)成持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。