小學數(shù)學建模教學內涵及策略

胡辰

摘? 要：模型素養(yǎng)是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成，培育學生的建模思想、方法和能力是數(shù)學教學的應有之義。從本質上說，數(shù)學建模的過程就是一種“數(shù)學化”。在小學數(shù)學教學中，教師發(fā)掘教材中的模型因子，激發(fā)學生建模興趣，引領學生經(jīng)歷數(shù)學模型的建構過程，促進學生的數(shù)學生命在數(shù)學建模歷程中成長。

關鍵詞：數(shù)學建模;建模教學;建模策略

數(shù)學建模素養(yǎng)是學生數(shù)學核心素養(yǎng)之一。東北師范大學史寧中教授認為，“學生數(shù)學核心素養(yǎng)有三：抽象、推理與模型”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011版）》也明確指出，“從學生已有經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。”可見，在數(shù)學建模的過程中，學生的數(shù)學抽象和概括能力也同時得到發(fā)展。

一、“數(shù)學建?！钡谋举|內涵

數(shù)學建模不僅是一種數(shù)學學習方法、策略，更是一種數(shù)學學習思想。所謂“數(shù)學建模”，也就是運用數(shù)學的語言、方法等，通過抽象、概括，建立的能夠描述、分析、解決實際問題的數(shù)學模型 [1]。著名數(shù)學家懷特海曾說：“數(shù)學就是對于模式的研究。” 從本質上說，數(shù)學建模的過程就是一種“數(shù)學化”。一般而言，數(shù)學建模有兩個重要的步驟：一是“橫向數(shù)學化”，二是“縱向數(shù)學化”。

1. 橫向數(shù)學化

生活原型是數(shù)學建模的邏輯起點。在數(shù)學建模過程中，教師要依據(jù)數(shù)學知識的學科特質以及學生的年齡、心理特征，引領學生將生活問題抽象成數(shù)學問題，這就是“橫向數(shù)學化”。這個過程需要學生對實際問題進行深入理解。

“橫向數(shù)學化”關系到整個數(shù)學建模的質量、成效。從根本上說，數(shù)學源于生活且高于生活。“橫向數(shù)學化”就是將學生實際生活中的素材引入課堂，讓學生運用“數(shù)學的眼光”去打量，用“數(shù)學的大腦”去考量，用“數(shù)學的語言”去描述。比如著名數(shù)學家歐拉將哥尼斯堡的“七橋問題”，提煉、抽象成“一筆畫問題”就是一種“橫向數(shù)學化”。在數(shù)學教學中，教師要引導學生進行數(shù)學觀察、數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學分析，進而能夠將生活問題抽象成數(shù)學問題。

2. 縱向數(shù)學化

所謂“縱向數(shù)學化”，是指學生在“橫向數(shù)學化”基礎上，對數(shù)學問題進行加工、分析、求解的過程。在“縱向數(shù)學化”中，學生對通過“橫向數(shù)學化”構建的數(shù)學模型進行分析、驗證、再分析、再改進，從而將粗糙的數(shù)學模型逐級精致化，形成具有較強包攝力和解釋力的數(shù)學模型。數(shù)學模型是對問題的抽象化、簡約化、本質化的描述，是學生解決問題的重要工具。

教學《長方形的周長》，當學生通過對眾多例子進行觀察、分析，形成“長+寬+長+寬”后，可以說，“長方形周長”的雛狀模型就已初步形成。在此基礎上，教師要引導學生進行“求簡”，由于長方形的兩條長相等，兩條寬相等，因此抽象概括出比原先更精致、更簡約的數(shù)學模型——“2長+2寬”。在此基礎上，再將2提取，學生用符號建構出這樣的數(shù)學模型——（a+b）×2?！皵?shù)學模型”是解決問題的重要工具，可以幫助學生更精準、清晰地認識、理解數(shù)學知識的意義。

二、“數(shù)學建?！钡慕虒W策略

數(shù)學，就其本質而言，就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的 [2]。在數(shù)學教學中，教師只有引導學生深入“數(shù)學模型”的意義上，才可以說真正走進了數(shù)學的腹地。在數(shù)學教學中，教師要引領學生運用“模型思想”來觀察問題，發(fā)掘問題中的模型因子。由此培育學生模型意識，讓學生體驗模型的建構過程，形成建模的數(shù)學思想。

1. 發(fā)掘模型因子，豐富建模內容

在小學數(shù)學中，蘊含著豐富的建構數(shù)學模型的素材因子。這些因子潛隱在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四大板塊內容之中。很多教師，在日常數(shù)學教學中只是“就題論題”，沒有將問題上升到數(shù)學模型的高度。在數(shù)學教學中，教師要引領學生發(fā)掘模型因子，豐富數(shù)學建模內容。

比如，認識“整數(shù)”“小數(shù)”時，教師要引導學生建立“十進制”模型;在學習“速度×時間=路程”“單價×數(shù)量=總價”“工效×工時=工總”時，可以引導學生建立“乘法模型”“正反比例模型”等;在學習“長方形的面積”“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”“圓的面積”后，教師可以引導學生進行比較，建構“梯形面積模型”;在解決具有相等關系的數(shù)學問題時，可以引導學生建構“方程模型”等;在學生玩轉盤游戲時，可以引導學生建構“統(tǒng)計與概率”模型，等等。數(shù)學模型是對問題的本質和解決問題的策略的抽象概括，引導學生發(fā)掘問題中所蘊含的模型因子，有助于學生形成建模意識，感悟建模思想。

小學數(shù)學中的數(shù)學模型是豐富的。它包括概念型模型、計算型模型和應用型模型等。用模型思想研究小學數(shù)學，不僅是為了獲得數(shù)學結論，而是讓學生從模型的視角去認識、描述、把握數(shù)學問題。只有當學生能夠運用模型思想處理問題時，學生才能真正地感受到數(shù)學的內在魅力。

2. 激發(fā)建模興趣，豐富建模方法

學生學習數(shù)學建模的過程是一個長期的、不斷累積經(jīng)驗、不斷深化發(fā)展的過程。在數(shù)學教學中，教師要激發(fā)學生建模興趣，引導學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用 [3]。在這個過程中，教師要有意識地滲透數(shù)學建模的方法，讓學生習得建模技巧。通過數(shù)學建模，讓學生舉一反三、融會貫通，進而創(chuàng)造性地展開數(shù)學學習。

（1）在事理中建模

學生的生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗是學生理解數(shù)學原理、生成數(shù)學認識、建構數(shù)學模型的源頭活水，能夠給學生的數(shù)學建模提供強勁的動力，給學生的數(shù)學建模提供重要的啟迪。在數(shù)學學習中，受生活事理的啟發(fā)，學生能夠主動思考，形成適切的、典型的、鮮活的、有趣的數(shù)學模型。例如“減法的性質”——“a-b-c=a-（b+c）”，教學中，教師可以啟發(fā)學生：將兩塊餅一個一個地吃，就相當于什么？學生能夠聯(lián)想到“將兩塊餅一個一個地吃，就相當于兩塊餅一起吃”。這種以“生活事理”詮釋“數(shù)學算理”的教學，能夠幫助學生準確建構出數(shù)學模型。

（2）在遷移中建模

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾深刻地指出：有學習的地方就有遷移。遷移對學生數(shù)學建模發(fā)揮著重要的作用。在引導學生進行建模的過程中，教師可以充分運用學生的先前認知結構、經(jīng)驗，讓學生在類比、遷移中進行建模。例如教學《分數(shù)的基本性質》，由于學生知曉了“商不變的規(guī)律”以及“分數(shù)、除法”之間的關系，因此學生容易類比遷移概括出“分數(shù)的基本性質”的數(shù)學模型——“=（c≠0）”。遷移型的數(shù)學建模，有助于培育學生的數(shù)學實踐能力。

在數(shù)學教學中，教師要激活學生相關的知識、方法、過程、經(jīng)驗等，為學生的數(shù)學建模提供充分的準備。數(shù)學建模的方法很多，除了上述的建模法外，還有圖像法、邏輯推理法、比較法，等等。為了順利地幫助學生完成數(shù)學建模，教師應當好向導和參謀，為學生的數(shù)學建模支著，給學生提供數(shù)學建模的腳手架，豐富學生的數(shù)學建模方式、方法與策略。

3. 展示建模過程，形成模型思想

在數(shù)學建模教學中，要讓學生經(jīng)歷模型的誕生過程，只有當學生經(jīng)歷了模型的誕生歷程，學生才能感悟到模型思想 [4]。建構數(shù)學模型不僅僅是為了獲得數(shù)學結論，更為重要的是讓學生面對現(xiàn)實問題時，能夠主動地提出假設，進行數(shù)學驗證，從而建構模型。換言之，模型思想可以概括為模型意識、模型能力、模型習慣、模型策略，等等。

例如：教學《用數(shù)對確定位置》（蘇教版小學數(shù)學四年級下冊），筆者首先創(chuàng)設了一個情境：如何有效地描述小明的班級座位？學生的想法各式各樣，有學生用語言描述，如第幾排第幾個？有學生從前往后描述，有學生從左往右描述，等等。為此，筆者出示了低年級的排隊的實際問題，然后給出了“橫軸”，激活學生的內隱圖式。學生開始意識到要將原先的用文字表述簡約成符號、數(shù)字表述，有學生列在前、行在后，有學生行在前、列在后，……。在此基礎上，教師構建一個基于“坐標原理”的確定位置雛形，即用“數(shù)對”表示。當學生經(jīng)歷了數(shù)學建模的過程，形成確定位置的模型后，筆者讓學生表示空間中的物體位置，這時，有學生已經(jīng)能夠用長、寬、高三個數(shù)的數(shù)對來確定位置了。他們的表達方式不僅變得有序，而且變得精準了。

在數(shù)學建模教學中，教師要將教學的著眼點放置于學生對現(xiàn)實問題的觀察、提煉、整合過程中?；趯W生的知識結構、認知規(guī)律，基于對現(xiàn)實問題的整合抽象，引導學生將現(xiàn)實問題抽象成一個數(shù)學模型，能夠讓學生獲得對問題的本質認識。這種觀察、提煉和整合，能夠發(fā)展學生的模型思想。

數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁和紐帶。數(shù)學建模的過程本質上就是一種“數(shù)學化”的過程。這種“數(shù)學化”不是抽象的“形而上”，也不是空洞的“形式化”，而是站在數(shù)學的視角分析、把握問題。讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，從而培育學生的模型思想和建模能力。引導學生充分經(jīng)歷知識的形成過程，親歷數(shù)學建模的過程，從而發(fā)掘學生的建模潛質，培育學生的模型思想。

參考文獻：

[1]? 朱貴璽. 小學數(shù)學建模教學應注意三個問題[J]. 教學與管理（小學版），2017（3）.

[2]? 魯家寶，魯正超. 基于小學生數(shù)學建?；静呗缘乃伎糩J]. 教學月刊小學版（數(shù)學），2016（z1）.

[3]? 周立棟. 激活經(jīng)驗儲備經(jīng)歷數(shù)學建模[J]. 江蘇教育，2010（25）.

[4]? 蔡文平. 小學數(shù)學建模教學的意義和策略[J]. 教育研究與評論（小學教育教學），2016（12）.