關注建模過程 提高簡算能力

沈靜

摘? 要：乘法分配律在小學階段是最重要、最難學、應用最廣泛的知識點。針對學生在綜合運用運算律進行簡算時出現(xiàn)的種種問題，努力嘗試通過各類課型，引導學生從具體的認知開始，從呈現(xiàn)模型—促進模型—提高鞏固模型，不斷遞進，深入理解分配律的本質意義，化解分配律的難點，抓住簡算的根本是轉化原則，促進運算律對計算方法的“熟能生巧”，有效提高學生靈活選擇運算律進行簡算的能力，樹立系統(tǒng)教學理念，訓練學生思維的結構化，有助于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：建立模型;變形;整合;思維訓練;核心素養(yǎng)

運算律的運用是整個小學階段最重要的計算內(nèi)容，蘇教版教材從四年級下冊開始引入，采用不完全歸納法，讓學生經(jīng)歷“計算—觀察—總結—驗證—運用”的學習過程，引出規(guī)律。這樣的教學流程在學習單一的加法和乘法的交換結合律的時候，一般不會暴露由此引出的認識的局限性，學生看似學得很扎實，但當學習乘法分配律后，在選擇合適的方法進行簡算或者應用分配律解決變化形式多、結構稍復雜、較為隱秘的變式時（如25×48，64×99+64，64×99或85×101-85，85×101，75+25×97等），學生對這類戴著面具的算式便束手無策，不能合理、靈活地進行計算。究其原因，一是學生受到前期應用交換結合律時湊整思想的思維干擾，二是機械識記了乘法分配律的外形，而沒有真正理解乘法分配律的本質意義，缺乏必要的觀察數(shù)據(jù)和結構特征的能力以及創(chuàng)造簡算條件的轉化意識 [1]。

針對以上問題，基于長期任教中高年級的經(jīng)驗及探索，筆者認為，在平時的教學中需要通過各類課型，幫助學生遞進深入理解乘法分配律的本質內(nèi)涵，化解分配律的難點，培養(yǎng)學生的簡算意識，促進運算律對計算方法的“熟能生巧”，有效提高學生合理、靈活計算的能力 [1]。

一、新授課注重分配律的內(nèi)涵，真正理解意義和算理，呈現(xiàn)模型

新授課上，在學生通過教材常規(guī)得出運算律后，可以拓展追問：你能用以前學過的知識來解釋這一特殊的規(guī)律嗎？讓學生從舊知中尋找依據(jù)，明確這一等式并非隨意的組合，而是客觀現(xiàn)實中的必然規(guī)律，從意義上去真正理解乘法分配律。

1. 用數(shù)形結合支撐乘法分配律：理清“分配”的意義，突破“相同乘數(shù)”的結構特點，利用幾何直觀，從圖形面積的計算角度發(fā)現(xiàn)（如圖1），不管是分開計算還是整體計算，結果是一樣的，深入理解18×15+12×15和（18+12）×15這兩個算式相等，直觀地再現(xiàn)了分配律的意義。經(jīng)過幾組這樣的練習（補充習題第48頁第1題），讓學生看圖，借助豐富的直觀表象理解得出等式，在理解算理的基礎上發(fā)現(xiàn)此運算律是成立的，避免從形式上的機械記憶。

2. 從乘法意義的角度深入理解分配律的內(nèi)涵。如圖2，拋開圖形，直接根據(jù)乘法的意義來說明，“20個3加上1個3等于（20+1）個3，即21個3”，相同的因數(shù)無論放在乘號前還是乘號后，乘法分配律的等價轉換結構形式都是成立的。

3. 從解題的角度，利用行程問題的數(shù)量關系來促進理解。適當調整教學順序（把例7和例6交換教學順序），借助線段圖分析數(shù)量關系，理解并比較和（差）乘某數(shù)（如圖3）與兩積之和（差）（如圖4）這兩種不同解題思路之間的聯(lián)系，體會在現(xiàn)實問題的應用中，乘法分配律的兩種基本結構形式存在的合理性和科學性，促進乘法分配律的模型結構思想的建立 [2]。

如此，在初步理解分配律意義的基礎上，再通過以上方法，運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，從不同角度、不同深度理解分配律，溝通了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，喚醒學生的已有經(jīng)驗，做到算理先行，有效理解乘法分配律的內(nèi)涵，建立乘法分配律結構和意義上的相融，以便更好地建構乘法分配律的數(shù)學模型。

二、拓展課注重乘法分配律的外形基本結構和數(shù)據(jù)特點，促進建模

在應用乘法分配律進行簡算初期，計算積與某數(shù)相加減時（如97×25+75或75+25×97），學生往往受乘法結合律的影響或湊整思想的誤導，違背運算順序，先計算兩個數(shù)的和 [2]。針對這類錯誤，我們在拓展課教學過程中更要重視對乘法分配律的外形數(shù)據(jù)特點和結構特點的分析與解讀，強化學生的結構意識，明確乘法分配律只有“和（差）乘某數(shù)”和“兩積之和（差）”這兩種基本結構形式。在清晰結構的基礎上，再引出對數(shù)據(jù)特征的研究：前一種結構形式中的某數(shù)一定是后一種結構形式中的兩積中的其中一個因數(shù)，由此展開分析，明確以下兩類也屬于乘法分配律的基本結構范疇，使學生對乘法分配律有更清晰更深刻的認識，并在后續(xù)的拓展應用時能自如把握復雜變式的類型，駕輕就熟，解決問題 [3]。

1. 位置變化的拓展：以一般字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c為基本式展開分析，如變化為c×（a+b）=c×a+c×b，即“某數(shù)乘和”，這是在乘法分配律中應用乘法交換律的位置變化的拓展，雖然這樣的變化較為簡單，但也屬于乘法分配律的基本形式。

2. 同級運算的推廣：可以應用教材第67頁的第16題：“算一算下面每組的兩道算式是否相等，再說說你有什么發(fā)現(xiàn)。32×（30-2）○32×30-32×2”，引導學生結合乘法的意義解釋兩道算式相等的道理，并說明：兩數(shù)之和乘某數(shù)的結構形式也可以為兩數(shù)之差乘某數(shù)，其屬于乘法分配律的基本推廣形式 [3]。

除了以上兩種情況外，高年級還有項數(shù)的拓展：將兩數(shù)之和（差）乘某數(shù)拓展到若干數(shù)之和（差）乘某數(shù)，而若干數(shù)之和（差）乘某數(shù)等于若干積之和（差），這是增加項數(shù)的變化。

通過以上對乘法分配律結構和數(shù)據(jù)這兩大特征的理解分析與拓展，調動學生對題目整體結構及數(shù)據(jù)的觀察思考，引導學生善于從計算的簡潔性出發(fā)，靈活地選擇兩種基本結構形式進行變換訓練（變形操作），幫助學生進一步建立乘法分配律的模型結構思想，體驗簡算的樂趣，這才是訓練學生計算技能，培養(yǎng)學生簡算意識的重要途徑。

三、練習課注重乘法分配律的非標準結構形式的訓練，提高建模

俞正強老師說：運算律首先來自計算，來自對算法的改造與變形，它是通過觀察特征，如數(shù)字特征、運算符號等來幫助人們簡算的。運用乘法分配律簡算之所以復雜，就在于有些算式的呈現(xiàn)并不符合乘法分配律的標準結構形式，這使得學生在應用乘法分配律時，對需要轉個彎才能簡算的題型缺乏必要的改造轉化思想，不能為計算創(chuàng)造簡算的條件。這就需要教者在練習課的教學中充分調動學生對題目整體結構及數(shù)據(jù)的觀察、思考，引導學生把握這些變式類型，將等式變形為乘法分配律的基本結構形式中的某一種，化難為易。

1. 某數(shù)與接近整百數(shù)的數(shù)相乘的算式。教材例6：“象棋的單價是32元，圍棋的單價58元，王老師買102副中國象棋，一共要付多少元？”按照“算理先行，理到法隨”的原則，由學生口算的過程先算100副象棋的價格，再加2副象棋的價格就是102副象棋的總價，由此總結得出：當出現(xiàn)兩數(shù)相乘且其中一個乘數(shù)接近整百數(shù)的時候，我們可以變數(shù)102為式（100+2），把其中的一個乘數(shù)變成和或差的形式，使得結構上符合乘法分配律的基本結構形式——“和乘某數(shù)”，再變形成另一種結構形式——“兩積之和”，進行簡算。以上由非標準的簡算試題引入，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)隱藏的簡算條件，這樣的引導，抓住了學生的“癥結”，利用轉化的思想，體驗運用乘法分配律進行計算的簡便。以后學生面對這類簡算特征并不明顯的題目時，往往都能根據(jù)結構和數(shù)據(jù)特征，從轉化的思想出發(fā)，轉化成基本結構形式，并選擇合適的計算方法，進一步提升學生的簡算意識和能力。

2. 積加（減）某數(shù)或某數(shù)加（減）積的算式。這類題型，教材沒有給出例題進行專門的教學，學生往往不容易解決，且常常和乘法結合律發(fā)生混淆。比如：43+43×99，48×101-48，從題面上看，簡算特征并不明顯，不符合乘法分配律的兩種基本結構形式中的某一種，但我們可以仔細觀察，比較接近積加（減）積的結構形式。有例5“四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。四、五年級一共要領多少根跳繩？”的教學鋪墊，有扎實的基礎知識的積淀，學生已初步具有敏銳的觀察力和綜合分析能力及轉化意識，把某數(shù)變數(shù)為式，轉化成基本結構形式再進行簡算。那么，如45×102-90或97×125+375或75+25×97這樣的類型便不會受到湊整思想的影響，違反運算順序先算加法了。

3. 積加（減）積的算式。如第76頁思考題999×8+111×28，符合乘法分配律的運算結構特征，但數(shù)字特征并不明顯，觀察到999和111的倍數(shù)關系，利用積不變的規(guī)律，以式換式，將999×8等量轉化為111×72，這樣“+”號兩邊的乘法算式也被明顯關聯(lián)起來了，即都是關于111的，符合乘法分配律的“積+積”的運算結構形式，進而再變形成另一種結構形式，便可使計算簡便。還可以追問：這里還有其他的等積轉化方式嗎？經(jīng)過長期訓練，學生能自覺觀察兩個算式中的乘數(shù)特征，找到聯(lián)系，進而通過轉化找到兩個乘法算式中相同的乘數(shù)再簡算，體驗到正確運用運算定律能有效提高計算的正確性所帶來的喜悅。

以上是教材出現(xiàn)的三種轉化應用，在練習過程中，首先明確無論題目怎么變化，只要通過變數(shù)為式或變式為式的方式進行變形，就能轉化成乘法分配律兩種基本結構形式中的一種，再看是否要二次使用乘法分配律;其次，要運用乘法分配律進行簡算，必須符合兩個條件：有相同因數(shù);相同因數(shù)的個數(shù)能進行湊整。應用轉化思想，就一定能找到乘法分配律（包括其他運算律）的基本結構形式。學生在講和練互動學習的過程中把握了乘法分配律的本質內(nèi)涵，在簡便計算及解決問題時“以不變應萬變”，不斷將知識重組整合，形成知識的線狀結構體系，進一步建構了乘法分配律的數(shù)學模型，并運用模型順利解決了現(xiàn)實問題。

四、復習課注重知識的整合與系統(tǒng)性，鞏固建模

在教學中，我們經(jīng)常會覺得每一堂課都扎扎實實教了，學生也覺得掌握了，但面對綜合類題目的時候學生卻束手無策。究其原因，就是學生缺乏解決問題的知識模塊化，他們學習新知的初期，在頭腦中呈現(xiàn)的是點線狀的知識，還沒有形成內(nèi)在的邏輯體系。運算律的知識之間是密切相關的，在復習課的教學中我們要整體設計，在五個運算律學完之后，連同練習中出現(xiàn)的除法和減法的性質結構進行整體的梳理復習（如圖5），引導學生不僅對乘法分配律的外形結構和數(shù)據(jù)進行分析解構，還要及時聯(lián)系已學的加法和乘法的交換結合律，將乘法分配律納入運算律的知識體系中，整合認知結構，幫助學生找到解答同類問題的內(nèi)在邏輯性，將點線狀零散的知識系統(tǒng)化，形成網(wǎng)狀結構知識體系，深化鞏固乘法分配律的數(shù)學模型。

在應用運算律進行簡便計算的復習課中設計以下問題：（1）是同級運算還是不同級的運算？（2）所有的同級簡算其實只需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點進行什么操作？（換位、加或去括號）（3）加（去）括號的時候要注意什么？（括號前面是減號或除號，去括號的時候，里面的符號要變號）（4）不同級的運算律只有哪個運算律？（5）如果是乘法分配律，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點，如果需要轉化成另一種結構形式，要進行什么操作？（變形）（6）如果遇上非標準的結構形式，第一步應該怎樣將哪個數(shù)變數(shù)為式或將哪個算式變式為式？把以上問題反復拋給學生，讓他們聯(lián)系已獲得的新知，應用相應的方法去探索。前期的新授猶如西醫(yī)，頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳，有針對性，見效快，后期的練習課和復習課猶如中醫(yī)，需要講究全身的調理、整體的診斷和理療。教師在幫助學生整理知識的過程中，對這類運算律條理化、有序化，再總結提煉，培養(yǎng)學生由此及彼的推理能力，讓他們感受到知識的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，那么，如25×48的這類題型，學生便能自覺運用不同的運算定律，獲得不同的拆分方法（如圖6），進而得到簡算的快樂體驗。

25×48

=25×（4×12）→變數(shù)為式

=25×4×12→去括號

=100×12

=1200

25×48

=25×（40+8）→變數(shù)為式

=25×40+25×8→變形

=100×200

=1200

乘法分配律在小學階段是最重要、最難學、應用最廣泛的知識點，如能在初學階段通過以上各類課型，引導學生從具體的認知開始，從呈現(xiàn)模型—促進模型—提高鞏固模型，不斷遞進深入理解分配律的本質意義，化解分配律的難點，抓住簡算的根本是轉化原則，培養(yǎng)學生的簡算意識，不但有助于學生加深對四則運算意義和計算方法的理解，更能有效提高學生靈活選擇運算律進行簡算的能力，有助于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，同時也為學生以后學習和探索有關小數(shù)、分數(shù)的簡便計算奠定了堅實的基礎。比如，五、六年級時，小數(shù)、分數(shù)的計算實踐中甚至還會出現(xiàn)新的變式，增加簡算難度，如小數(shù)計算中的小數(shù)點的變化：31.2+3.12×90;分數(shù)乘除法中，對乘除法的互逆變換：18÷+82×等。直到中學階段的有理數(shù)、實數(shù)的運算，乘法分配律都有著不可估量的作用。

參考文獻：

[1]? 俞正強，邵曉燕. 追尋厚實、樸實的課堂教學——“乘法分配律”研課歷程[J]. 小學教學（數(shù)學版），2013（z1）：52-54.

[2]? 俞軍. 借助幾何直觀? 促進有效建?！浴俺朔ǚ峙渎伞币徽n為例[J]. 小學數(shù)學教師，2015（6）.

[3]? 王文英. 結構入手? 認識規(guī)律——從“乘法分配律”的教學談起[J]. 小學數(shù)學教師，2014（3）.