平面向量與三角函數(shù)的交匯與融合

鄭澤芹

【摘要】平面向量與三角函數(shù)的綜合題在各類考試中經(jīng)常能遇到，作為近年來(lái)高考熱點(diǎn)題型需要學(xué)生重點(diǎn)掌握.想要高效準(zhǔn)確地解決平面向量與三角函數(shù)的綜合題，一方面，要全面、系統(tǒng)地了解三角函數(shù)和平面向量的知識(shí)，另外一方面，也要對(duì)常見(jiàn)題型和解題方法有很好的認(rèn)識(shí).本文主要對(duì)平面向量與三角函數(shù)的交匯與融合及解題思想方法進(jìn)行探究.

【關(guān)鍵詞】平面向量;三角函數(shù);綜合題;解題方法

平面向量將數(shù)、形結(jié)合在一起，是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)交匯和聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.平面向量與三角函數(shù)的交匯和融合使三角問(wèn)題富于變化，在平面向量與三角函數(shù)的交匯融合之中，平面向量既可以表現(xiàn)為一種“包裝”形式，又可以表現(xiàn)出一定的工具性，不僅能很好地體現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，還可以體現(xiàn)平面向量的工具作用與三角變化的靈活性.

一、平面向量與三角函數(shù)的交匯融合

（一）平面向量與三角函數(shù)的聯(lián)系

平面向量是數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要概念與工具，與代數(shù)、幾何均有十分密切的聯(lián)系，并逐漸成為高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)交匯點(diǎn).三角函數(shù)是基礎(chǔ)初等函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中尤為重要，三角函數(shù)的定義、性質(zhì)具有顯著的特征及規(guī)律性，與代數(shù)和幾何的聯(lián)系也尤為緊密.故平面向量和三角函數(shù)綜合題備受高考命題者青睞，是高考命題的熱點(diǎn).在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)試題千變?nèi)f化、層出不窮，此類問(wèn)題經(jīng)常以解答題形式出現(xiàn)，考查知識(shí)點(diǎn)涉及平面向量平行、垂直、數(shù)量積等.在此類問(wèn)題中向量多作為知識(shí)背景或載體形式出現(xiàn)，考查重點(diǎn)實(shí)際為三角函數(shù)，重點(diǎn)在于考查向量的工具作用.處理這類問(wèn)題時(shí)需要利用向量知識(shí)將題目轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)進(jìn)行求解，如何將平面向量知識(shí)背景轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)關(guān)系式，如何用平面向量來(lái)解決三角函數(shù)的問(wèn)題，這些都是解題的關(guān)鍵.

（二）平面向量與三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是解決三角函數(shù)與平面向量問(wèn)題的指南，化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等在解決平面向量與三角函數(shù)的交匯融合問(wèn)題中至關(guān)重要.（1）化歸思想.化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在化多角為單角、化未知角為已知角、化高次為低次、化特殊為一般、化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱.在平面向量中的應(yīng)用中主要體現(xiàn)在化三角函數(shù)問(wèn)題為平面向量問(wèn)題，以平面向量知識(shí)去解決問(wèn)題.（2）函數(shù)方程思想.函數(shù)方程思想是用函數(shù)、方程的方法處理變量與未知數(shù)之間的聯(lián)系，從而解決問(wèn)題.（3）分類討論思想.分類討論思想在平面向量中的廣泛應(yīng)用，具體體現(xiàn)在科學(xué)分類、不重復(fù)、不漏掉地解決向量問(wèn)題.因三角函數(shù)值或性質(zhì)只能在一定象限范圍內(nèi)應(yīng)用，當(dāng)在一個(gè)更廣的范圍內(nèi)求解問(wèn)題時(shí)需要對(duì)角所在的不同象限將問(wèn)題一一解決.（4）數(shù)形結(jié)合思想.利用三角公式證明三角函數(shù)幾何性質(zhì)，是“以數(shù)助形”方法;利用單位圓的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖像求解三角問(wèn)題，是“以形助數(shù)”方法;利用單位圓研究三角函數(shù)幾何意義表示三角函數(shù)的三角函數(shù)線即平面向量.

這是一道將向量作為基礎(chǔ)的三角函數(shù)邊長(zhǎng)求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于根據(jù)向量知識(shí)對(duì)三角形邊長(zhǎng)進(jìn)行求解.對(duì)這類問(wèn)題的解題指導(dǎo)，首先需要對(duì)三角函數(shù)邊長(zhǎng)與角的關(guān)系、邊角關(guān)系、直角三角形三邊關(guān)系等建立知識(shí)框架，保證學(xué)生可以掌握三角函數(shù)求邊長(zhǎng)的問(wèn)題.本題解題時(shí)需要先對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷，明確題目中的限制條件，找出存在的相關(guān)關(guān)系，結(jié)合平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容，求解最終結(jié)果.

三、結(jié)束語(yǔ)

平面向量與三角函數(shù)的交匯及融合是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，這類題型多數(shù)是以三角函數(shù)問(wèn)題為背景的向量描述，需根據(jù)向量運(yùn)算性質(zhì)將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿侵R(shí)進(jìn)行解題，三角函數(shù)才是考查的主體.平面向量與三角函數(shù)的綜合題考查的要求通常不高，在解題時(shí)需要首先考慮向量的工具性及其作用，靈活運(yùn)用平面向量和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

【參考文獻(xiàn)】

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