基于AR(1)模型估計(jì)O-U過程參數(shù)的配對交易方法

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院 廣東 廣州 510320)

一、引言及文獻(xiàn)綜述

2017年底至2019年中旬，伴隨著A股大跌、監(jiān)管趨嚴(yán)、貿(mào)易戰(zhàn)等市場和政策因素的轉(zhuǎn)變，原本市場上可為投資者提供穩(wěn)定且收益可觀的資產(chǎn)，如傳統(tǒng)的指數(shù)基金等資產(chǎn)已經(jīng)無法滿足投資者的投資需求。在市場需求轉(zhuǎn)變的情況下，原本在牛市中并不太受歡迎的穩(wěn)健投資策略重新回歸人們的視野。在國外證券市場中，配對交易是一種被廣泛運(yùn)用的統(tǒng)計(jì)套利投資策略。配對交易策略的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)在于通過對沖機(jī)制有效規(guī)避了投資系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，即使在市場整體下行的時(shí)間段里，配對交易仍然能獲得比較穩(wěn)定的收益，是目前國外比較流行的一種穩(wěn)健的投資策略。

配對交易的主要工作有選擇股票對和確立建倉與平倉的交易策略。Huck(2009)提出一個(gè)有效的配對交易方法需要滿足兩個(gè)條件：一是能夠有效地探測并尋找出股票間的相關(guān)關(guān)系，二是能夠度量短期相對價(jià)值偏離長期均衡價(jià)值的程度。其主要過程是在證券市場上選出兩個(gè)長期走勢相似的股票構(gòu)成投資組合，跟蹤兩者的價(jià)格走勢，構(gòu)建評價(jià)其相對價(jià)值偏離程度的指標(biāo)，當(dāng)指標(biāo)偏離超過一定幅度后，買入弱勢股票并賣出強(qiáng)勢股票(或相反)，待指標(biāo)回復(fù)到合理水平后平倉獲利。

國外學(xué)者對配對交易進(jìn)行了廣泛的研究。Gatev和Rouwenhorst(2006)提出基于最小距離的配對方法并對1962—2002年美國S&P500成分股進(jìn)行了實(shí)證。Agarwal等(2004)利用修正后的價(jià)格計(jì)算各個(gè)股票之間相關(guān)性，挑選相關(guān)性較高的股票對進(jìn)行交易，觀察修正的觀察值偏離歷史均值的程度作為建倉的依據(jù)。Bertram(2010)推導(dǎo)了股票價(jià)格遵循O-U過程的統(tǒng)計(jì)套利解析公式，在目標(biāo)函數(shù)為最大化期望收益的情況下，得到了一個(gè)精確的解析解。

國內(nèi)方面，胡倫超等(2016)基于協(xié)整和距離配對法，構(gòu)建了兩階段配對交易策略。韓廣哲、陳守東(2007)基于上證50指數(shù)成分股進(jìn)行了配對交易的成果檢驗(yàn)。麥永冠、王蘇生(2014)用WM-FTBD方法對滬深港的股市進(jìn)行配對交易實(shí)證研究。劉永輝和張帝(2017)提出了基于協(xié)整O-U過程的配對交易策略，將其與傳統(tǒng)的O-U配對交易策略、協(xié)整策略進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)新策略在合理風(fēng)險(xiǎn)下具有較高的收益。

本文的主要工作是構(gòu)建了一個(gè)模型：每年先找出兩只通過了平穩(wěn)性和協(xié)整性檢驗(yàn)且相關(guān)性高的股票對，對兩只股票的日收益率進(jìn)行回歸，運(yùn)用輔助過程計(jì)算出其相對價(jià)值，將其假設(shè)成一個(gè)有均值回歸特性的O-U過程，并用AR(1)模型對O-U過程的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)估計(jì)出來的參數(shù)構(gòu)建一個(gè)衡量兩只股票相對價(jià)值偏離的指標(biāo)，最后制定一個(gè)策略并將其用于配對交易。本文將上述模型用于2010年中國融資融券制度啟動(dòng)后2011—2017年的采礦行業(yè)板塊的成分股進(jìn)行交易，發(fā)現(xiàn)該方法在采礦業(yè)的表現(xiàn)優(yōu)于同時(shí)期的滬深300指數(shù)與上證指數(shù)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)建倉天數(shù)大多在150天以內(nèi)，說明該方法有較大的研究潛力。

二、模型與方法

(一)相對價(jià)值理論

相對價(jià)值即兩只股票之間的股價(jià)在有相同方向的變動(dòng)關(guān)系下，其相對的價(jià)格高低。如果股票P和股票Q在同一個(gè)行業(yè)或者有相同的特性導(dǎo)致其互相有替代性，那么其中一只股票的期望收益將會(huì)跟隨另一只股票的期望收益變動(dòng)。相應(yīng)地，將Pt和Qt定義為相應(yīng)的價(jià)格時(shí)間序列，則我們可以建立以下的相對價(jià)值模型

(1)

式(1)中，dXt被假定為平穩(wěn)隨機(jī)過程的增長量。α可以視為是股票P在一定時(shí)期內(nèi)相對于股票Q的超額收益。式(1)表明，當(dāng)股票Q的價(jià)格變動(dòng)1%時(shí)，股票P的價(jià)格理論上應(yīng)變動(dòng)β×1%，但實(shí)際它們的變動(dòng)往往只會(huì)在長期趨于理論值，而短期中的變動(dòng)是不可預(yù)測的。在很多例子中，α和Xt相比是一個(gè)相對小的波動(dòng)，因此可以在之后的過程中被省略。所以這個(gè)模型提供了一個(gè)配對交易策略，當(dāng)Xt相對較小時(shí)，我們可以買多1元的P股票同時(shí)賣空β元的Q股票。相反地，當(dāng)Xt相對大時(shí)，我們可以賣空1元的P股票同時(shí)買多β元的Q股票。由此，我們接下來的工作便是建立一個(gè)可以描述Xt過程的模型和尋找一個(gè)方法來衡量Xt偏離其平衡點(diǎn)的程度。

(二)Ornstein-Uhlenbeck模型

我們可以將從式(1)得到的Xt假定為一個(gè)不會(huì)被系統(tǒng)因素影響的平穩(wěn)隨機(jī)過程，即可以視Xt為一個(gè)均值回歸過程。在這種假定下，我們建立了以下O-U過程

dX(t)=θ(μ-X(t))dt+σdW(t)，θ>0，σ>0

(2)

式(2)中，θ代表了均值回歸的速度，μ是X(t)的期望值，W(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。由伊藤引理，令f(Xt,t)=Xteθt,根據(jù)全微分方程我們可以得到

df(Xt,t)=θXteθtdt+eθtdXt

(3)

=eθtθμdt+σeθtdWt

將式(3)從t0積分至t0+Δt得到

(4)

因此我們可以得到

X(t0+Δt)=e-θΔtX(t0)+μ(1-e-θΔt)

(5)

假定Xt為正態(tài)的，讓Δt趨于無窮大，則可以得到均衡概率分布下的均值和方差

(三)AR(1)模型

以60天為滑動(dòng)窗口對P股票與Q股票的歷史日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行以下回歸

(6)

為了得到Xt進(jìn)行AR(1)回歸估計(jì)參數(shù)，我們建立一個(gè)輔助過程

(7)

從式(5)可以看出該O-U過程可以通過AR(1)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。所以，存在以下的AR(1)模型

Xt+1=a+bXt+φt+1

(8)

將式(5)和式(8)結(jié)合可以得出

因此，也可以得出

其中，σeq是X(t)過程的平衡方差。

(四)構(gòu)建策略

至此，我們可以根據(jù)以上的參數(shù)構(gòu)建一個(gè)評價(jià)P股票和Q股票相對價(jià)值偏離程度的得分。我們設(shè)計(jì)了一個(gè)無量綱的得分

(9)

其中，X(t)=X60。我們將式(9)計(jì)算出來的值稱為S得分，它衡量了協(xié)整殘差在單位標(biāo)準(zhǔn)差的衡量下離平衡點(diǎn)的距離。而離理論平衡點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)開平倉則是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)決定的。

因?yàn)楣善敝g的均衡相對價(jià)值是隨著時(shí)間的變化而變化的，所以該策略在每年或每次交易結(jié)束后都調(diào)整開平倉的S得分標(biāo)準(zhǔn)，以使策略更加有效，同時(shí)也使該策略更加合理。但在本文中，為了使回測的結(jié)果更加可信，我們在2011—2017年都選擇了相同的標(biāo)準(zhǔn)。建立的交易規(guī)則如表1所示。

表1 開平倉的交易規(guī)則

建立多頭即是買多1元的P股票的同時(shí)，賣空β元的Q股票。建立空頭即是賣空1元的P股票的同時(shí)，買多β元的Q股票。

圖1 配對交易建倉平倉示意

圖1中的序列是P股票和Q股票根據(jù)上述方法計(jì)算的S得分。當(dāng)S得分到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，建立空頭，即賣空1元的P股票，同時(shí)買多β元的Q股票，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)平倉。當(dāng)S得分到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，建立多頭，即買多1元的P股票，同時(shí)賣空β元的Q股票，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)平倉。由于在實(shí)證檢驗(yàn)中出現(xiàn)了在波動(dòng)較高的時(shí)段頻繁開閉倉的情況，而這將導(dǎo)致過高的手續(xù)費(fèi)并且會(huì)因?yàn)槎唐诓▌?dòng)而放棄長期相對價(jià)值偏離，所以本文設(shè)定了5天以上的開閉倉間隔。

三、實(shí)證分析

由于該策略要求股票對中的兩只股票在同一行業(yè)或者有著其他相同的因素導(dǎo)致它們的收益率有著相同的變化趨勢，本文選取了證監(jiān)會(huì)劃分的行業(yè)股構(gòu)建股票池。配對交易是一個(gè)促使定價(jià)準(zhǔn)確的過程，當(dāng)使用配對交易方法的交易員越多，定價(jià)越準(zhǔn)確時(shí)，配對交易的效率越低。所以構(gòu)建股票池時(shí)需避開受交易員關(guān)注的行業(yè)，如金融業(yè)和信息技術(shù)產(chǎn)業(yè)，本文選擇了采礦業(yè)的股票進(jìn)行配對交易，使用其前復(fù)權(quán)收盤價(jià)格進(jìn)行配對交易，使用的是日數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)區(qū)間為2010年1月1日至2017年12月31日，執(zhí)行策略的區(qū)間為2011年1月1日至2017年12月31日，一共1 702個(gè)交易日。數(shù)據(jù)來源為Wind數(shù)據(jù)庫，計(jì)算分析軟件為Matlab。

(一)參數(shù)設(shè)定

本文實(shí)證過程中的主要參數(shù)配對形成期為一年(找出用于交易期的股票對)，交易期為一年，交易期結(jié)束后配對形成期和交易期都往后移動(dòng)一年，不斷循環(huán)，一共7個(gè)交易期。買入和賣出費(fèi)率都為0.3‰。我國的融資融券年息為8.6%，按照日息計(jì)算平均每天為0.024%。因?yàn)樵摬呗砸笤诙嗫疹^雙方投入相同的資金，本文在每個(gè)交易期起始時(shí)投入本金200萬元(100萬元買多，100萬元賣空)進(jìn)行滾動(dòng)交易。假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為3%。

(二)交易過程

本文以在配對形成期中通過了平穩(wěn)性和協(xié)整檢驗(yàn)且相關(guān)性最大為依據(jù)選擇交易期的股票對，并且我們在每年只選擇一只股票對進(jìn)行交易。這是因?yàn)楫?dāng)選擇越多股票對時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某只或某幾只股票同時(shí)與其他股票具有高相關(guān)性，而它們的買多賣空方向不一定是一致的，即有可能呈現(xiàn)同一時(shí)期在某股票對中A股票被賣空，而在另一股票對中A股票被買多，這時(shí)該股票的收益和風(fēng)險(xiǎn)完全對沖(并且要承擔(dān)額外的交易費(fèi)用)。具體交易步驟如下。

對股票池中的前一年的價(jià)格時(shí)間序列計(jì)算相關(guān)系數(shù)，挑選出通過了平穩(wěn)性和協(xié)整檢驗(yàn)的相關(guān)性最大的兩只股票；

以60天為滑動(dòng)窗口對兩只股票的日收益率進(jìn)行回歸，得出其殘差序列和β值；

對殘差序列使用輔助過程計(jì)算出Xt，以60天為滑動(dòng)窗口對其進(jìn)行回歸，估計(jì)出O-U過程的參數(shù)；

根據(jù)公式計(jì)算出S得分，按照上述的交易規(guī)則進(jìn)行交易。

(三)實(shí)證結(jié)果

表2展示了2011—2017年的交易結(jié)果。從中我們發(fā)現(xiàn)建倉天數(shù)集中于150天附近，最低187天，最高161天。這說明了資金并未充分利用，如果在資金閑置的時(shí)期投資一些無風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)品，比如貨幣基金，那么可以使該策略更加有效。

表2 2011—2017年的配對交易結(jié)果

注：*說明該次單位根檢驗(yàn)進(jìn)行了一級差分。

圖2 2011—2017年采礦業(yè)配對交易收益率與滬深300、上證指數(shù)累計(jì)收益率的比較

表3 配對交易各類指標(biāo)與滬深300的比較結(jié)果 (單位:%)

圖2和表3將2011—2017年的配對交易年收益率與滬深300、上證指數(shù)的年漲跌幅進(jìn)行了比較。雖然在7年的時(shí)間里，配對交易的年收益率有5次小于滬深300指數(shù)，4次小于上證指數(shù)，但其7年的累計(jì)收益率高于滬深300指數(shù)和上證指數(shù)。同時(shí)，配對交易年收益率的波動(dòng)率小于滬深300指數(shù)和上證指數(shù)的波動(dòng)率，所以配對交易的夏普比率也較高于其他兩種參考指數(shù)。可以看出，配對交易在采礦業(yè)2011—2017年的表現(xiàn)在各個(gè)指標(biāo)上都優(yōu)于滬深300指數(shù)與上證指數(shù)。即累計(jì)收益、平均年收益、夏普比率都高于滬深300指數(shù)與上證指數(shù)，而波動(dòng)率卻小于滬深300指數(shù)與上證指數(shù)。這說明了相比于滬深300指數(shù)與上證指數(shù)，該配對交易策略可以在更小的風(fēng)險(xiǎn)下獲得更高的收益。

由于注意到7年時(shí)間的建倉時(shí)間都小于200天，如果我們可以將閑置期的資金無視流動(dòng)性地放入某些無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲取收益，那么收益將會(huì)提高不少。因此如果可以找到一種合理的方法充分利用閑置資金，將會(huì)使配對交易更有效率。

四、結(jié)論

配對交易策略作為一種統(tǒng)計(jì)套利策略，在近年來發(fā)展迅速，大部分學(xué)者針對配對交易策略對我國股票市場的適用性和穩(wěn)定性展開了研究，然而在交易方式改進(jìn)方面研究匱乏。本文的理論研究主要是根據(jù)我國股票市場的交易機(jī)制的實(shí)際情況，對股票配對交易策略的交易方式進(jìn)行創(chuàng)新，對比新舊兩種配對交易方法的表現(xiàn)，豐富了配對交易策略的交易方式和理論知識，可以為提高配對交易策略在我國股票市場上的適用性方面的研究提供新的思路。

實(shí)證結(jié)果顯示，2011—2017年配對交易在采礦業(yè)的表現(xiàn)總體優(yōu)于滬深300指數(shù)和上證指數(shù)的表現(xiàn)，無論是累積收益率、波動(dòng)率還是夏普比率，都是配對交易占優(yōu)。所以可以看出，配對交易具有在更小的風(fēng)險(xiǎn)下獲得更高收益的特點(diǎn)。同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)配對交易的建倉時(shí)間往往不超過200天，有大量的閑置資金，如果可以將所有時(shí)間的閑置資金都無視流動(dòng)性地投入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤，那么配對交易的結(jié)果將遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他情況。所以，在不影響配對交易進(jìn)行的前提下，能對閑置資金的利用進(jìn)行一個(gè)研究，無疑會(huì)使配對交易的可行性大大增加。