求不定積分的分部積分法

楊付貴

摘 要：分部積分法是不定積分的一種重要方法之一，它對某一類積分有特效，其他方法不行。分部積分法也是不定積分中的一個難點。在教學(xué)中，如何采用簡單可行的方法，使學(xué)生們正確的理解"反·對·冪·三·指"的含義，準(zhǔn)確的確定出哪個函數(shù)作為u和哪個函數(shù)和dx湊成dv是重中之重。然后，通過代公式，再微出來，最后積出來求出不定積分。

關(guān)鍵詞：分部積分；不定積分；微積分

分部積分法是不定積分學(xué)中的一類重要的、基本的計算積分的方法。也是不定積分中的一個難點。學(xué)生們在學(xué)習(xí)（或復(fù)習(xí)）不定積分的分部積分法時，對其使用并不熟練，特別是對于文科的學(xué)生，不知什么時候用不定積分的直接方法，什么時候用不定積分的換元法，什么時候用分部積分法，用分部積分法解題的技巧表現(xiàn)得更生硬。下面我結(jié)合自己三十多年講授高等數(shù)學(xué)的體會，談一下分部積分法的使用要點與技巧。僅供大學(xué)生學(xué)習(xí)不定積分的分部積分法時參考。

一、分部積分法的方法與步驟

由于積分與微分互為逆運算。所以分部積分法是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導(dǎo)而來的。它的主要原理是將不易直接求結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等價的易求出結(jié)果的積分形式的。即

其中積分 比

易求。

由此不難得到分部積分的步驟：

第一步： 湊dv；第二步：代公式；第三步：微出來；第四步：積出來。

其中第一步湊dv是關(guān)鍵，如果湊的不合適，就有可能使得后面的積分 比前面的積分 更復(fù)雜，更難積分，那么究竟如何湊dv呢？對于這個問題，我們下面進行詳細的討論，而第三步也很重要，否則，作著作著又作回去了。

二、使用分部積分法的基本條件

什么時候用分部積分法呢？一般地說，對于被積函數(shù)是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)這幾類初等函數(shù)中的某兩類函數(shù)乘積形式時，應(yīng)使用分部積分法，分部積分法對這一類積分有特效，其他方法不行。當(dāng)然，分部積分法對于其他的一些積分有時也會起到立竿見影的效果。比如：

例1：已知 的一個原函數(shù)是 ，求 。

解：

所以

例2：求

解：

所以

三、分部積分法湊dv的原則

一般地，從要求的積分式中將 湊成 是容易的，但通常有原則可依，也就是說dv湊的不好，不僅不會使右邊第二項 積分 變得精簡，反而可能會更麻煩。分部積分法最關(guān)鍵之處就在于準(zhǔn)確地選取 ，因為一旦 確定，則公式中右邊第二項積分 中的 也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取 則要依 的復(fù)雜程度決定，也就是說，選取的 的原則，一是易求，二是一定要使公式中右邊第二項積分

的形式更簡單或更有利于求得積分。依照經(jīng)驗，常用的分部積分的根據(jù)組成被積函數(shù)的基本函數(shù)類型，將分部積分的湊dv順序整理為口訣：“反對冪三指”。分別代指五類基本函數(shù)：反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積分。也就是說在分部積分中，我們湊dv，可以先確定u，剩下的便可湊成dv，而確定u有以下的優(yōu)先規(guī)律：

對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù) →多項式（或冪）函數(shù) →指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)（主要指sinkx和coskx）

具體地說，我們是按照以下步驟先確定u的：

（1）先看被積函數(shù)中是否含有對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)中的一種，若有的話就確定做u。（須指出：在我們現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教課書上，關(guān)于計算積分題目中的被積函數(shù)，不可能有“對數(shù)函數(shù)×反三角函數(shù)”的形式）。

（2）如果被積函數(shù)中不含有上述兩種函數(shù)中的任一種，再看有沒有多項式函數(shù)（或冪函數(shù)），若有的話確定為u。

（3）如果被積函數(shù)中未含有上述三種函數(shù)，那么，一定是三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的形式（若不然，沒必要使用分部積分法?。?。這時，三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都可以確定為u。

四、計算分部積分時的三種可能情景

那些相對簡單點的題目，經(jīng)過使用一次分部積分即可解決問題。如：

∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

可是，更多的題目僅使用一次是不夠的，往往需要使用兩次或多次的分部積分，甚至還需配合其它手法才能解決問題。一般可有以下幾種情景：

1. 多次使用分部積分

例如： ， 對該式右端第二項

積分，再按此模式進行分部積分，有

， 所以，

2. 解一個關(guān)于原積分式的方程。

利用有些函數(shù)經(jīng)一次或二次求微分后不變的性質(zhì)，通過一次或二次分部積分后，使等式右端再次產(chǎn)生 ，只要它的系數(shù)不為1，就

可以利用解方程的方法求出原積分。

比如：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)（sinkx或coskx）的乘積形式，那么計算該題需要兩次分部積分，并且經(jīng)過兩次分部積分后會得到一個關(guān)于原積分式的方程。這時只需解這個方程即可.在這里需要注意的是，第二次分部積分時選取的u要與第一次選取的u為同一類函數(shù)。

所以，

3. 對某些形如 的不定積分，利用分部積分可降低

的次數(shù)，求得遞推公式，然后再次利用遞推公式，求出

例如，對于積分 ， 當(dāng) 時，

當(dāng) 時，

而該式的第二項又可變換為]

將其帶入上式，則得到

故 最后，得到統(tǒng)一的遞推關(guān)系式