以一棵樹搖動另一棵樹

孫洪珍

“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)所學(xué)的函數(shù)之一，相較于以前所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，它比較特殊。特殊之處在于它的變量是角度，而不是具體的數(shù)值，還有它的函數(shù)表達(dá)式也比較特別，不是簡單的y與x之間的關(guān)系。高中把角度制改成弧度制，寫成如y=sinx，y=cosx，y=tanx的形式，就比較容易理解了。其實(shí)如正弦函數(shù)，將函數(shù)的表達(dá)式隱藏在對sinA的解讀里。平時(shí)在教學(xué)過程中，我們可能會忽略函數(shù)的本質(zhì)，讓學(xué)生對三種函數(shù)加以熟記，記住怎么求就可以了，但未使學(xué)生真正將三角函數(shù)納入函數(shù)的體系，也就沒有將這個(gè)概念的學(xué)習(xí)落實(shí)到位。浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊第五章對函數(shù)的概念是這樣描述的：一般地，在某個(gè)變化過程中，設(shè)有兩個(gè)變量x，y，如果對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。所以從函數(shù)角度出發(fā)，來學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”，是對三角函數(shù)有本質(zhì)的理解，為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

本課在浙教版數(shù)學(xué)九年級下冊第一章第一節(jié)課，是一節(jié)起始課，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。它在學(xué)生已學(xué)過直角三角形的邊關(guān)系——勾股定理，角關(guān)系——銳角互余，以及相似等知識的基礎(chǔ)上來進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它進(jìn)一步將直角三角形中邊和角的關(guān)系串聯(lián)起來，通過邊的關(guān)系求角度，也可通過角度來求邊長，三角函數(shù)可以解決直角三角形中的相似問題，利用三角函數(shù)求直角三角形的邊長更加方便。對于本節(jié)課的難點(diǎn)是銳角三角函數(shù)這個(gè)概念本身。如何落實(shí)概念，是本節(jié)課的難點(diǎn)。

教學(xué)過程片段：

一、拋磚引玉，引入課題

師：如圖1，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，你能求出∠A的度數(shù)嗎？為什么？

生1：可以的，因?yàn)槲覀冎涝谥苯侨切沃?，如果直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30°。

師：說得沒錯(cuò)，我們可以通過邊的特殊關(guān)系求角度，接下來，我們來看下一題。如圖2，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，你能求出∠A的度數(shù)嗎？為什么？

生2：這個(gè)我們就不知道了，因?yàn)闆]有特殊的關(guān)系，只能測量了。

師：是的。同學(xué)們，我們已經(jīng)知道，在特殊的直角三角形中，我們可以通過邊長來計(jì)算角度，也可以通過角度來計(jì)算邊長，但在一般的直角三角形中，我們就受到了一定的局限性。為了解決這些問題，我們開始本章的學(xué)習(xí)。

二、合作學(xué)習(xí)，提出概念

1.作一個(gè)30°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C，計(jì)算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值，并將所得的結(jié)果與你的同伴所得的結(jié)果作比較。

2.作一個(gè)50°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C，量出AB，AC，BC的長（精確到1mm），計(jì)算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值（精確到0.01），并將所得的結(jié)果與你的同伴所得的結(jié)果作比較。通過上面兩個(gè)實(shí)踐操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.當(dāng)∠A的大小固定時(shí)，這些邊的比值是否會隨著點(diǎn)B的位置不同而發(fā)生改變？當(dāng)∠A的大小發(fā)生改變時(shí)，這些邊的比值是否也發(fā)生改變？這種變化讓你聯(lián)想到了什么？

本節(jié)課的難點(diǎn)就在于對銳角三角函數(shù)的理解，通過小組合作，群策群力突破難點(diǎn)。

生3：我們小組發(fā)現(xiàn)在30°的∠A中，這些邊的比值是一樣的，因?yàn)?00的直角三角形，三邊之比為1：2：而當(dāng)∠A為50°時(shí)，我們通過測量比值比較接近。

生4：我們組也是比較接近的。

師：這兩位的學(xué)生通過測量，發(fā)現(xiàn)這些邊的比值比較接近。由于我們測量有一定的誤差，結(jié)果不完全相同，但都是比較接近的。我們能從理論角度來說明這些邊的比值隨著點(diǎn)位置的改變而不變的原因嗎？

生5：如果把兩幅圖放在一起，我的直角三角形與其他同學(xué)的直角三角形相似，所以這些邊的比值是不變的。

師：這位同學(xué)透過表面看到了本質(zhì)，我們通過實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并結(jié)合理論知識加以證明。這是我們進(jìn)行探究的常用方法。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠A不變時(shí)，這些邊的比值不變，那么當(dāng)∠A的大小發(fā)生改變時(shí)，這些邊的比值會怎么樣呢？

生6：當(dāng)然發(fā)生改變了。因?yàn)榻嵌炔煌匀切蜗嗨埔簿筒怀闪⒘?，這些邊的比值也一定發(fā)生改變了。

師：我們大家共同討論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠A發(fā)生改變時(shí)，這些邊的比值隨著∠A的變化而變化，這使大家聯(lián)想到了什么？

生7：函數(shù)。

師：是的，我們用函數(shù)來刻畫這種變化。像這樣，按照上面的作圖方法，如圖5，這些邊的比值隨著角度的改變而改變，我們把比值BC/AB，AC/AB，BC/AC看作是關(guān)于∠A的函數(shù)。如圖：我們把比值BC/AB叫做∠a的正弦，記做sina，即sina=BC/AB。同樣，比值A(chǔ)C/AB叫做∠a的余弦，記做cosa，即cosa=AC/AB;比值BC/AC叫做∠a的正切，記做tana，即tana=BC/AC。這里sina，cosa，tana都是完整的符號，單獨(dú)的“sin”沒有意義。其中a前面的“∠”一般省略不寫，除非用三個(gè)大寫字母或者用數(shù)字表示角的時(shí)候。

師：銳角a的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱∠a的三角函數(shù)。如果∠a

師：對于這個(gè)三角函數(shù)，它與我們所學(xué)過的函數(shù)從表面看并不一樣，接下來，我們從函數(shù)的角度來揭開它的面紗。

三、問題為媒，進(jìn)行類比

從函數(shù)角度，圍繞下面三個(gè)問題，來進(jìn)一步學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的概念。

1.銳角三角函數(shù)的變量和函數(shù)解析式。

2.自變量的范圍，以及函數(shù)的范圍。

3.函數(shù)的圖象和增減性。

師：我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)，誰能告訴我函數(shù)的概念。

生8：一般地，在某個(gè)變化過程中，設(shè)有兩個(gè)變量x，y，加果對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。