素環(huán)上的廣義(θ,θ)-導(dǎo)子

鐘佩伶

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

0 引 言

Bell和Kappe[1]證明了若d為R上的導(dǎo)子，在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.Ashaf[2]將結(jié)論推廣到了σ,τ-導(dǎo)子，Rehman[3]進(jìn)一步研究素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài).本文進(jìn)一步研究了素環(huán)非零理想上廣義θ,θ-導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài)的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R為結(jié)合環(huán).對(duì)任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0, 則稱(chēng)R為素環(huán).如果環(huán)R為2-扭自由的，則對(duì)任意的a∈R，若2a=0，則必有a=0.設(shè)R是環(huán),d:R→R是加性映射.若對(duì)任意的x,y∈R,滿足：dxy=dxy+xdy,則稱(chēng)d是R上的導(dǎo)子.若映射σ:R→R滿足：(1)σ(x)?R,x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,則稱(chēng)σ為R的自同構(gòu)．設(shè)R是結(jié)合環(huán),g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu). 若對(duì)任意的x,y∈R, 滿足gxy=gxθy+φxgy, 則稱(chēng)g為R上的θ,φ-導(dǎo)子. 設(shè)R是結(jié)合環(huán)，g:R→R是加性映射.若對(duì)任意的x,y∈R,有g(shù)xy=gxy+xdy,則稱(chēng)g為R上的廣義導(dǎo)子,d是g的伴隨導(dǎo)子. 設(shè)R是結(jié)合環(huán),g:R→R是加性映射,θ是R上的自同構(gòu).若對(duì)任意的gx,y∈R,有g(shù)xy=gxθy+θxdy, 則稱(chēng)g為R上的廣義θ,θ-導(dǎo)子,d是g的伴隨導(dǎo)子.設(shè)R是環(huán)，I?R是R的可加子群，若對(duì)任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，則稱(chēng)I為R的理想.

2 主要結(jié)果

引理1[[3]引理1.1]若一個(gè)素環(huán)R有一個(gè)非零理想是可交換的，則R是可交換的.

定理1R為2-扭自由素環(huán)，I是R的非零理想，設(shè)θ在R上是自同構(gòu)的，F(xiàn)是R上的廣義(θ,θ)-導(dǎo)子，(θ,θ)-導(dǎo)子d是F的伴隨導(dǎo)子.

(i)F作為同態(tài)在I上，若d≠0，則R是可交換的.

(ii)F作為反同態(tài)在I上，若d≠0，則R是可交換的.

證明：

(i)假設(shè)R是不可交換的.

由于F在I上滿足同態(tài)，有

(1)FuFv=Fuv=Fuθv+θuFv,?u,v∈I.

在(1)用vw換v并結(jié)合(1)可得

Fu-θuθvdw=0 , ?u,v,w∈I.

又可得θ-1Fu-θuIθ-1dw=0 ， ?u,w∈I.

由R是素環(huán)可得Fu-θu=0 或dw=0 , ?u,w∈I.

如果 (2)dw=0 , ?w∈I.

在(2)中用wr換w并結(jié)合(2)有

0=dwr=dwθr+θwdr=θwdr,?w∈I,?r∈R.

又可得Iθ-1dr=0 ， ?r∈R.

由R是素環(huán)可得dr=0 ,?r∈R.

故d=0.

與已知d≠0矛盾，故不成立.

如果Fu-θu=0 , ?u∈I.

由(1)知θudv=0 ， ?u,v∈I.

又可得Iθ-1dv=0 ， ?v∈I.

所以dv=0 ， ?v∈I.

類(lèi)似地同(2)的解答過(guò)程可知也是與已知矛盾的，故不成立.

所以假設(shè)是不成立的.

故R是可交換的.

(ii)由于F在I上滿足反同態(tài)，有

(3)FvFu=Fuv=Fuθv+θuFv,?u,v∈I.

在(3)中用uv換u并結(jié)合(3)有

(4)θuθvdv=Fvθudv， ?u,v∈I.

在(4)中用wu換u有

(5)θwθuθvdv=Fvθwθudv, ?u,v,w∈I.

對(duì)(4)左乘θw有

(6)θwθuθvdv=θwFvθudv,?u,v,w∈I.

由(5)(6)知Fv,θwθudv=0 , ?u,v,w∈I.

又可得θ-1Fv,θwIθ-1dv=0 ， ?v,w∈I.

由R是素環(huán)可得Fv,θw=0 或dv=0 ,?v,w∈I.

如果dv=0 ,?v∈I

類(lèi)似地由(i)中(2)的解答過(guò)程知與已知矛盾,不成立.

如果(7)Fv,θw=0，?v,w∈I.

在(7)中用vw換v并結(jié)合(7)可得

(8)θvdw,θw+θv,θwdw=0,?v,w∈I.

在(8)中用uv換v在結(jié)合(8)可得

θu,θwθvdw=0，?u,v,w∈I.

又可得u,wIθ-1dw=0,?u,w∈I.

由R是素環(huán)可得u,w=0 或dw=0， ?u,w∈I.

如果dw=0， ?w∈I

類(lèi)似地由(i)中(2)的解答過(guò)程知與已知矛盾,不成立.

如果u,w=0 ，?u,w∈I

故I是可交換的.

由引理1.1知R是可交換的.

故命題得證.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了在素環(huán)非零理想上廣義θ,θ-導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài)，若d≠0時(shí)，素環(huán)R是可交換的，把Rehman研究的素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子的相關(guān)結(jié)果推廣到了廣義θ,θ-導(dǎo)子上，對(duì)進(jìn)一步研究是很有幫助的.