淺談斐波納契數(shù)列與黃金數(shù)的關(guān)系

馮云霞

(江蘇省連云港市藝術(shù)學(xué)校 222002)

一、Fibonacci數(shù)列的通項公式

Fibonacci數(shù)列的通項的證明可以通過求解遞推關(guān)系公式來實現(xiàn)，通過求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系或利用生成函數(shù)法分別加以證明遞推關(guān)系為

證明： 設(shè)Fn的生成函數(shù)為F(x)，則有

F(x)=F0+F1x+F2x2+…+Fnxn+…,

x(F(x)-F0)=F1x2+F2x3+…Fn-1xn+…,

x2F(x)=F0x2+F1x3+F2x4+….

把以上式子的兩邊由上向下作差得

F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+…=1+x+0+0+….

二、下面來證明該數(shù)列與黃金數(shù)的關(guān)系

我們先證明命題1和2，然后再求數(shù)列{bn}的極限.

命題1 Fibonacci數(shù)列的相鄰四項都滿足關(guān)系式：Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n,n≥3.

證明：根據(jù)行列式與線性方程組的關(guān)系，

整理得：Fn-12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1,

(Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n,

Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n.

命題2 數(shù)列{bn}存在極限.

又因為數(shù)列{bn}有界.所以{b2n},{b2n-1}的極限存在.

則必有A=B≠0.所以數(shù)列{bn}存在極限.

由此可知Fibonacci數(shù)列與黃金數(shù)之間有著密切的關(guān)系.