肋骨非均勻排列的圓柱殼振動特性研究

劉文璽，周其斗

（海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，武漢430033）

0 引 言

水下潛器主要是由加肋圓柱殼連接在一起構(gòu)成的，因此加肋圓柱殼的振動性能的優(yōu)劣直接決定了水下潛器振動性能的優(yōu)劣，另外，現(xiàn)代聲納系統(tǒng)以及各種先進(jìn)水下探測技術(shù)迅猛發(fā)展，水下潛器的隱蔽性在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中顯得極為重要，因此，研究加肋圓柱殼的振動及聲輻射特性非常重要，也一直得到眾多學(xué)者的關(guān)注。

迄今為止，對加肋圓柱殼振動特性的研究中，圓柱殼的環(huán)肋通常是均勻排列的，也就是等間距排列，對等間距結(jié)構(gòu)（如等間距簡支支撐梁、單向等間距加肋板、等間距加肋圓柱殼）的振動特性的研究表明[1-5]，振動在頻域上有交替存在通帶與止帶的特征，其中，通帶代表結(jié)構(gòu)波能自由傳播時的頻帶，止帶代表隨傳播距離的增大結(jié)構(gòu)波幅值成指數(shù)衰減的頻帶。目前，對不等間距結(jié)構(gòu)振動的研究多集中于一維簡單結(jié)構(gòu)[6-12]，雖然得出了一些重要結(jié)論，如：不等間距結(jié)構(gòu)振動特性存在安德森定域效應(yīng)現(xiàn)象，但針對不等間距加肋圓柱殼的振動特性的研究并不多，而且主要是針對無限長非周期加肋圓柱殼[13]，文獻(xiàn)[13]的研究表明，對于無限長非周期加肋圓柱殼，除低階周向振動模式外，不等間距加肋圓柱殼在軸向上的振動傳播均具有明顯的安德森定域效應(yīng)，且安德森定域效應(yīng)作用隨周向振動模式階數(shù)的升高而加強，主要原因是：隨著周向振動模式階數(shù)的升高，肋骨的阻抗作用變大，相鄰子結(jié)構(gòu)間的耦合作用受肋骨阻抗影響而減弱。

在實際工程中，加肋圓柱殼是有限長的，本文研究肋骨不等間距排列對有限長加肋圓柱殼在一定頻率范圍內(nèi)的振動的抑制作用。

1 基本理論

1.1 一維不等間距結(jié)構(gòu)振動理論

上世紀(jì)末至本世紀(jì)初，國外學(xué)者[7，9]對一維不規(guī)則耦合振子系統(tǒng)、一維不等間距支撐梁等簡單結(jié)構(gòu)的振動特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)不等間距結(jié)構(gòu)振動特性的主要特征是存在安德森定域效應(yīng)（Aderson localization）。相比等間距結(jié)構(gòu)上結(jié)構(gòu)波在通帶內(nèi)能無衰減地自由傳播，安德森定域效應(yīng)描述了不等間距結(jié)構(gòu)上的結(jié)構(gòu)波幅值因為非阻尼的原因隨傳播距離增大成指數(shù)衰減的現(xiàn)象。

對一維無限長無阻尼單支座簡支支撐梁結(jié)構(gòu)，若令支座處入射波為e-jkx，則透射波與反射波可分別表示為te-jkx與rejkx，其中t、r分別為結(jié)構(gòu)波在單個支座處的透射與反射系數(shù)，k為結(jié)構(gòu)波波數(shù)，見圖1（a）。

圖1 無限長單支座與多支座簡支支撐梁Fig.1 Infinite beam supported by single or multi simple supports

對一維無阻尼多跨度簡支支撐梁結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)波在各支座間存在來回的反射與透射，使得結(jié)構(gòu)波的傳播較為復(fù)雜。假設(shè)僅考慮結(jié)構(gòu)波的兩重反射，則在任意支座處，結(jié)構(gòu)波的入射、透射、反射關(guān)系如圖1（b）所示。圖中，Xn為編號為n的簡支支座；xn為支座Xn與Xn+1的間距；入射波為e-jkx，沿x軸正方向入射至支座均為重整后的結(jié)構(gòu)波透射與反射系數(shù)。

從圖1（b）易見：（1）標(biāo)示為1的結(jié)構(gòu)波為初始入射波。（2）標(biāo)示為3的結(jié)構(gòu)波為經(jīng)支座Xn+1反射后，傳播至支座Xn右側(cè)的結(jié)構(gòu)波。（3）標(biāo)示為2的結(jié)構(gòu)波由兩部分疊加而成，一是結(jié)構(gòu)波1在支座Xn處的透射部分；二是結(jié)構(gòu)波3在支座Xn處的反射部分，至此，結(jié)構(gòu)波已考慮了兩次反射。（4）標(biāo)示為4的結(jié)構(gòu)波也由兩部分疊加而成，一是結(jié)構(gòu)波1在支座Xn處的反射部分，二是結(jié)構(gòu)波3在支座Xn處的透射部分。根據(jù)上述結(jié)構(gòu)波之間的相互關(guān)系，對多支座梁的結(jié)構(gòu)波入射、透射和反射關(guān)系進(jìn)行重整，得[7]：

根據(jù)（1）式可得結(jié)構(gòu)波在第n個支座處的透射系數(shù)：

若結(jié)構(gòu)波傳遞經(jīng)過N個支座，則總傳遞系數(shù)TN為：

對總傳遞系數(shù)取對數(shù)可得：

若不等間距支撐梁的支座間距為隨機分布，則重整后反射系數(shù)間的相位因子也為隨機分布，因此（4）式可化為[7]：

由上式可知，隨著結(jié)構(gòu)波傳播經(jīng)過支座數(shù)N的增加，總傳遞系數(shù)減小，結(jié)構(gòu)波幅值隨傳播距離的增加成指數(shù)衰減，顯現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動的安德森定域效應(yīng)現(xiàn)象。

安德森定域效應(yīng)的物理機理在于：結(jié)構(gòu)的不等間距排列，破壞了結(jié)構(gòu)傳播波在各支座位置處的相位匹配關(guān)系，使得支座對結(jié)構(gòu)波的反射作用增強，傳播衰減增大。

1.2 肋骨間距設(shè)計方法

根據(jù)安德森定域效應(yīng)以及文獻(xiàn)[13]結(jié)論，可以看出，安德森定域效應(yīng)產(chǎn)生的條件主要有3個：

（1）結(jié)構(gòu)無限長；

（2）支座或者肋骨間距為隨機分布；

（3）支座或肋骨的數(shù)量越大，結(jié)構(gòu)波幅值隨傳播距離的增加衰減越快。

而實際工程當(dāng)中，加肋圓柱殼是有限長的，從工藝等角度看，肋骨間距隨機分布較難實現(xiàn)，所以，要尋找既能抑制圓柱殼振動，又能較容易實現(xiàn)的肋骨不等間距排列的方法。下面，我們把安德森定域效應(yīng)的結(jié)論進(jìn)行推廣，應(yīng)用到有限長不等間距加肋圓柱殼，并通過數(shù)值計算進(jìn)行檢驗，但問題的關(guān)鍵是肋骨間距的確定。

無論是無限長還是有限長的結(jié)構(gòu)，肋骨間距的分布，應(yīng)該滿足安德森定域效應(yīng)產(chǎn)生的物理機理：結(jié)構(gòu)的不等間距排列，要能破壞結(jié)構(gòu)傳播波在各支座或肋骨處的相位匹配關(guān)系，使得支座或肋骨對結(jié)構(gòu)波的反射作用增強，傳播衰減增大。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，可以看出，安德森定域效應(yīng)作用隨周向振動模式階數(shù)的升高而加強，也就是隨著固有頻率的提高，肋骨的阻抗作用變大，相鄰子結(jié)構(gòu)間的耦合作用受肋骨阻抗影響而減弱，因此，本文從工程實用的角度出發(fā)，采取如下研究思路：

（1）研究肋骨不等間距排列對有限長圓柱殼在中高頻段的振動特性的影響。

（2）先按隨機方法決定各個肋骨間距，計算圓柱殼振動響應(yīng)，分析肋骨間距隨機分布對圓柱殼振動的抑制作用。

（3）取兩種肋距，交替排列，為了最大程度滿足安德森定域效應(yīng)產(chǎn)生的條件，盡量增加相鄰子結(jié)構(gòu)固有頻率差來減弱相鄰子結(jié)構(gòu)的耦合作用，這一點也可以將文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果進(jìn)行推廣得到：文獻(xiàn)[14]通過不等間距分艙增加相鄰艙段的固有頻率差，從而控制圓柱殼結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的譜峰頻率和幅值，取得了一定效果，把不等間距分艙推廣到不等間距肋距，并且研究的頻率范圍由不等間距分艙的低頻段推廣到中高頻段，能夠達(dá)到減弱振動的目的。

2 肋骨間距設(shè)計

按如下兩種方法設(shè)計肋骨間距：

（1）按隨機方法設(shè)計肋骨間距；

（2）以固有頻率變化為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計。

2.1 肋距隨機分布

圓柱殼軸向長度8 400 mm，設(shè)置13檔肋骨，即14個肋骨間距，每個肋骨間距在400～800 mm之間，隨機生成14個肋骨間距，共生成10組肋骨間距，即建立10個加肋圓柱殼模型，如表1所示，模型1、模型9的肋距分布簡圖如圖2、圖3所示。

表1 各個模型的肋距Tab.1 Frame spacing of all models

圖2 模型1的肋距分布簡圖 Fig.2 Frame spacing distribution of model 1

圖3 模型9的肋距分布簡圖Fig.3 Frame spacing distribution of model 9

2.2 以固有頻率變化為依據(jù)設(shè)計肋距

在兩種情況下，一是只改變肋骨間距，二是只改變殼板厚度，研究兩端帶肋骨的圓環(huán)振動固有頻率的變化規(guī)律，為后面的加肋圓柱殼肋骨排列形式、殼板厚度分布設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

2.2.1 肋骨間距對肋骨間圓環(huán)振動固有頻率的影響

2.2.1 .1計算模型

肋距均勻分布的加肋圓柱殼的結(jié)構(gòu)形式如圖4所示，圓柱殼兩端用艙壁封堵，改變肋骨間距，外殼板厚度和肋骨尺寸不變。

計算模型的主要尺度如表2所示，各個模型肋骨間距不同。

2.2.1 .2計算結(jié)果

對于表2中的5個模型，以每個加肋圓柱殼中間相鄰兩根肋骨間的圓環(huán)為對象，提取周向2個波形的圓環(huán)的固有頻率，振型如圖5所示。

圖4 加肋圓柱殼的結(jié)構(gòu)形式簡圖Fig.4 Diagram of structure form of ringstiffened cylindrical shell

表2 各計算模型的主要尺度Tab.2 Main dimensions of models

圖5 振型圖Fig.5 Vibration mode

圖6 圓環(huán)固有頻率隨肋距的變化Fig.6 Variation of natural frequency of ring shell with frame spacing

圖7 擬合曲線斜率的絕對值Fig.7 Absolute value of fitting curve slope

固有頻率隨肋骨間距的變化曲線以及該曲線的擬合曲線如圖6所示，擬合曲線斜率的絕對值隨肋骨間距的變化曲線如圖7所示。

根據(jù)擬合曲線斜率變化的情況，可以看出，肋距在600 mm之前，固有頻率變化較快，在600～800 mm之間，固有頻率變化較慢，因此，在選擇肋骨間距時，在滿足布置和工藝等要求的情況下，小間距的應(yīng)盡量小，大間距的選擇700 mm左右就可以，因為再增大肋骨間距，對固有頻率變化的改變效果不大。

2.2.2 板厚對肋骨間圓環(huán)振動固有頻率的影響

2.2.2 .1計算模型

肋距均勻分布的加肋圓柱殼的結(jié)構(gòu)形式如2.2.1.1節(jié)圖4所示，肋骨間距取三個值，分別是400 mm、600 mm和800 mm，對每個肋骨間距，圓柱殼板厚分別取：28 mm、32 mm、36 mm、40 mm和44 mm，因此，構(gòu)造了3組圓柱殼，每組5個，各圓柱殼肋骨尺寸不變，同2.2.1.1節(jié)模型，圓柱殼兩端用艙壁封堵。

2.2.2 .2計算結(jié)果

以每個加肋圓柱殼中間相鄰兩根肋骨間的圓環(huán)為對象，提取周向2個波形的圓環(huán)的固有頻率，結(jié)果如圖8所示。

根據(jù)圖8的結(jié)果，可以看出：

（1）圓環(huán)固有頻率隨著圓柱殼板厚的增加而增大；

（2）肋骨間距小，固有頻率增大的速度快，肋骨間距大，固有頻率增大的速度慢；

（3）隨著圓柱殼板厚的增加，肋距600 mm與肋距400 mm、800 mm相比，固有頻率差別都較大，因此，當(dāng)肋距選擇800 mm時，為了與肋距600 mm時的固有頻率差盡量大，板厚應(yīng)大于36 mm。

圖8 圓環(huán)固有頻率隨殼板板厚的變化Fig.8 Variation of natural frequency of ring shell with shell plate thickness

3 加肋圓柱殼振動響應(yīng)對比研究

3.1 加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計

（1）等間距加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計

肋骨間距600 mm，圓柱殼板厚28 mm，圓柱殼長度8 400 mm，兩端的艙壁不變，圓柱殼的結(jié)構(gòu)形式如圖 9（a）所示。

圖9 加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig.9 Structure design of ring-stiffened cylindrical shell

（2）肋距隨機分布的加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計

按照表1的10組肋距，設(shè)計10個圓柱殼模型，分別是模型1～模型10，圓柱殼長度8 400 mm，兩端的艙壁不變，其中模型1、模型9的結(jié)構(gòu)形式如圖2、圖3所示。

（3）兩種肋距交替分布的加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計

根據(jù)2.2.1.2節(jié)和2.2.2.2節(jié)的結(jié)論，選擇兩種肋骨間距，分別是400 mm、800 mm，肋距400 mm之間圓柱殼板厚28 mm，肋距800 mm之間圓柱殼板厚分別選28 mm、32 mm、36 mm、40 mm和44 mm，因此，一共構(gòu)造了5個不等間距加肋圓柱殼，即5個計算模型，圓柱殼長度都是8 400 mm，兩端的艙壁不變，圓柱殼的結(jié)構(gòu)形式如圖9（b）所示。

3.2 加肋圓柱殼在空氣中的振動響應(yīng)

分別計算等間距和不等間距加肋圓柱殼在空氣中的振動響應(yīng)，其中不等間距加肋圓柱殼包括肋距隨機分布、兩種肋距交替分布兩種情況，計算工況有2個，分別是艙壁浮筏基座處軸向激振、垂向激振，激振力的頻率范圍20～1 000 Hz，對比分析各模型的均方振速，均方振速的計算公式參見文獻(xiàn)[14]。

3.2.1 肋距等間距分布與隨機分布的比較

對比分析肋距隨機分布的10個圓柱殼的振動響應(yīng)，可以看出，激振力頻率大約在700 Hz之前，振動響應(yīng)曲線互相交叉，除了局部有一定差別外，整體看，相差不大，比如模型1和模型9的振動響應(yīng)，如圖10、圖11所示，其中，圖10表示軸向激振的結(jié)果，圖11表示垂向激振的結(jié)果。

圖10 軸向激振力作用下模型1、9的比較Fig.10 Comparison between model 1 and model 9 under axial loads

圖11 垂向激振力作用下模型1、9的比較Fig.11 Comparison between model 1 and model 9 under vertical loads

圖12 軸向激振力作用下等距與隨機分布的比較Fig.12 Comparison between periodic and random distribution under axial loads

圖13 垂向激振力作用下等距與隨機分布的比較Fig.13 Comparison between periodic and random distribution under vertical loads

比較肋距等間距分布與隨機分布的圓柱殼振動響應(yīng)，結(jié)果如圖12、圖13所示，其中，圖12表示軸向激振的結(jié)果，圖13表示垂向激振的結(jié)果。

從圖12、圖13可以看出，只有在350～600 Hz之間，肋距隨機分布的振動水平相對于肋距等距分布情況有一定程度的降低，因此，對于有限長圓柱殼，肋距隨機分布，可以達(dá)到降低圓柱殼振動的目的，但是，只是在較窄的一定的頻率（一般是中高頻率）范圍內(nèi)。

3.2.2 肋距等間距分布與兩種肋距交替分布的比較

比較肋距等間距分布與兩種肋距交替分布的振動響應(yīng)，可以看出，等間距加肋圓柱殼和兩種肋距交替分布加肋圓柱殼中的肋距800 mm之間圓柱殼板厚44 mm的模型的振動響應(yīng)差別最為明顯，如圖14、圖15所示，其中，圖14表示軸向激振的結(jié)果，圖15表示垂向激振的結(jié)果。

圖14 軸向激振力作用下等距與兩種交替分布的比較Fig.14 Comparison between periodic and two alternating distribution under axial loads

圖15 垂向激振力作用下等距與兩種交替分布的比較Fig.15 Comparison between periodic and two alternating distribution under vertical loads

從圖14、圖15可以看出，在350～700 Hz之間，兩種肋距交替分布的振動水平相對于肋距等距分布情況有一定程度的降低，因此，對于有限長圓柱殼，兩種肋距交替分布，可以達(dá)到降低圓柱殼振動的目的，但是，只是在較窄的一定的頻率（一般是中高頻率）范圍內(nèi)。

3.2.3 肋距等間距分布與不等間距分布的比較

比較肋距等間距分布與不等間距分布的振動響應(yīng)，如圖16、圖17所示，其中，圖16表示軸向激振的結(jié)果，圖17表示垂向激振的結(jié)果。

根據(jù)圖16、圖17的結(jié)果，可以看出：

（1）對于有限長加肋圓柱殼，當(dāng)激振力的激振頻率小于350 Hz時，肋骨采用等間距排列形式和不等間距排列形式，振動響應(yīng)相差不大，其原因是：低頻時結(jié)構(gòu)波長較長，肋骨排列形式對殼體總振動影響較小，隨著頻率增高，結(jié)構(gòu)波長變短，肋骨排列形式對殼體振動的影響才體現(xiàn)出來；當(dāng)激振力的激振頻率大于350 Hz而小于700 Hz時，肋骨采用不等間距排列形式，相對于肋骨采用等間距排列形式，可以減弱結(jié)構(gòu)振動。

圖16 軸向激振力作用下等距與不等距分布的比較Fig.16 Comparison between periodic and aperiodic distribution under axial loads

（2）對于有限長圓柱殼，肋距不等間距分布，可以達(dá)到降低圓柱殼振動的目的，但是，只是在較窄的一定的頻率（一般是中高頻率）范圍內(nèi)。

（3）兩種肋距交替分布的振動水平要比肋距隨機分布低，究其原因，一是肋距隨機分布，但是肋骨數(shù)量不多，不滿足安德森定域效應(yīng)產(chǎn)生的條件的第3條，因此，對結(jié)構(gòu)波的衰減作用不大，二是兩種肋距交替分布，雖然其隨機性沒有肋距隨機分布強，但是，在設(shè)計兩種肋距時，充分考慮了安德森定域效應(yīng)產(chǎn)生的原理，如1.2節(jié)所述，因此，兩種肋距交替分布的振動水平比肋距隨機分布低是合理的。

4 結(jié) 論

本文研究了肋骨非均勻排列的加肋圓柱殼的振動特性。將安德森定域效應(yīng)的原理進(jìn)行推廣，分別按隨機方法和以固有頻率變化為依據(jù)，設(shè)計肋骨間距，構(gòu)造加肋圓柱殼的不等間距肋骨排列形式，計算并比較了加肋圓柱殼的振動響應(yīng)，可以看出：

（1）肋骨排列形式對圓柱殼振動的影響主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)波波長小于肋間距的中高頻，低頻時影響不大；

（2）在一定頻率范圍內(nèi)，肋骨采取不等間距的排列形式可以減弱加肋圓柱殼的振動響應(yīng)；

（3）對于有限長圓柱殼，以固有頻率變化為依據(jù)將肋距比按隨機方法設(shè)計肋距，從抑制振動響應(yīng)的角度看更可行；

（4）本文的研究結(jié)果可以作為進(jìn)一步研究類似問題的基礎(chǔ)。