整體把握教學(xué)思路 建構(gòu)合理有效探究*
——以“正弦定理”為例

●

(暨陽高級(jí)中學(xué),江蘇 張家港 215600)

1 教學(xué)現(xiàn)狀分析

“正弦定理”是蘇教版《數(shù)學(xué)(必修5)》第一章第一節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生對(duì)三角形3個(gè)角之間關(guān)系以及3條邊之間關(guān)系認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)三角形邊角關(guān)系的再構(gòu)建.教材中是以呈現(xiàn)的形式把正弦定理的幾種常見證明方法羅列出來，這就使得部分教師在課堂上也采用羅列的方法，逐一列舉每種證法.這樣的教授方法難免會(huì)出現(xiàn)以下3點(diǎn)不足之處.

1.1 單純以書論教，缺乏對(duì)教材中多種證法的再認(rèn)識(shí)

教材是編者對(duì)所教授知識(shí)的呈現(xiàn)，教師在教學(xué)中，要把“教教材”變成“創(chuàng)造性地用教材教”，把知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系呈現(xiàn)給學(xué)生.正弦定理體現(xiàn)了三角形6個(gè)基本量(即3條邊和3個(gè)角)之間的數(shù)量關(guān)系，形式簡(jiǎn)約，內(nèi)涵豐富.這個(gè)形式給它的發(fā)現(xiàn)和證明帶來了眾多不同的切入點(diǎn).教材中用了兩種不同的證法證明正弦定理，并在第7頁中提出“思考：嘗試用其他方法證明正弦定理”，即要求至少用3種不同的方法予以證明.有的教師在處理這幾種證法時(shí)，讓每一種證法孤立存在，不能形成知識(shí)和思維的發(fā)展體系.另外，按照我們對(duì)定理的認(rèn)知過程，在發(fā)現(xiàn)正弦定理并用一種方法進(jìn)行證明以后，接下來就應(yīng)該進(jìn)行定理初步應(yīng)用的教學(xué)內(nèi)容，為什么還要提出另外兩種證明方法？有提出這兩種證明方法的必要性嗎？這些都是教師在教學(xué)過程中需要解決的問題[1].

1.2 脫離學(xué)生的認(rèn)知，導(dǎo)致引出向量證明的僵硬

向量法證明正弦定理是向量作為數(shù)學(xué)工具的一種重要體現(xiàn).這種證明方法的提出，也為后來用向量法證明余弦定理埋下了伏筆，是教材編寫者對(duì)教授的知識(shí)進(jìn)行有效螺旋上升的體現(xiàn).有的教師在講解這種證明方法時(shí)，直接給出作高(或垂直向量)構(gòu)建向量法，這樣的教學(xué)不禁讓學(xué)生產(chǎn)生疑問：如何想到構(gòu)建向量來證明？這個(gè)作高(或垂直向量)是如何想到的？教師如果在教學(xué)中不引導(dǎo)學(xué)生去思考這兩個(gè)問題，那么在沒有向量的情境中，學(xué)生會(huì)對(duì)引出向量進(jìn)行證明感到無助，從而對(duì)向量作為工具會(huì)敬而遠(yuǎn)之.

1.3 缺少對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的認(rèn)識(shí)，使得對(duì)外接圓引入突兀

正弦定理最先提出和證明的是阿拉伯學(xué)者瓦法，他提出的是球面三角形的正弦定理，隨后，圖西在此基礎(chǔ)上證明了平面三角形的正弦定理.此后，數(shù)學(xué)家們對(duì)正弦定理的證明不斷地研究，但都沒有脫離圓.直到1748年，歐拉在其代表作《無窮小分析引論》中指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”這樣的三角函數(shù)定義，讓三角函數(shù)脫離了圓中的弧，而直接變成了兩個(gè)線段的比值，從而大大簡(jiǎn)化了正弦定理的證明，同時(shí)，它也脫離了三角形的外接圓[2].我們?cè)诟惺苷叶ɡ砗?jiǎn)潔美的同時(shí)，也失去了正弦定理的完整形式，即無法感受三角形的邊長(zhǎng)與對(duì)角正弦值之比與外接圓之間的關(guān)系.

這樣的數(shù)學(xué)發(fā)展史，給教師的教學(xué)帶來了挑戰(zhàn)，有的教師在教學(xué)中，直接給出三角形的外接圓，教學(xué)過程顯得突兀.如何正確、有效地在教學(xué)中提出三角形的外接圓，讓學(xué)生感受、理解三角形的外接圓在正弦定理中的作用，運(yùn)用三角形的外接圓來證明三角形的正弦定理等都是本節(jié)課需要解決的教學(xué)難題.

2 實(shí)踐

筆者根據(jù)以上教學(xué)現(xiàn)狀分析的不足之處，仔細(xì)研究教材，推敲同行對(duì)于這節(jié)課內(nèi)容的研究成果，本著“以學(xué)生的認(rèn)知為基礎(chǔ)，注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”的原則，精心設(shè)計(jì)了“正弦定理”這節(jié)內(nèi)容，供讀者討論.

圖1

2.1 創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)動(dòng)機(jī)

例1如圖1所示，一艘船從港口B航行到港口C，航行前用測(cè)距儀測(cè)得BC的距離是600 m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行.因?yàn)樾枰?，必須測(cè)量AB之間的距離，但出發(fā)時(shí)，只攜帶了測(cè)角儀，沒有攜帶測(cè)距儀，測(cè)得∠BAC=75°，∠ACB=45°，我們能不能算出A,B兩點(diǎn)間的距離[3].

首先，由題意可抽象為一個(gè)解三角形問題，即：在△ABC中，已知BC=600，∠BAC=75°，∠ACB=45°，求AB的長(zhǎng).

問題1由已知條件，能不能唯一確定三角形(提出三角形的6個(gè)基本量)？

問題2如何求出AB的長(zhǎng).

引導(dǎo)學(xué)生從量的角度來觀察三角形.

師：我們以前學(xué)習(xí)過三角形哪些量之間的關(guān)系？邊角之間“量的關(guān)系”有哪些？除了這些關(guān)系還有哪些呢？

(引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)一種解決問題的基本思路，即從特殊的直角三角形出發(fā)，從特殊到一般來探究問題.)

師：這兩個(gè)式子有什么樣的聯(lián)系呢？

在任意三角形中，是否仍有這樣的關(guān)系成立呢？如果有，如何進(jìn)行證明呢？

2.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),激發(fā)求知欲

師：我們可以利用幾何畫板軟件對(duì)任意三角形中的結(jié)果進(jìn)行演示(過程略).

2.3 證明猜想，得到定理

(把學(xué)生分成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論，再請(qǐng)小組代表進(jìn)行發(fā)言.)

師：我們請(qǐng)一個(gè)小組的代表進(jìn)行發(fā)言.

圖2 圖3

AD=AB·sinB，

AD=AC·sinC,

從而

AB·sinB=AC·sinC，

亦即

csinB=bsinC，

(1)

再選擇另一頂點(diǎn)B，作其邊AC上的高，可得

asinC=csinA，

(2)

由式(1)和式(2)可得

師：很好！我們?cè)谌我馊切沃袠?gòu)建了直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中尋找數(shù)量關(guān)系.是不是所有的情況都討論到了呢？

生2(思考一會(huì)兒)：還有鈍角三角形沒有討論.

師：鈍角三角形的情況是怎樣的呢？試試看.

圖4

學(xué)生在教師的鼓勵(lì)下，迅速動(dòng)手解決問題.

AD=AB·sinB，

AD=AC·sin(π-C)，

亦即

AD=AC·sinC,

故

AB·sinB=AC·sinC，

亦即

csinB=bsinC,

接下來的證明，同銳角三角形的情形.

綜上所述，在任意△ABC中，都有

師：非常好!這正是三角形6個(gè)基本量之間的一個(gè)關(guān)系，也是三角形的一個(gè)代數(shù)描述.

設(shè)計(jì)立意從真實(shí)問題情境中引出數(shù)學(xué)問題.為了解決任意三角形的邊角關(guān)系問題，引導(dǎo)學(xué)生從直角三角形入手進(jìn)行探究，把直角三角形的邊角關(guān)系結(jié)論進(jìn)行合理遷移，作為任意三角形可能出現(xiàn)的結(jié)論.在證明正弦定理的過程中，讓學(xué)生感受從特殊到一般、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

師：如何證明這個(gè)猜想呢？

圖5 圖6 圖7

教學(xué)實(shí)施

師：對(duì)于圓的研究，不能脫離圓心和半徑.既然要尋找直徑與三角形的關(guān)系，是不是可以考慮畫出一條直徑？這條直徑怎樣畫？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，易得到圖5.

在教師的引導(dǎo)下，很快得到了圖6.

亦即

又∠BB′A=∠C，故對(duì)于銳角△ABC，有

即

故

師：證明到此結(jié)束了嗎？

引導(dǎo)學(xué)生再繼續(xù)思考鈍角三角形的情形(過程略).

師：可見，有了三角形的外接圓以后，證明變得容易上手.其實(shí)，在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程中，正弦、三角形一直和圓有著密不可分的關(guān)系.

(此時(shí)，教師PPT展示有關(guān)正弦及正弦定理歷史上的幾次發(fā)展節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生感受圓對(duì)于三角函數(shù)及三角形的重要性.)

師：以后我們?cè)倏紤]證明相關(guān)內(nèi)容時(shí)，也可以考慮直接添加三角形的外接圓作為解決問題的輔助圓.

設(shè)計(jì)立意三角形外接圓的引入是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，接觸過一些三角形與三角形外接圓的關(guān)系，但是沒有兩者緊密聯(lián)系解決問題的體驗(yàn).教師通過引導(dǎo)把復(fù)雜問題追根溯源，退到熟悉的情境中解決問題，再考慮把解決方法進(jìn)行類比，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸”思想.在解決問題的過程中，讓學(xué)生感受到圓對(duì)于解決三角形問題的重要性，再通過數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生再次感受、明確了兩者之間的重要關(guān)系.給學(xué)生解決此類問題指明了一個(gè)思考方向，即“化斜為直”、構(gòu)建“外接圓”.

師：我們?cè)谘芯窟^程中，用了兩種方法證明了正弦定理.還有沒有其他方法呢？通過觀察正弦定理的形式，發(fā)現(xiàn)正弦定理其實(shí)是實(shí)數(shù)與正弦之間的關(guān)系式，那我們剛學(xué)過的實(shí)數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系形式是什么呢？

生4：向量的數(shù)量積.

圖8

故

師(教師板書)：請(qǐng)同學(xué)們寫一寫證明的過程.

圖9

師：鈍角三角形中又如何解決呢？

生6：如圖9，不妨設(shè)C為鈍角，作邊BC上的高AD，則

即

于是

bcos∠CAD=ccos∠BAD，

即

故

bsinC=csinB，

即

師：向量法證明正弦定理的切入視角即為定理式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，它讓我們聯(lián)想到了向量的數(shù)量積.

圖10

生7：三角形的高.

師：怎么說？

生8：以銳角三角形為例，在證法1中，AD=csinB，同時(shí)AD=bsinC，即csinB=bsinC，從而

同理可得

于是

證法3其實(shí)是分別把三角形各邊上的高“算兩次”并化簡(jiǎn)整理的結(jié)果.

師：也就是說，把三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化成了三角形的高.那么，三角形的高讓我們想到了三角形的什么？

生9：三角形的面積.

師：那我們能不能從三角形面積的角度來證明這個(gè)定理呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生分別討論了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中的情況(過程略).

設(shè)計(jì)立意利用等面積法證明正弦定理，方法簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美，但是“證明方法是怎么想到的，與前面的證明方法有什么樣的關(guān)系，如何才能讓學(xué)生在舉一反三的解題活動(dòng)中自覺使用面積法證明相關(guān)問題”是教學(xué)中的難點(diǎn).同時(shí)，這種方法的提出也是對(duì)本節(jié)課所授證明方法的一個(gè)全面回顧，在發(fā)現(xiàn)“高”的作用后，進(jìn)行再思考、再探究的結(jié)果，也讓學(xué)生感受到了解后反思的重要性.

2.4 利用定理,解決例題

師：現(xiàn)在我們可以用正弦定理解決情境中的問題了嗎？

學(xué)生自主得到：在△ABC中

B=180°-A-C=60°，

2.5 對(duì)正弦定理的再認(rèn)識(shí)

師：一般情況下，我們把三角形的3個(gè)角A,B,C以及它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素；已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程，叫做解三角形.那么正弦定理可以解決哪些解三角形的問題呢？請(qǐng)舉例說明.

在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生根據(jù)定理中量與量的關(guān)系，有針對(duì)性地命制解三角形的問題，并能用正弦定理得到解決.

教師引導(dǎo)學(xué)生從解方程的視角來看正弦定理的解題功能.

學(xué)生主動(dòng)總結(jié)正弦定理的適用范圍：1)已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角；2)已知兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

設(shè)計(jì)立意對(duì)于正弦定理的適用范圍，教師并沒有把例題直接呈現(xiàn)到學(xué)生面前，而是發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，通過“正弦定理可以解決哪些解三角形的問題呢”這樣一個(gè)問題，讓學(xué)生根據(jù)對(duì)定理的理解，主動(dòng)出題，并解決問題，進(jìn)一步提高了學(xué)生對(duì)正弦定理的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)了愉悅，獲得了動(dòng)力，并取得了研究的成果.

2.6 課堂回顧與小結(jié)(略)

3 關(guān)于這節(jié)課的幾點(diǎn)思考

3.1 以教材為重要參考，以學(xué)生以主體，重新構(gòu)建探究過程

教材是按照國(guó)家課程實(shí)施的基本理念和要求進(jìn)行編寫的，是教師實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)以及實(shí)施教學(xué)的重要參考.教師在課前必須認(rèn)真鉆研教材，體會(huì)教材設(shè)計(jì)的特點(diǎn)和編寫者的編寫意圖.但教材不是“劇本”，教師要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)教材進(jìn)行重組，這就要求教師對(duì)教材有全局把握，思考教材要教給學(xué)生什么，并在教學(xué)中理清教學(xué)思路，從而有針對(duì)性地選取最優(yōu)的教學(xué)方案.

3.2 以體系為依托，通過對(duì)正弦定理證明的探究，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“前后一致、邏輯連貫”的探究基本思路

對(duì)三角形的研究，學(xué)生經(jīng)歷了“從小學(xué)的認(rèn)識(shí)什么是三角形，到初中對(duì)三角形角與角的數(shù)量關(guān)系、邊與邊的數(shù)量關(guān)系以及三角形邊角之間關(guān)系的研究”這樣一個(gè)過程.其中“如何把這些實(shí)例呈現(xiàn)給學(xué)生，如何把零散的性質(zhì)變成體系的存在，以什么樣的視角來研究三角形”都需要學(xué)生有一定的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光.

本節(jié)課中，教師沿著學(xué)生的基本認(rèn)知，遵從學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從生活中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)問題以后，能主動(dòng)回到直角三角形中，對(duì)直角三角形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，研究的思想仍然是沿襲了初中研究三角形的基本思想.可以說，本節(jié)課不僅僅是正弦定理證明方法的探究，更是研究三角形方法的再應(yīng)用、再探究、再發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生態(tài)教學(xué).

3.3 以知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程為依據(jù)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)史的教學(xué)力度，從而增加探究的新視角

任何事物的發(fā)生與發(fā)展都離不開歷史，只有了解歷史，才能了解其來龍去脈，才能抓住其根本.華羅庚教授也說過：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竊.三角函數(shù)素有圓函數(shù)之稱，在正弦定理的證明過程中，學(xué)生為什么無法添加外接圓，原因就是在以往的教學(xué)中，教師更注重知識(shí)的教授，忽視了三角函數(shù)發(fā)展史的教學(xué)，使得學(xué)生對(duì)構(gòu)建三角形的外接圓的認(rèn)知產(chǎn)生了困難.

3.4 利用正弦定理的多種證法，使學(xué)生感受從不同的角度觀察問題的重要性，凸顯定理探究的教學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，不僅僅是學(xué)習(xí)前的準(zhǔn)備、學(xué)習(xí)中的思考，還有學(xué)習(xí)后的反思.在本節(jié)內(nèi)容中，教材呈現(xiàn)了多種方法對(duì)正弦定理進(jìn)行證明，而我們知道正弦定理的證明方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止教材所列舉的這幾種，那么教材為什么會(huì)選取這幾種呢？這都是教師在備課過程中所必須要考慮的.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).在本節(jié)課的教學(xué)過程中，教師牢牢抓住一個(gè)核心(即“轉(zhuǎn)化為直角或構(gòu)造直角”).把任意三角形問題化歸到直角三角形的過程中，鍛煉了學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力；引導(dǎo)學(xué)生添加三角形的外接圓，使學(xué)生的直觀想象能力得到了提高；而在利用向量法的證明過程中，教師對(duì)定理的形式進(jìn)行再認(rèn)知，逐步推演出向量法證明的可行性，使學(xué)生再一次切身感受到了數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析對(duì)于數(shù)學(xué)的重要性[5].

4 結(jié)束語

探究教學(xué)是一種生長(zhǎng)教學(xué).在教學(xué)中，教師要努力以學(xué)生的認(rèn)知為基礎(chǔ)，做好教學(xué)的先行者，從整體上把握教學(xué)思路，研究教學(xué)方法，把探究的權(quán)力還給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，主動(dòng)形成自己的探究視角，真正成為探究課堂的主人，從而自主構(gòu)建合理有效的探究活動(dòng).