生遇困境獨難支 微專助力信心升*
——一類含絕對值二次型函數(shù)微專題的開發(fā)和實踐

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(寧波市第二中學(xué)，浙江 寧波 315010)

1 專題背景

2019屆高三一輪復(fù)習(xí)大幕已經(jīng)拉開，各校都進入了緊張有序的復(fù)習(xí)模式.筆者所在學(xué)校于8月下旬開始函數(shù)一輪復(fù)習(xí)，在復(fù)習(xí)完二次函數(shù)和冪函數(shù)一節(jié)后布置《2019屆數(shù)學(xué)全品一輪》課時作業(yè)(七)作為課后作業(yè).第二天筆者在批改作業(yè)時發(fā)現(xiàn)最后一題基本上沒有學(xué)生做對，很多學(xué)生都以空白形式呈現(xiàn).為了方便說明，現(xiàn)將問題摘錄如下：

例1設(shè)f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|，若f(x)在[-2,1]上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______.

(《2019屆數(shù)學(xué)全品一輪》第13頁第16題)

2 學(xué)情分析

2.1 學(xué)生已有認知

會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，會去絕對值將原函數(shù)化為分段函數(shù).

2.2 學(xué)生思維障礙

缺少畫出f(x)圖像的意識，對圖像在分界點處的形態(tài)不清晰，找不到分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，不會討論或討論不全.

3 教學(xué)目標(biāo)

1)能熟練畫出此類含絕對值二次型函數(shù)的圖像；

2)會對二次函數(shù)對稱軸和界點及區(qū)間端點進行分類討論；

3)對已知最值盡可能先縮小參數(shù)范圍，從而簡化或避免討論.

4 教學(xué)設(shè)計

元認知是20世紀(jì)70年代由弗拉維爾提出的概念，就是個體關(guān)于自己的認知過程的知識和調(diào)節(jié)這些過程的能力.元認知策略是基于學(xué)生對自己的認知過程及結(jié)果的有效監(jiān)視及控制的策略，包括計劃策略、監(jiān)控策略和調(diào)節(jié)策略.

基于對元認知策略的認識及學(xué)生學(xué)情和教學(xué)目標(biāo)，我們將此塊內(nèi)容設(shè)計成如下微專題.

微專題片段1

例2設(shè)f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|.

1)求f(x)的最小值；

2)若f(x)在[-2,1]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

(《2019屆數(shù)學(xué)全品一輪》第13頁第16題改編)

圖1

畫出函數(shù)圖像如圖1所示，則

當(dāng)a=0時，f(x)min=0.

2)由圖像可得

從而

例3設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,其中x∈R,求函數(shù)f(x)的最小值．

圖2

畫出函數(shù)圖像如圖2所示，則

例4已知函數(shù)f(x)=x2+(x-1)|x-a|，若不等式f(x)≥2x-3對一切實數(shù)x∈R恒成立，求a的取值范圍．

圖3

解設(shè)

于是

-3≤a≤5.

設(shè)計意圖最值是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，例2增加第1)小題旨在回顧求函數(shù)(特別是分段函數(shù))最值的方法，引導(dǎo)學(xué)生利用圖像法求解；通過此小題的求解,適時總結(jié)畫圖的具體步驟，同時為第2)小題的順利解決奠定基礎(chǔ).例3是認知計劃的即時應(yīng)用，適當(dāng)增加了分段的類型，考查學(xué)生認知的自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)策略,即發(fā)現(xiàn)問題及時采取不同分類討論的情形.通過例4強化認知監(jiān)控策略，即根據(jù)函數(shù)目標(biāo)的構(gòu)造反饋認知活動中的結(jié)果和不足，同時依據(jù)解題的有效性評價函數(shù)構(gòu)造的效果，并進一步強化方法的靈活應(yīng)用.

微專題片段2

例5設(shè)f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|.

1)求f(x)的最小值；

2)求f(x)在[-1,1]上的最小值.

圖4

1)同例2第1)小題(略).

2)解如圖4，根據(jù)對稱軸位置(極值點)與區(qū)間左端點-1展開討論，易得：

當(dāng)a≤-2時，f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增，故

f(x)min=f(-1)=-2a2-a+3；

f(x)min=f(-1)=-2a2-3a+1.

例6[1]設(shè)a∈R,求函數(shù)f(x)=x|x-a|在[-2,2]上的最大值.

圖5

f(x)max=f(2)=2a-4；

若0

當(dāng)a≤0時，

f(x)max=f(2)=4-2a.

例7已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2，則t=______．

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

解法1設(shè)f(x)=|x2-2x-t|,當(dāng)Δ≤0,即t≤-1時，

f(x)max=f(3)=2,

不合題意；

當(dāng)Δ>0，即t>-1時，

f(x)max= max{f(1),f(3)}=

max{|-1-t|,|3-t|}=2,

得

t=1.

解法2由圖形易得

f(x)max= max{f(1),f(3)}=

max{|-1-t|,|3-t|}=2,

得

t=1.

解法3設(shè)m=x2-2x∈[-1,3]，則

y=|m-t|，

從而

ymax=max{|-1-t|,|3-t|}=2,

得

t=1.

例8已知a>0,函數(shù)f(x)=|x2+|x-a|-3|在[-1,1]上的最大值為2，則a=______.

(2017年浙江省紹興市數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試第17題)

解由f(0)≤2,得||a|-3|≤2，從而

1≤|a|≤5(其中a>0)，

于是

1≤a≤5，

此時

f(x)=|x2-x+a-3|，

故

設(shè)計意圖通過例5的第1)小題再次鞏固已有的認知水平，第2)小題通過引入?yún)^(qū)間增加分類討論的類型，此時僅考慮對稱軸(極值點)與一個端點的位置即可，不必考慮端點和分界點的大小.由此總結(jié)畫圖的基本步驟是先去絕對值化為分段函數(shù)，明確圖像在分界點連續(xù)情況的基礎(chǔ)上展開分類討論，即對對稱軸(極值點)、分界點以及區(qū)間端點進行大小討論.具體操作是先對極值點和分界點大小展開第一次分類討論，即先畫對稱軸，再標(biāo)分界點截取圖像，之后再對區(qū)間位置展開第二次分類討論.例6通過改變最值類型加大分類討論的難度，進一步強化認知監(jiān)控策略和調(diào)節(jié)策略.例7引入高考真題以檢驗學(xué)生的解題能力，問題類型有別但解題方法相同.例8滲透小題小做的解題策略，由必要性先縮小a的范圍從而去掉絕對值，避免了分類討論，大大提高了解題效率.

5 教學(xué)效果

通過微專題片段1的教學(xué)，學(xué)生基本掌握了含絕對值二次型函數(shù)的圖像特點，作業(yè)整體效果較好，達到課前的教學(xué)目標(biāo).基礎(chǔ)較差的學(xué)生也能較好掌握這類函數(shù)在定義域R上的畫圖步驟，能有意識地利用圖像解決相關(guān)的函數(shù)問題.通過微專題片段2的教學(xué)，學(xué)生進一步了解了一般分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，即極值點、分界點及區(qū)間端點大小討論，通過程序化的操作步驟降低了分類討論的難度.

筆者在微專題課堂教學(xué)后與學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對微專題的教學(xué)形式表示歡迎和認可，理由是通過微專題學(xué)習(xí)讓其對一類問題有了通法上的感受和領(lǐng)悟，從原來對這類函數(shù)問題心存畏懼到內(nèi)心上不害怕，解題策略上有章法，極大地提高了解題的自信心和期望值.但少部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生仍然存在著討論的盲目性，需要進一步強化方法的梳理和理解.

6 教學(xué)反思

高考復(fù)習(xí)的目標(biāo)其一是幫助學(xué)生構(gòu)建有序和完善的知識結(jié)構(gòu)，提煉方法體系；其二是演練高考(模擬)試題，提高應(yīng)戰(zhàn)能力；其三是暴露教與學(xué)問題以及時調(diào)整復(fù)習(xí)策略.通過及時發(fā)現(xiàn)問題、搜集相關(guān)微專題素材進行專題突破應(yīng)是高考復(fù)習(xí)中的必要手段.教師要具有善于發(fā)現(xiàn)和整合教學(xué)資源的能力，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情和考情等及時開發(fā)微專題，靈活適度地穿插于不同的教學(xué)情境之中.學(xué)生存在的知識盲點與易錯點、某種類型中方法能力的薄弱點、疑難問題中的困惑點和學(xué)生素養(yǎng)培育中的思維拐點都是微專題生成的“再生資源”[2].

微專題作為一種小切口教學(xué)方法具有微而靈活、微而知著和微而深入等特點，以“小專題、大視野”的格局來優(yōu)化課堂教學(xué)，正是由于微專題小巧靈活、主題鮮明，屬于學(xué)生的個性化“私人訂制”，我們有理由相信這樣的專題教學(xué)是深入和高效的，是學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的深入延展，更是學(xué)生思維品質(zhì)不斷優(yōu)化的重要抓手.