試論數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解與教學(xué)*

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(蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311202)

2016年3月，教育部《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)(征求意見稿)》出臺(tái)，從文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展和社會(huì)參與三大方面提出了中國學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)，而后各學(xué)科核心素養(yǎng)陸續(xù)提出.隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的頒布，明確提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，這6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)力圖從根本上體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算，在任何時(shí)期的數(shù)學(xué)育人目標(biāo)中都占有重要地位，它有助于我們借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；有助于促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣；有助于形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

數(shù)學(xué)運(yùn)算如此重要，但一線教師在教學(xué)中對(duì)其理解和教授似乎也存在諸多問題，諸如：1)理解運(yùn)算概念狹隘——提到運(yùn)算，很多教師立馬聯(lián)想到的是解析幾何里繁雜的計(jì)算等；2)運(yùn)算教學(xué)結(jié)構(gòu)不清晰——因?yàn)閷?duì)運(yùn)算概念的理解不深刻，所以在面臨運(yùn)算教學(xué)時(shí)，運(yùn)算教學(xué)開展脈絡(luò)模糊；3)缺少提高運(yùn)算素養(yǎng)的辦法——如何能促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升，很多教師缺乏足夠的理論認(rèn)識(shí)，也缺少長久的有效機(jī)制建構(gòu)辦法，等等.如此，很多學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的理解也往往只停留在“計(jì)算”的認(rèn)識(shí)層面，不了解諸多豐富的運(yùn)算概念、不知曉運(yùn)算的建構(gòu)、缺乏運(yùn)算有效應(yīng)用的品質(zhì)等.針對(duì)上述問題，筆者試圖談?wù)勥\(yùn)算的理解與如何從理解的角度開展運(yùn)算教學(xué).

1 數(shù)學(xué)運(yùn)算的概念

數(shù)學(xué)運(yùn)算，在數(shù)學(xué)上是一種程序性行為，按照一定的邏輯建立起一定的規(guī)則，實(shí)現(xiàn)已知量到新建量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其本質(zhì)是集合之間的映射.一般而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算指代數(shù)運(yùn)算，在高中學(xué)習(xí)階段，特別指二元運(yùn)算和一元運(yùn)算，其中二元運(yùn)算指由兩個(gè)元素形成第三個(gè)元素的一種規(guī)則，一元運(yùn)算指通過特殊“算子”實(shí)現(xiàn)元素到元素的對(duì)應(yīng)，如絕對(duì)值、積分等.

數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)反映的是集合之間元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如對(duì)于集合S中的一對(duì)按次序取出的元素a,b，集合S中有唯一確定的第三個(gè)元素c和它們對(duì)應(yīng)，叫做集合S中定義了一種二元運(yùn)算.例如，算術(shù)中的加法1+2=3，這里1和2是輸入，3是結(jié)果，而“+”表明這是一個(gè)加法運(yùn)算，這便是一個(gè)常見的二元運(yùn)算，本質(zhì)上是A×B→C形式的映射，這里的S可以為有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R等.當(dāng)然，有時(shí)也可以是從集合S依次取出a,b，對(duì)應(yīng)另一個(gè)集合T中的元素c，如平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正是從平面向量集合中任取兩個(gè)向量a,b，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)集中的元素c，即有a·b=c.

2 運(yùn)算素養(yǎng)與其他素養(yǎng)的關(guān)系

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含6個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).不同核心素養(yǎng)在內(nèi)涵和外延上具有獨(dú)立性，在邏輯上構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體，在教學(xué)中，這些核心素養(yǎng)不是孤立的，它們是緊密相關(guān)的.我們自然會(huì)思考：數(shù)學(xué)運(yùn)算與其他核心素養(yǎng)存在怎樣的關(guān)系？數(shù)學(xué)運(yùn)算本身反映的是集合之間元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但從其建構(gòu)、表征、操作、應(yīng)用等方面可找到它與其他核心素養(yǎng)的聯(lián)系(如圖1所示)，通過數(shù)學(xué)抽象實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算概念體系的建構(gòu)，通過直觀想象等方式實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的多元表征，通過邏輯推理實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程操作，最后實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算到建模和統(tǒng)計(jì)等方面的應(yīng)用.這也體現(xiàn)了當(dāng)以數(shù)學(xué)運(yùn)算為研究中心時(shí)，其他素養(yǎng)與它之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，對(duì)于我們更好地開展數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)也有十分重要的啟示.

圖1

3 數(shù)學(xué)運(yùn)算的機(jī)制

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”包含算理、算法、算力.“算理”是運(yùn)算的道理，即解決為什么能這樣算的問題；“算法”是運(yùn)算的方法，即解決怎樣算的問題；“算力”是指開展運(yùn)算的能力，即具體落實(shí)運(yùn)算的過程，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算目標(biāo).他們相輔相成，構(gòu)成一個(gè)運(yùn)算的整體.在實(shí)際中，完成一項(xiàng)運(yùn)算包含4個(gè)方面：理解運(yùn)算意義、構(gòu)建運(yùn)算框架、實(shí)施運(yùn)算過程、檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果.

3.1 理解運(yùn)算意義

理解運(yùn)算意義，指理解運(yùn)算提出的背景、運(yùn)算的建構(gòu)、運(yùn)算的構(gòu)成和運(yùn)算的應(yīng)用等.運(yùn)算一定意義上實(shí)現(xiàn)的是問題解決，即利用已知量探索未知量，通過運(yùn)算架起兩者聯(lián)系.而要利用運(yùn)算解決問題，首先是要正確理解運(yùn)算的意義.正如，當(dāng)我們?cè)谶\(yùn)用空間向量數(shù)量積解決立體幾何中的夾角與距離問題時(shí)，必須建立在對(duì)空間向量數(shù)量積理解的基礎(chǔ)之上，知曉數(shù)量積運(yùn)算的一系列運(yùn)算法則，方此才能有效應(yīng)用.

3.2 構(gòu)建運(yùn)算框架

構(gòu)建運(yùn)算框架，指的是對(duì)題意的分析，特別是分析已知與未知的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化化歸等方法大致構(gòu)建問題解決的路徑，以及大致列舉需要構(gòu)建的等式或不等式等.它是解題構(gòu)思的過程，是解題者心中的一幅解題藍(lán)圖，為進(jìn)一步的運(yùn)算作好鋪墊.

3.3 實(shí)施運(yùn)算過程

實(shí)施運(yùn)算過程，指的是建立運(yùn)算框架之后開展的運(yùn)算操作，它是對(duì)運(yùn)算框架的細(xì)化和實(shí)施，也是運(yùn)算過程的核心.利用條件構(gòu)建等式或不等式，或由已知走向未知，步步逼近，或執(zhí)果索因，逆向分析推導(dǎo).運(yùn)算，既是一項(xiàng)內(nèi)在的思維活動(dòng)，又是一項(xiàng)外在的思維表達(dá)行為，思維基于對(duì)運(yùn)算概念的理解，運(yùn)用運(yùn)算的規(guī)則體系，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的邏輯推理，又以數(shù)學(xué)語言的方式通過書寫表達(dá)出來，故正確的推理與正確的表達(dá)是實(shí)現(xiàn)正確運(yùn)算的必要條件.

3.4 檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果

檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果，指的是對(duì)運(yùn)算結(jié)果的檢查與反思，一方面我們要考慮是否漏解或多解，另一方面可以考慮將值代入檢驗(yàn)是否符合題意.這也是在考查解題者的思維品質(zhì)是否完備，在檢驗(yàn)中如果代入成立，那么答案正確的可能性就極高，反之說明計(jì)算存在問題.檢驗(yàn)意味著對(duì)運(yùn)算結(jié)果的修正，也體現(xiàn)了解題者思維的縝密性.

4 數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解教學(xué)

4.1 理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的概念

概念是思維的細(xì)胞，概念是邏輯推理的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)思維活動(dòng)以概念為基礎(chǔ)，運(yùn)用概念間的關(guān)系進(jìn)行推理.數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解教學(xué)，首先是要幫助學(xué)生理解概念本質(zhì).只有理解運(yùn)算所表達(dá)的意義，才能有效建構(gòu)運(yùn)算法則，有效開展運(yùn)算應(yīng)用，因此理解運(yùn)算概念是運(yùn)算應(yīng)用的基礎(chǔ).比如，在“對(duì)數(shù)”概念建構(gòu)中，筆者正是抓住“對(duì)數(shù)到底表達(dá)了什么”這一核心問題開展教學(xué).

4.2 理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象

要正確理解運(yùn)算，其次是要幫助學(xué)生正確理解運(yùn)算對(duì)象.對(duì)高中生而言，運(yùn)算的認(rèn)知起點(diǎn)是以實(shí)數(shù)為對(duì)象的運(yùn)算體系，我們以此為中心嘗試建構(gòu)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象體系.比如指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算等，便是作為兩類特殊的實(shí)數(shù)形式存在的運(yùn)算關(guān)系；而隨著系數(shù)的擴(kuò)充發(fā)展，我們會(huì)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算；進(jìn)一步，我們將角擴(kuò)展到任意角且引進(jìn)弧度制，使角和實(shí)數(shù)實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)，從而發(fā)展到實(shí)數(shù)的三角運(yùn)算問題；同時(shí)，平面(空間)幾何，通過坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)平面(空間)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算問題，即我們常說的解析幾何問題；同樣，平面(空間)向量也可通過坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式，即轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算.從這個(gè)角度看，高中階段的運(yùn)算還是以實(shí)數(shù)運(yùn)算為核心.并且，我們還豐富了研究對(duì)象，比如集合運(yùn)算、命題運(yùn)算、函數(shù)的極限、求導(dǎo)與積分運(yùn)算等等.當(dāng)然，數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象還包括很多，通過圖2筆者想說明的是運(yùn)算教學(xué)要抓住核心概念、抓住運(yùn)算對(duì)象之間的聯(lián)系.

圖2

4.3 理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的體系

一個(gè)運(yùn)算，往往伴隨著幾個(gè)相關(guān)運(yùn)算.如在我們常見的實(shí)數(shù)運(yùn)算中，由加法引申出了它的逆運(yùn)算——減法，并為了簡化運(yùn)算引申出了乘法，由乘法進(jìn)一步引申出其逆運(yùn)算——除法，等等.從本質(zhì)上看，加法a+b=c是已知a，b得c的過程，而減法是已知a，c得b的過程，即有c-a=b，這便是一個(gè)互逆的過程.

一個(gè)運(yùn)算，往往會(huì)研究其相關(guān)運(yùn)算法則，因?yàn)橄嚓P(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，能簡化我們的運(yùn)算，提升我們的運(yùn)算速度，使運(yùn)算有更多的方法和捷徑可尋.一般地，運(yùn)算律往往有交換律、結(jié)合律、分配律等.如在學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積運(yùn)算后，我們會(huì)嘗試探究平面向量數(shù)量積的交換律、數(shù)乘結(jié)合律，以及加乘分配律等，事實(shí)上，經(jīng)過定義探索后有：a·b=b·a,λ(a·b)=(λa)·b,(a+b)·c=a·c+b·c,且一般地(a·b)·c≠a·(b·c)，而其證明既可以用數(shù)量積概念證明，也可借助數(shù)量積的幾何意義證明.

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)有指導(dǎo)的再創(chuàng)造過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生的再創(chuàng)造.數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)是有線索可以尋找的，是有一定邏輯的，我們要基于此培養(yǎng)學(xué)生這種數(shù)學(xué)直覺，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生建構(gòu)運(yùn)算的過程，努力挖掘創(chuàng)新點(diǎn)，給學(xué)生提供充分的再創(chuàng)造機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)的構(gòu)建，也是培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維的一個(gè)過程，因?yàn)橐粋€(gè)運(yùn)算總伴隨著幾個(gè)相關(guān)運(yùn)算，一個(gè)運(yùn)算往往會(huì)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，系統(tǒng)思維的培養(yǎng)有助于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)路徑.

4.4 類比學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的運(yùn)算

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，不是知識(shí)的簡單堆砌，它是有聯(lián)系、有邏輯的，教師需要幫助學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)清晰的知識(shí)圖譜.而這其中重要的一點(diǎn)是要用數(shù)學(xué)方法把知識(shí)串起來、連成線、織成網(wǎng).類比正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，運(yùn)用類比可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)也是如此，許多運(yùn)算總是可以借助已有經(jīng)驗(yàn)開展類比學(xué)習(xí)，融入“先行組織者”，同化新運(yùn)算.

例如前面所說的對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)，由“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”(瑞士數(shù)學(xué)家歐拉語)，課堂教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過指數(shù)運(yùn)算類比推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算，為學(xué)生建構(gòu)對(duì)數(shù)運(yùn)算體系找到聯(lián)結(jié)點(diǎn).已知指數(shù)運(yùn)算：2x·2y=2x+y，2x÷2y=2x-y，(2x)y=2xy,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想和推導(dǎo)相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算.

由2x·2y=2x+y，設(shè)2x=M,2y=N，得

x=log2M,y=log2N,

且2x+y=MN,知

x+y=log2MN,

從而

x+y=log2M+log2N=log2MN,

一般地，logaM+logaN=logaMN.

同理，由2x÷2y=2x-y，設(shè)2x=M,2y=N，得

x=log2M,y=log2N,

從而

再則，由(2x)y=2xy，設(shè)2x=M,得

x=log2M,

且My=2ylog2M,知

log2My=ylog2M,

一般地

logaMn=nlogaM.

4.5 理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是具有廣泛的應(yīng)用性，而廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要方面正是運(yùn)算的廣泛應(yīng)用.這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也體現(xiàn)了運(yùn)算的應(yīng)用價(jià)值.事實(shí)上，人們?cè)诮⒁粋€(gè)運(yùn)算時(shí)，最初的動(dòng)機(jī)就是為了“有用”，為了解決一定的問題而建立相應(yīng)的運(yùn)算，再進(jìn)行完善.因此，一個(gè)運(yùn)算的建立，往往具有極強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.

如平面向量數(shù)量積在物理背景上即為力的做功問題，W=F·S=|F|·|S|cosθ.而這在數(shù)學(xué)學(xué)科看來是十分精妙的，數(shù)量積恰好將向量最重要的兩個(gè)元素“長度”和“角度”融合在一起，使得數(shù)量積在數(shù)學(xué)應(yīng)用中具有廣泛的價(jià)值.

圖3 圖4

如圖4建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z)，記點(diǎn)B,C,D到平面α的距離分別為h1,h2,h3，則

從而

故

運(yùn)用向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了幾何度量[1]，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的應(yīng)用價(jià)值.

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)運(yùn)算在數(shù)學(xué)育人目標(biāo)中具有重要的地位和作用.本文從數(shù)學(xué)運(yùn)算的概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與其他素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)運(yùn)算的機(jī)制，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解教學(xué)等方面開展了論述.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，需要教師在教學(xué)中持之以恒地滲透與培養(yǎng)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，是各個(gè)核心素養(yǎng)聯(lián)動(dòng)發(fā)展的過程，它們是一個(gè)有機(jī)整體.如今，當(dāng)新的教育使命擺在我們面前時(shí)，作為一名數(shù)學(xué)教師一定要從培養(yǎng)“全面發(fā)展”的人的角度開展學(xué)科教學(xué)，真正體現(xiàn)學(xué)科教育在育人價(jià)值中的獨(dú)特作用.