淺析類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的運用

摘 要：基于分析類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的運用，本文闡述了類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中運用的意義，以及類比推理法的類型特征，然后分析了類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中運用的有效方法和途徑，即通過借助實物、問題引導(dǎo)及利用相似性三種形式，最后，歸納出類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的運用能夠幫助學(xué)生更加輕松理解數(shù)學(xué)問題，積累豐富的解題經(jīng)驗和方法，確保學(xué)生解題的準(zhǔn)確性，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：類比推理;數(shù)學(xué)解題;運用方法;教學(xué)策略

對于高中階段的學(xué)生來說，解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生正確的解答出一道數(shù)學(xué)問題時，通常都需要耗費很多的時間。通常在整個解題過程中，大部分時間都用來去分析解題的思路，一旦學(xué)生的思路出現(xiàn)偏差，就會直接影響解答的最后結(jié)果。因此，數(shù)學(xué)教師在實際教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生運用類比推理法去進(jìn)行解題，幫助學(xué)生增強(qiáng)解題的效率和準(zhǔn)確性，確保學(xué)生的實際解題水平得到有效的增強(qiáng)。從而，在很大程度上促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)成績的進(jìn)一步提升，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。

一、 類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中運用的意義

類比推理法，就是已知某個事物存在一種屬性，通過推測分析與該事物相似的，其他事物也存在該種屬性，進(jìn)而比較的過程。換句話說，也就是比較不同知識的內(nèi)容，找出其相同點和不同點。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用類比推理解答數(shù)學(xué)問題，對學(xué)生的解題提高了很大的幫助。

首先，學(xué)生應(yīng)用類比推理法解題，可以將零碎的知識整合，構(gòu)建成較為清晰的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生對知識的直觀理解與記憶，促使學(xué)生積累豐富的推理方法和解題經(jīng)驗，并逐漸達(dá)到學(xué)以致用的目的。

其次，由于高中階段的數(shù)學(xué)知識，大部分都具有抽象且復(fù)雜的特點，學(xué)生想要完全掌握是有一定的難度的。而類比推理的應(yīng)用，能夠化抽象為具象，讓學(xué)生更加全面的理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，確保學(xué)生更為準(zhǔn)確的計算出正確答案。從而，類比推理法的運用，不僅能夠充分調(diào)動起學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的興趣和積極性，還可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路，促進(jìn)學(xué)生實際解題效率的增強(qiáng)。

二、 類比推理法的類型特征

（一） 普遍性

對于普遍性的類比推理法來說，可以用于參考依據(jù)對象中，不存在的某種情況，利用其推理出另一個對象，同樣不存在該種情況。或者是，某個參考依據(jù)對象中，存在的某種情況，利用類比推理出另一個對象中，也是存著該種情況。

（二） 個別性

個別性的類比推理，主要是用于某個個別對象，作為參考的依據(jù)，利用該對象推測出其他對象，其中也同樣包含了參考依據(jù)對象中的某種屬性、特點的結(jié)論。

三、 類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中運用的有效方法

（一） 借助實物類比推理

類比推理法，主要是對多項數(shù)學(xué)知識點進(jìn)行比較研究，來確保學(xué)生更加全面的掌握所有數(shù)學(xué)知識點，鍛煉學(xué)生靈活應(yīng)用各個知識點，解決問題的能力?？梢哉f，類比推理法的運用，能夠為學(xué)生拓展各類數(shù)學(xué)知識點的應(yīng)用范圍，有效的保障了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的順利開展，為學(xué)生的解題提供了有力的依據(jù)。因此，數(shù)學(xué)教師可以借助實物，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類推推理。

例如在人教版《空間幾何體的表面積與體積》教學(xué)中。由于這一模塊的知識點較多，學(xué)生無法在短時間內(nèi)全部掌握，對教師的實際教學(xué)質(zhì)量和效果產(chǎn)生了較大的影響。因此，數(shù)學(xué)教師就可以應(yīng)用類比推理，為學(xué)生展示出一些簡單的空間幾何體實物，將復(fù)雜抽象的知識具象化，讓學(xué)生進(jìn)一步展開對幾何體表面積與體積的計算。這樣不僅有效地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)中的一些弊端，還會使學(xué)生在最短的時間內(nèi)，投入到對數(shù)學(xué)問題的分析和探究中，有效地強(qiáng)化了學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識點的記憶，增強(qiáng)學(xué)生解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的效率和水平。從而，學(xué)生不僅深刻地認(rèn)識到了空間幾何體，還可以引導(dǎo)學(xué)生在日常的生活中，對此類的結(jié)構(gòu)和物體進(jìn)行對比，總結(jié)出類比推理的結(jié)果，促使學(xué)生達(dá)到類比推理的學(xué)以致用的目的。

（二） 問題引導(dǎo)類比推理

因為高中數(shù)學(xué)知識點的復(fù)雜性特點，數(shù)學(xué)教師單一的傳統(tǒng)教學(xué)手段，已經(jīng)無法滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，以及教學(xué)的要求。所以，教師在實際解題教學(xué)中，運用類比推理，就可以用數(shù)學(xué)問題作為引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生深度的思考，充分調(diào)動起學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的好奇心和探究欲望，有效地增強(qiáng)了數(shù)學(xué)課堂的活力，讓學(xué)生在良好的數(shù)學(xué)氛圍里，對數(shù)學(xué)問題的解決結(jié)合類比推理，逐漸強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和解題能力。

例如人教版《古典概型》的教學(xué)中。數(shù)學(xué)教師可以提出問題：“古典概型的兩大特點是什么？”“古典概型的計算公式是什么？”等，引導(dǎo)學(xué)生針對某個問題，展開激烈的討論，營造出濃郁的數(shù)學(xué)氣息和氛圍。同時，數(shù)學(xué)教師還可以為學(xué)生展示出相關(guān)的情境，比如：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。或者，借助多媒體這一教學(xué)設(shè)備，呈現(xiàn)出2008年北京奧運會，我國射箭選手的打靶視頻片段，讓學(xué)生嘗試運用古典概型描述。從而，學(xué)生通過類比推理，對不同的知識點進(jìn)行有效的區(qū)分，不僅降低了學(xué)生的實際學(xué)習(xí)難度，還在很大程度上保障了教學(xué)的質(zhì)量。

（三） 利用相似性

類比推理法，實際上就是對兩個數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，探尋出相似的地方，并加以有效的應(yīng)用。而在高中數(shù)學(xué)中，概念或性質(zhì)上的結(jié)構(gòu)相似十分常見。比如，等差和等比數(shù)列，僅是一字之差，所以數(shù)學(xué)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩者的全面分析，找出其差異性，不斷啟發(fā)學(xué)生的思維。

同時，性質(zhì)上的相似，可以幫助學(xué)生更好地舉一反三。同樣是等差和等比數(shù)列，在學(xué)生掌握其結(jié)構(gòu)和概念相似的條件下，可以引入性質(zhì)，讓學(xué)生形成深刻的記憶和充分的理解，根據(jù)類比對象之間的相同和不同點，促使學(xué)生更好地把握一些細(xì)節(jié)問題，在面對解題時，能夠準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)其細(xì)節(jié)信息點。從而，學(xué)生之間將零散的知識點進(jìn)行整理，構(gòu)建相對完整的知識體系，在實際解題中靈活地運用，促進(jìn)學(xué)生解題水平的增強(qiáng)。

四、 類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中運用的途徑

（一） 數(shù)列中的運用

在高中數(shù)學(xué)解題中運用類比推理，數(shù)學(xué)教師就要全面挖掘出各個知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生充分地去展開類比推理，調(diào)動起學(xué)生的探索興趣，讓學(xué)生在解題過程中，能夠發(fā)展數(shù)學(xué)思維和推理能力，使學(xué)生自主分析、思考問題，并進(jìn)行驗證，來得出結(jié)論，逐步掌握類比推理的解題方法。因此，數(shù)學(xué)教師可以針對數(shù)列問題，引導(dǎo)學(xué)生靈活的運用相關(guān)的數(shù)列知識，嘗試解決問題，不斷強(qiáng)化學(xué)生的類比推理運用效率。

例如在人教版《等差數(shù)列》中。例題：如{an}是等差數(shù)列，a1+a3+a5=9，a6=9，求前6項和。解析：∵a1+a3+a5=3a3=9，∴a3=3，因此，3d=a6-a3=6，d=2，所以a1=-1，由此得出，S6=3×（-1+9）=24。

或者，例題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，求a7+a8+a9的結(jié)果。首先，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析，觀察各個下標(biāo)之間的關(guān)系，使學(xué)生知道應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合類比推理法來解題。解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，得知S3、S6-S3、S9-S6成等差數(shù)列，∴9，27，S9-S6成等差關(guān)系，∴S9-S6=45，因而a7+a8+a9=45。

（二） 幾何中的運用

對于學(xué)生的數(shù)學(xué)解題，需要數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生開放的解題思維，能夠充分的借助類比推理，去掌握多種解題方法，積累豐富的解題經(jīng)驗。因此，數(shù)學(xué)教師可以在將類比推理，運用到幾何解題中，讓學(xué)生進(jìn)一步理解相關(guān)知識的概念和公式，并且能夠探尋出更多的學(xué)習(xí)方法，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維，促使學(xué)生逐漸形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。從而，確保學(xué)生更加輕松的面對數(shù)學(xué)問題，不僅有效的改善了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，還為學(xué)生的解題提供了有效的保障。

例如在人教版《圓的方程》教學(xué)中。例題：經(jīng)過P（-2，4）、Q（3，-1）兩點，并且在x軸上截得的弦長為6，求圓的方程。首先分析：由于圓過兩點，可以由兩個代入方程。其次解析：∵線段PQ的垂直平分線為y=x+1，∴圓心C的坐標(biāo)為（a，a+1），半徑r=|PC|=（a+2）2+（a-3）2=2a2-2a+13，而圓心C到x軸的距離為d=|a+1|。因此，通過題意可得，32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2-2a+13，整理后得出a2-4a+3=0，解出解得a=1或a=3。從而，當(dāng)a=1時，圓的方程為（x-1）2+（y-2）2=13;而當(dāng)a=3時，圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=25。綜上可得，所求的圓的方程可以是（x-1）2+（y-2）2=13或（x-3）2+（y-4）2=25。然后，學(xué)生對比分析兩個方程，促使學(xué)生形成良好的解題思路，增強(qiáng)學(xué)生的解題水平和準(zhǔn)確性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升。

五、 結(jié)束語

綜上所述，類比推理在高中數(shù)學(xué)解題中的運用，能夠幫助學(xué)生更加輕松理解數(shù)學(xué)問題，積累豐富的解題經(jīng)驗和方法，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)水平。通過數(shù)學(xué)教師精心設(shè)計的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生借助類比推理，進(jìn)行自主的分析思考，以及驗證，讓學(xué)生將零碎的知識整合，構(gòu)建成較為清晰的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生對知識的直觀理解與記憶，確保學(xué)生更為準(zhǔn)確的計算出正確答案，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了有力的保障，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的進(jìn)一步提升。

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作者簡介：

張繼潤，甘肅省白銀市，甘肅省會寧縣第三中學(xué)。