淺談《高等數(shù)學(xué)》中幾種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

王言英 曹秀娟

摘 ? 要：《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)階段一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，也是后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》不是簡(jiǎn)單的背數(shù)學(xué)公式、解數(shù)學(xué)題，而是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、歸納推理能力，學(xué)會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的一種有效途徑。為了有效地提高學(xué)生的這些能力，本文簡(jiǎn)單介紹了直觀圖表引入法、實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法、數(shù)學(xué)建模案例法、從特殊到一般法等幾種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) ?教學(xué)設(shè)計(jì) ?能力

中圖分類號(hào)：O172.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2019）09（b）-0200-03

Abstract： Advanced Mathematics is not only an important basic course at the university stage， but also the basis of subsequent professional courses. Learning Advanced Mathematics is not a simple way to memorize mathematical formulas and solve mathematical problems， but an effective way to cultivate students' logical thinking ability， inductive reasoning ability and learn to solve practical problems. In order to effectively improve these abilities of students， this paper briefly introduces several kinds of classroom teaching design， such as intuitionistic chart introduction method， practical problem-driven method， mathematical modeling case method， from special method to general method and so on.

Key Words： Higher mathematics; Teaching design; Ability

《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)課程中的一門(mén)重要的通識(shí)必修課，是一門(mén)非常重要又較抽象的課程，不僅是后續(xù)專業(yè)課的基礎(chǔ)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，創(chuàng)新能力等。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，以下幾種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)可以有效地提高學(xué)生以上各方面的能力。

1 ?直觀圖表引入法

在高等數(shù)學(xué)中第二重要極限，這個(gè)極限在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中關(guān)于復(fù)利的計(jì)算、細(xì)胞的繁殖、放射性物質(zhì)的衰變等方面都有很強(qiáng)的應(yīng)用，但是這個(gè)極限很抽象，學(xué)生不易理解。若學(xué)生不能自主探索結(jié)果的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)生靠死記硬背的話，學(xué)生很快會(huì)忘記，并且學(xué)生也沒(méi)有學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的一般思路。怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問(wèn)題呢？本文嘗試采用以下課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.1 通過(guò)計(jì)算，直觀觀察

首先引導(dǎo)學(xué)生利用Excel表格，計(jì)算隨n的變化，并畫(huà)出圖像（見(jiàn)表1），引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的規(guī)律。隨著n的不斷增大，越來(lái)越趨于一個(gè)常數(shù)。

1.2 證明極限存在

利用二項(xiàng)公式

比較可知：

利用極限存在準(zhǔn)則II，知

1728年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首先用e表示這個(gè)極限。e是自然對(duì)數(shù)的底，是一個(gè)無(wú)理數(shù)，其值為2.718281828459045，記為。

1.3 學(xué)以致用

最后，讓同學(xué)利用今天所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題問(wèn)題。問(wèn)題：設(shè)p0為本金，r為收益率，按復(fù)利計(jì)算，t年后的復(fù)利是多少？

為了加深這個(gè)極限的理解，首先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主計(jì)算，直觀觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律;利用推理演繹證明規(guī)律;最后再探討這個(gè)極限的應(yīng)用。通過(guò)這種課堂設(shè)計(jì)，學(xué)生全程參與，是學(xué)習(xí)過(guò)程的主動(dòng)者，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

2 ?實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，也可以通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出要講的知識(shí)，比如，講授“曲率這一節(jié)時(shí)，可以采用如下方式。

2.1 引入案例

案例1：根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，討論火車在軌道行駛時(shí)，道路的彎道應(yīng)如何設(shè)計(jì)？

案例2： 工件內(nèi)孔打磨需要選取合適的砂輪，若砂輪直徑過(guò)小，功效低;若砂輪的直徑過(guò)大，則出現(xiàn)過(guò)磨損的現(xiàn)象。請(qǐng)問(wèn)砂輪的直徑該如何選??？

2.2 講授知識(shí)點(diǎn)

通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引起學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中思考，接著教師引出本節(jié)的主題，曲率的定義和計(jì)算方法（具體內(nèi)容見(jiàn)[1]）。

曲率是描述曲線彎曲程度大小的量。直線沒(méi)有彎曲，K=0;半徑為R的圓，每點(diǎn)的曲率相同。在直角坐標(biāo)系下曲率公式為

2.3 解決實(shí)際問(wèn)題

練習(xí)：我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線， 其中R是圓弧彎道的半徑，l是緩和曲線的長(zhǎng)度，且l R，求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)O（0，0）和處的曲率。

解：

從實(shí)際問(wèn)題中提出問(wèn)題，然后分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，讓學(xué)生在經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力。學(xué)數(shù)學(xué)不再是搞題海戰(zhàn)術(shù)、不是簡(jiǎn)單的背數(shù)學(xué)公式、解數(shù)學(xué)題。

3 ?數(shù)學(xué)建模案例引入

一階線性微分方程是一類非常重要的微分方程，在實(shí)際建模中有很強(qiáng)的應(yīng)用。如何讓學(xué)生理解為什么學(xué)，怎么學(xué)，怎么用的問(wèn)題。在講解知識(shí)以前首先抓住學(xué)生感興趣的問(wèn)題讓學(xué)生思考。

3.1 問(wèn)題提出

（減肥問(wèn)題）設(shè)每天攝入的能量為A，每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量B，每天由于運(yùn)動(dòng)所消耗的能量為R，脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù)為D。求體重隨時(shí)間變化的函數(shù)？

模型的建立：按照能量的平衡原理，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量之差。

設(shè)W（t）∶t時(shí)刻人體的體重，體重隨時(shí)間的變化是連續(xù)的。在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，有

當(dāng)Δt→0時(shí)，得到模型：即

3.2 講授知識(shí)點(diǎn)

從數(shù)學(xué)建模案例中，引出本節(jié)課所要講的知識(shí)點(diǎn)，一階線性微分方程的基本形式及其解法，具體內(nèi)容見(jiàn)[1]。

一階線性微分方程的通解為

3.3 解決案例問(wèn)題

令得到通解為

（C為任意常數(shù)）

若已知t0時(shí)刻人體的體重W（t0），可求出常數(shù)C，可以進(jìn)一步分析。

從學(xué)生感興趣的減肥問(wèn)題入手，引出所要講授知識(shí)，最后又用所學(xué)知識(shí)解決剛才的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了提出問(wèn)題-分析問(wèn)題-解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。

4 ?從特殊到一般法

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有很多的概念是很抽象又很重要的，比如導(dǎo)數(shù)的概念、定積分的概念。比如在導(dǎo)數(shù)的概念這節(jié)時(shí)，可采用教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

4.1 引例

引例1：（變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度）設(shè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它的路程規(guī)律是s=f（t），求在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

解決問(wèn)題的思路：（1）求在時(shí)間段內(nèi)的平均速度

（2）當(dāng)Δt→0時(shí)的極限就是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度

引例2：求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處切線的斜率。

解決問(wèn)題的思路：（1）在曲線y=f（x）上取另一點(diǎn)

先求割線MN的斜率

（2）當(dāng)Δt→0時(shí)的極限就是M點(diǎn)處切線的斜率

4.2 觀察規(guī)律，抽象出概念

由引例1和引例2兩個(gè)特殊問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩者的共性是一種特殊形式的極限，是函數(shù)的增量與自變量增量比的極限。因此拋開(kāi)具體問(wèn)題，從“特殊到一般”抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。

在高等數(shù)學(xué)中這種“從特殊到一般”的思維方法，是很普遍的，再比如在定積分的定義、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的定義中一直應(yīng)用這種思維方式。通過(guò)這種學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)這種解決問(wèn)題的思想，提高自己的歸納總結(jié)能力，推理演繹能力等。

5 ?結(jié)語(yǔ)

教無(wú)定法，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，不再滿堂灌，讓學(xué)生參與到課堂的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。根據(jù)所提出的問(wèn)題主動(dòng)思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的思維方法。這樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)的興趣，變“被動(dòng)學(xué)習(xí)”為“主動(dòng)學(xué)習(xí)”。

參考文獻(xiàn)

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