一束帶電粒子在有界勻強磁場中的運動問題的解題策略探究

摘?要：高中物理核心素養(yǎng)里的科學(xué)思維是物理學(xué)習(xí)的一個重要方面，通過構(gòu)建“一束帶電粒子在勻強磁場中的運動”模型，討論了在直線和圓形邊界兩種磁場中的情況，以此解決一束帶電粒子在磁場上運動的問題并培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：模型構(gòu)建;一束帶電粒子;有界磁場;先整體再局部

一束帶電粒子垂直磁場方向進(jìn)入面積足夠大的勻強磁場中，因為粒子個數(shù)多，所以在勻強磁場中的軌跡是多個完整的圓。這些圓因入射時的速度、入射位置的不同呈現(xiàn)出不同的形態(tài)，但又有一定的幾何規(guī)律。如果我們先建立一束帶電粒子在面積足夠大的磁場中運動的模型，再把這一模型放入面積不是足夠大的有邊界的磁場中，即在完整的軌跡圓上畫符合題意的磁場的邊界，先見整體，再見局部的策略可以有效地解決一束帶電粒子在勻強磁場中的運動問題。

一、?在面積足夠大的勻強磁場中的模型建構(gòu)

一束帶電粒子進(jìn)入磁場中有三個要素：電性、入射點和速度。在帶電粒子的電性已確定的情況下，帶電粒子進(jìn)入磁場中會因入射點、速度方向或速度大小的不同造成以下三種情況：①入射點相同，入射速率相等但速度方向不同。②入射點相同，入射方向相同但速率不等。③入射方向相同，速率相等但入射點不同。

由此可以建構(gòu)三種模型：①帶電粒子的各軌跡圓大小相同且都經(jīng)過入射點，各圓可繞入射點旋轉(zhuǎn)，稱為旋轉(zhuǎn)圓。②帶電粒子的各軌跡圓雖大小不同但都內(nèi)切于入射點，各圓可以入射點為基點進(jìn)行大小的縮放稱為縮放圓。③帶電粒子各軌跡圓大小一樣，各圓可在平面上平移，稱為平移圓。我們把這三種帶電粒子的運動軌跡圓模型稱為“三圓模型”。

在面積足夠大的勻強磁場中建立起來的模型里，軌跡圓都是完整的。如果磁場并非足夠大而是有邊界的，則帶電粒子在磁場中的運動軌跡圓就不是完整的圓，而是一段圓弧。我們先畫完整的圓，再畫磁場的邊界，結(jié)合帶電粒子在磁場中是順時針繞行還是逆時針繞行來確定哪段圓弧是真的軌跡，哪段圓弧只是為了圓的完整性而畫的，從而確定軌跡和磁場邊界的關(guān)系。下面以各地的高考題為例，分磁場邊界是直線的和圓形的兩種情況討論。

二、?“三圓模型”在直線邊界磁場中的應(yīng)用

（一）?旋轉(zhuǎn)圓在直線邊界磁場中的應(yīng)用

【例1】?（2015年四川理綜第7題）如圖1所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長度L=9.1cm，中點O與S間的距離d=4.55cm，MN與SO連線的夾角為θ。板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=2.0×10-4T，電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg，電量e=-1.6×10-19C，不計電子重力。電子源發(fā)射速度v=1.6×106m/s的一個電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長l，則（）

A.?θ=90°時，l=9.1cm

B.?θ=60°時，l=9.1cm

C.?θ=45°時，l=4.55cm

D.?θ=30°時，l=4.55cm

解題策略：此題中電子入射點相同，入射速率相等，方向不同，是旋轉(zhuǎn)圓模型。我們先畫出電子在磁場中的完整的旋轉(zhuǎn)圓，再畫平板。經(jīng)過計算得知軌跡圓的半徑為4.55cm。把電子的軌跡圓繞s點旋轉(zhuǎn)。電子在磁場中做逆時針勻速圓周運動，當(dāng)板豎值即θ=90°電子能打到整個平板上。當(dāng)θ=60°時，打到板的最上端的電子的軌跡圓和板相切，且切點在O點上方。只有當(dāng)θ=30°時電子的軌跡圓和板相切于O點，被電子打中的平板長為ON。所以這題的答案為A、D。此題不僅利用了電子的旋轉(zhuǎn)圓，平板MN也可以繞O點旋轉(zhuǎn)。從θ=90°順時針旋轉(zhuǎn)到θ=30°，從而比較方便的找出和平板相切的圓，充分體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)這種科學(xué)思維。畫旋轉(zhuǎn)圓時可引導(dǎo)學(xué)生借助身邊圓形的物件比如硬幣、鑰匙扣等進(jìn)行旋轉(zhuǎn)畫圓。

（二）?縮放圓在直線邊界場中的應(yīng)用

【例2】?（2011年海南高考物理第10題）空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖2所示。圖中的正方形為其邊界，一細(xì)束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不計重力。下列說法正確的是（）

圖2

圖3

A.?入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同

B.?入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡一定相同

C.?在磁場中運動時間相同的粒子，其運動軌跡一定相同

D.?在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大

解題策略：此題中雖然是兩種粒子，但這兩種粒子比荷相同，故周期相同，半徑取決于速率。入射點相同，速度方向都向右，是縮放圓模型。先畫幾個完整的縮放圓再把磁場的正方形邊界畫上去，可以看出從同一豎值邊界飛出的帶電粒子在磁場中運動的時間是相同的，但軌跡可以不同。速率是相等的圓的大小就是相同的，軌跡就是相同的。所以答案選BD。縮放圓的圓心在和初速度垂直的直線上，畫縮放圓可以利用圓規(guī)。

三、?“三圓模型”在圓形邊界磁場中的應(yīng)用

（一）?旋轉(zhuǎn)圓在圓形邊界中的應(yīng)用

一束帶電粒子從O點沿各個方向飛進(jìn)圓形邊界的磁場中，因磁場圓的半徑和軌跡圓的半徑關(guān)系存在下面三種情況：①若磁場圓的半徑比軌跡圓的半徑小，粒子帶正電（下同）可以從磁場圓的任意位置飛出。在磁場中運動時間最長的粒子是弦長是磁場圓的直徑，如OA。②若磁場圓的半徑和軌跡圓的半徑相等，粒子只能從磁場圓的右側(cè)飛出，且飛出速度都水平。?③若磁場圓的半徑比軌跡圓的半徑大，帶電粒子只能從磁場圓的右邊的某段小于半周的圓弧飛出。且粒子打到磁場圓上的最遠(yuǎn)點時弦長為軌跡圓的直徑，如OB。為了得到上述關(guān)系，畫圖時先畫完整的旋轉(zhuǎn)圓，再把磁場圓按半徑的大小不同畫到旋轉(zhuǎn)圓上，就很容易看出帶電粒子是從磁場圓的哪部分飛出的。

【例3】?（2017年全國卷Ⅱ18題）如圖4，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上;若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為（）

A.?3∶2B.?2∶1C.?3∶1D.?3∶2

解題策略：此題中帶電粒子在磁場圓中的出射點的分布都不足半圓周，說明磁場圓的半徑是大于軌跡圓的半徑，當(dāng)弦長剛好為軌跡圓的直徑時粒子能打到磁場圓上的最遠(yuǎn)點。由幾何關(guān)系容易得出答案為C。

（二）?縮放圓在圓形磁場邊界中的應(yīng)用

【例4】?（2012年安徽理綜19題）如圖5所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，一個帶電粒子以速度V從A點沿直徑方向射入磁場，經(jīng)過時間Δt從C點射出磁場，與OB成60°角?，F(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)閂/3，仍從A點沿原方向射入磁場，不計重力，則粒子在磁場中的運動時間變?yōu)椋ǎ?/p>

A.?12ΔtB.?2ΔtC.?13ΔtD.?3Δt

解題策略：在縮放圓的模型上畫上圓形磁場，要求初速度方向指向磁場圓的圓心，如圖6。由圖可以看出速度越小，軌跡圓的半徑越小，在磁場圓中的圓弧所對應(yīng)的圓心角越大。速度變?yōu)樵瓉淼?/3，半徑也變?yōu)樵瓉淼?/3，由幾何關(guān)系知圓心角是原來的2倍，所以磁場中運動的時間也變?yōu)?倍，答案選B。

四、?結(jié)束語

一束帶電粒子在有界勻強磁場中的運動問題因為粒子的軌跡圓眾多，學(xué)生普遍感覺到煩瑣和困難。教師如果能夠帶領(lǐng)學(xué)生對這部分內(nèi)容進(jìn)行梳理，建立合理的模型，采用先畫完整的軌跡圓再畫符合題意的磁場邊界，讓學(xué)生既有對帶電粒子運動軌跡圖像的整體把控，又有局部的分解，學(xué)生對題目也就有了較高層次的理解。通過帶電粒子在勻強磁場中的運動模型分析，讓學(xué)生很好地建立了科學(xué)思維能力的一般方法，提升學(xué)習(xí)物理的興趣和能力。

作者簡介：

董航俊，浙江省蘭溪市，蘭溪市第一中學(xué)。