理解數(shù)學(xué)：?jiǎn)卧鹗颊n教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵
——以“一元二次方程（第1課）”教學(xué)為例

☉江蘇省高郵市南海中學(xué) 冒琳琳

單元起始課（有些地區(qū)稱之為章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課）的教學(xué)研究在最近兩年得到一定的關(guān)注，不少教研活動(dòng)中得到積極實(shí)施，因?yàn)檫@種課型沒(méi)有機(jī)械地執(zhí)行教材，是從“照本宣科”走向“用教材教”，不同的老師或團(tuán)隊(duì)研發(fā)的教學(xué)設(shè)計(jì)往往有很大的差異.筆者最近一段時(shí)間有機(jī)會(huì)在不同的教研活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，聽(tīng)了三節(jié)一元二次方程的單元起始課，教學(xué)內(nèi)容差異很大，本文簡(jiǎn)要梳理出來(lái)，并跟進(jìn)評(píng)析，供研討.

一、“一元二次方程（第1課）”同課異構(gòu)的聽(tīng)課記錄

說(shuō)明：限于篇幅，我們只整理三節(jié)課中一些“顯著不同”的教學(xué)活動(dòng)（片段）.

課例1：（片段）“一元二次方程（第1課）”開(kāi)課階段

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回憶：在七年級(jí)上學(xué)期，學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)主要有哪些內(nèi)容？我們是如何研究一元一次方程的？

教學(xué)組織：學(xué)生稍微思考后在小組內(nèi)先交流一下，然后選派一個(gè)學(xué)生代表小組發(fā)言，教師通過(guò)適時(shí)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生回憶梳理出一元一次方程的概念、相關(guān)概念，解一元一次方程的步驟，等等.

接著教師利用PPT出示3個(gè)一元二次方程，請(qǐng)學(xué)生觀察：它們與一元一次方程有什么共同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？

教學(xué)組織：學(xué)生觀察后交流，歸納出共同特征：①整式，②一元，③2次.進(jìn)一步類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫作一元二次方程（教師適時(shí)板書(shū)，形成板書(shū)的主要內(nèi)容）.

問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們回憶：一次函數(shù)是如何學(xué)習(xí)的？一次函數(shù)的一般形式是什么？

教學(xué)組織：學(xué)生很快復(fù)習(xí)了一次函數(shù)的概念、一般形式y(tǒng)=kx+b（k、b為常數(shù)，且k不為0）.通過(guò)對(duì)一次函數(shù)的一般形式的回憶，引導(dǎo)學(xué)生去猜想一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，整理成以下形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數(shù)，且a不為0），我們把這種形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

聽(tīng)課隨感：該課的開(kāi)課階段有15分鐘左右在復(fù)習(xí)一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)容，師生對(duì)話或追問(wèn)雖然比較多樣，課堂氛圍也比較熱烈，但是用在復(fù)習(xí)舊知上的時(shí)間偏長(zhǎng)，且作為本課所學(xué)內(nèi)容一元二次方程是直接給出的，缺少必要的問(wèn)題情境，比如，解決一些實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，列出一元二次方程，然后類比舊知定義新知，這樣的新知引出更有意義.

課例2：（片段）一元二次方程的情境創(chuàng)設(shè)

（課前練習(xí)）根據(jù)題意列出方程：

（1）設(shè)一個(gè)正方形的面積為100平方單位，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng).設(shè)邊長(zhǎng)為a，可列方程為_(kāi)_______________.

（2）兩數(shù)之差為3，且這兩個(gè)數(shù)之積為180，求這兩個(gè)數(shù).設(shè)這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)為k，可列方程為_(kāi)_____________.

（3）某單位組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)申?duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)伍參加比賽？設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)伍參賽，可列方程__________.

教學(xué)組織：上課時(shí)教師先組織學(xué)生訂正、講評(píng)“課前練習(xí)”，并安排學(xué)生把所列方程寫(xiě)在黑板上，在歸納出概念之前，先安排學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)哪些類型的方程，并追問(wèn)學(xué)生這些方程的定義，然后觀察黑板上所列方程，填寫(xiě)“學(xué)案”上的空白.

（1）一元二次方程：只含有_____個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____的____方程叫一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式是_______________，其中_____是二次項(xiàng)，______是二次項(xiàng)系數(shù)；_______是一次項(xiàng)，______是一次項(xiàng)系數(shù)；______是常數(shù)項(xiàng).

簡(jiǎn)評(píng)：這種學(xué)案留白并不是“留白式學(xué)案”，而是限制學(xué)生思維的劣質(zhì)學(xué)案，把學(xué)生的思路限制在這些所謂的標(biāo)準(zhǔn)框架之內(nèi)，不利于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，是應(yīng)該拋棄的學(xué)案設(shè)計(jì)方式.

接下來(lái)該課選配了不少訓(xùn)練題，鞏固一元二次方程的概念及相關(guān)概念，多數(shù)都是常規(guī)的，其中有一道例題以題組形式呈現(xiàn)，摘記如下：

例（1）若（a-1）x2+ax-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍為_(kāi)_____.

（2）已知關(guān)于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若是關(guān)于x的一元二次方程，求a的取值范圍.

②若是關(guān)于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知關(guān)于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，當(dāng)a為何值時(shí)，該方程是一元二次方程？

簡(jiǎn)評(píng)：這是一道劣質(zhì)題，人為制造麻煩，把一元二次方程的定義歪曲為了解這種無(wú)趣的習(xí)題，讓學(xué)生感受到處處是解題陷阱，不符合數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔的文化價(jià)值.即使從解題角度來(lái)看，深刻理解一元二次方程的定義可以發(fā)現(xiàn)，之所以定義“一般形式”，是為了后續(xù)研究解法，研究公式法，研究根的判別式，研究根與系數(shù)的關(guān)系，而不是為了讓學(xué)生練習(xí)上述劣質(zhì)題.作為一節(jié)公開(kāi)課，教師及打磨團(tuán)隊(duì)對(duì)這類習(xí)題處理集體“無(wú)知無(wú)畏”的認(rèn)知狀態(tài)，讓人遺憾.

課例3：（片段）一元二次方程的定義生成與跟進(jìn)訓(xùn)練

課件出示問(wèn)題：如何用一張長(zhǎng)16cm、寬12cm的硬紙片做成一個(gè)底面積為96cm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子？

教學(xué)組織：學(xué)生很快設(shè)出未知數(shù)，列出一元二次方程.教師繼續(xù)給出一個(gè)方程3x-2=15，問(wèn)：這個(gè)方程同學(xué)們認(rèn)識(shí)嗎？這是什么方程？一元一次方程是如何定義的？我們?cè)谄吣昙?jí)是如何研究一元一次方程的？比較一下這兩個(gè)方程的異同點(diǎn)，能不能根據(jù)你以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)給這種新的方程取個(gè)名字？學(xué)生很快就說(shuō)出“一元二次方程”，并且順利歸納出定義和一般形式，再跟進(jìn)如下一些訓(xùn)練問(wèn)題.

（1）關(guān)于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？說(shuō)明你判斷的依據(jù).

（2）將下列方程化成一元二次方程的一般式，并說(shuō)出各項(xiàng)及二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；3x（x-1）=2（x+2）-4；（x+2）（x-4）=7.

簡(jiǎn)要評(píng)析之后，教師快速推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生探究一元二次方程的解法.

教學(xué)組織：接下來(lái)我們就從x2-4=0來(lái)研究一元二次方程的解法，根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)解這個(gè)方程嗎？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師介紹直接開(kāi)平方法，并跟進(jìn)追問(wèn)：以上這題，你還有其他的解法嗎？學(xué)生想到了“平方差公式”，根據(jù)因式分解的知識(shí)和“如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；反之，如果兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0，它們的積就等于0”，我們將方程化成兩個(gè)因式的乘積等于0，這種解法我們稱之為“因式分解法”.

教師適時(shí)出示練習(xí)：解方程②3x2-5x=0和③x2-2x-15=0.

學(xué)生很快用因式分解的方法完成了求解，教師組織學(xué)生歸納概括解一元二次方程的基本思想——降次.

簡(jiǎn)評(píng)：這節(jié)課有較好的章節(jié)起始課的味道，開(kāi)課階段簡(jiǎn)單明了，直奔主題，師生共同定義并歸納了一元二次方程的概念、相關(guān)概念，用一組練習(xí)初步辨析之后進(jìn)入解法探究，并且讓學(xué)生從不同方法感受到解一元二次方程的基本思想——降次，為后續(xù)深入、系統(tǒng)學(xué)習(xí)配方法提供了思想上的準(zhǔn)備.

二、關(guān)于單元起始課教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.從理解數(shù)學(xué)出發(fā)構(gòu)思單元起始課的教學(xué)立意

近年來(lái)，章建躍博士提出的“四個(gè)理解”（理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)）得到一線教師廣泛響應(yīng)，在很多課例設(shè)計(jì)中可以看出體現(xiàn)“四個(gè)理解”的元素，在這“四個(gè)理解”中，章博士多次強(qiáng)調(diào)離開(kāi)“理解數(shù)學(xué)”則后續(xù)無(wú)意義，所以單元起始課的教學(xué)研究也要加強(qiáng)在理解數(shù)學(xué)上的鉆研功夫.以一元二次方程為例，學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程、一次函數(shù)、不等式組等知識(shí)，再到一元二次方程的學(xué)習(xí)，教師需要明辨這個(gè)新內(nèi)容與此前所學(xué)內(nèi)容的“同與不同”，在相同、相通之處可以快速推進(jìn)，而在不同之處，慢下來(lái)、停下來(lái)，讓學(xué)生充分辨析，這樣就能明辨新知的重點(diǎn)與難點(diǎn)，找準(zhǔn)教學(xué)用力點(diǎn).

2.教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要精選數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)或生活現(xiàn)實(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)之前過(guò)分重視生活現(xiàn)實(shí)引入新課進(jìn)行了一定的糾偏，要求教師在新知引入環(huán)節(jié)注意平衡好生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與其他學(xué)科現(xiàn)實(shí).比如，基于理解數(shù)學(xué)的角度看一元二次方程，作為單元起始課，上面幾個(gè)課例中，課例3的處理相對(duì)比較合理，以一個(gè)簡(jiǎn)明的生活情境引出一元二次方程，然后基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)快速推進(jìn)學(xué)程，在歸納生成一元二次方程的定義及相關(guān)概念之后，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)的開(kāi)方”角度研究一元二次方程的解法，并讓學(xué)生初步感知了“降次”思想.這樣的單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)，自然、合理，重點(diǎn)突出，有的放矢，可操作性強(qiáng)，值得我們借鑒和實(shí)踐.