借助反例教學，提升數(shù)學素養(yǎng)

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第八中學 陸 燕

反例，簡單地說，就是與命題相反的例子.在初中數(shù)學教學中選擇反例教學法，目的就是引導學生準確把握命題中的條件，了解條件的適用范圍，并就此形成更深刻的認知，既有助于推動教學工作的順利開展，同時可以保障高效的學習效果.反例教學的方式，既有助于突破學生的思維定式，同時在提升學生思維能力方面，也具有極大的裨益.所以為了使學生獲得更大的進步，教師可在初中數(shù)學教學實踐中巧妙引入反例教學法，以促進學生對數(shù)學知識的高效掌握.

一、借助反例教學，深入理解數(shù)學概念

在學習數(shù)學知識的過程中，概念是基礎(chǔ)和關(guān)鍵所在.小學數(shù)學學習過程中所涉及的概念大都比較直觀，更貼近學生生活，但是步入初中階段之后，概念教學逐步轉(zhuǎn)向抽象，同時具有邏輯性特質(zhì)，因此在學習概念的過程中，比較容易出現(xiàn)片面理解或錯誤認知，如果教師僅僅依靠正面例子引導學生自主糾錯，往往難以保障更深層面的理解和認知，此時教師可以巧妙地引入反例，必然有助于消除學生的疑惑，還能夠從側(cè)面幫助學生緊抓概念本質(zhì)，有效彌補正面例子的不足，使學生對概念產(chǎn)生更深層面的理解，既要弄清“是什么”，還要了解“不是什么”.［1］

1.借助反例進行概念辨析

在初中數(shù)學教學中，教師要善于借助反例引導學生進行概念辨析，以此促進他們對數(shù)學概念的深刻理解.

例如，在教學“有理數(shù)”這一概念的過程中，教師可以結(jié)合以下練習：“請在下列數(shù)中找出所有的有理數(shù)：-2，|13|，0.56，1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0），|π|”，并以此為突破口引入概念教學，學生們很有可能就此認為1.1010010001……（1和1之間每次增加一個0）和|π|，都為有理數(shù).鑒于此，教師可引導學生著重分析有理數(shù)的概念及其內(nèi)涵，特別是其中所包含的分數(shù)，因此，對于有理數(shù)而言，不但包括整數(shù)和有限小數(shù)，除此之外，還包括無限循環(huán)小數(shù)，這也就意味著，這兩組數(shù)字雖然是無限小數(shù)，但是它們并非循環(huán)小數(shù)，所以不可將其判定為有理數(shù).

2.借助反例糾正錯誤理解

初中生對于一些數(shù)學概念會存在錯誤理解，教師在教學中要善于借助反例幫助學生對錯誤的概念理解進行糾正.［2］

例如，在學習“函數(shù)”概念時，學生會產(chǎn)生這樣的想法：只要其中一個變量會因為另一個變量而發(fā)生改變就是函數(shù).鑒于此，教師可引入如下反例引導學生展開思考.對于以下變量關(guān)系，哪些說法是正確的：①若|y|=x，則y是x的函數(shù)；②若y=2|x|（x≥0），則y是x的函數(shù)；③通過水管的水流速度與水管的長度呈函數(shù)關(guān)系.經(jīng)過學生的簡單思考之后，教師給出正確答案為②.之后展開解題，對于說法①，假如x=5，|y|=5，y=±5，對于這一函數(shù)關(guān)系來說，當給定x的值之后，對于y而言，有兩個值與它相對應，所以是錯誤的.說法③：對于水管中的水流速度來說，并不會因為水管的長度而受到任何影響，這也就意味著它們之間并不存在函數(shù)關(guān)系.可見，通過恰當?shù)姆蠢軌驇椭鷮W生更深入、更透徹地把握所要學習的概念和知識點.

二、借助反例教學，準確把握數(shù)學定理

數(shù)學定理的存在也需要限定在一定的范圍內(nèi).在初中階段，數(shù)學定理及推論同樣具備明確的應用范圍，這也是學生容易忽視的關(guān)鍵點，由此導致錯誤的出現(xiàn).教師需要結(jié)合反例展開教學，使學生聚焦于定理及推論的適用范圍并加大重視.

1.借助反例教學，明確定理條件

一些數(shù)學定理是需要判定條件的，這些判定條件容易被學生忽視，借助反例教學能夠讓學生對這些定理的條件更加明確.

以“一元二次方程的實數(shù)根判別式”的教學為例，假使一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實數(shù)根，則判定條件Δ=b2-4ac≥0；如果方程具備兩個不同的實數(shù)根，則Δ＞0.對于此題來說，必須要關(guān)注a≠0這一條件，一旦忽視，就可能出現(xiàn)錯誤.可結(jié)合以下反例進行教學：如果方程tx2-3x+2=0具備兩個實數(shù)根，求t的取值范圍.有部分學生得出Δ=（-3）2-4×2×t＞0，由此，求得，很顯然，這個答案并不正確.因為當t等于0時，此方程只具備一個實數(shù)根，所以，針對此題的正確答案應當是且t≠0.通過這一習題，學生必然能夠?qū)ε袆e式中a≠0這一限定條件產(chǎn)生更深層面的認知.

2.借助反例教學，明確定理范圍

一些數(shù)學定理是具有一定的適用范圍的，借助反例教學，能夠讓學生對數(shù)學定理的適用范圍更加明確化.

例如，在教學韋達定理時，涉及方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根與方程中系數(shù)的關(guān)系因為這一定理常被用于求兩個根所組成的關(guān)系式的值，這是一種有效且便捷的解題方式，但同時韋達定理也具備相應的適用范圍.其一，方程有兩個不等的實根，其二，函數(shù)和x軸有公共點.然而在實際使用韋達定理進行解題的過程中，學生經(jīng)常會忽視這一使用范圍.為了強化學生的注意，教師可以引入相應的反例：如果方程x2-的兩根為x1和x2，求的取值范圍.有學生就作出如下解答很顯然，這并非正確答案，如果將終點值19代入其中，得到-k2-10k-6=19，由此得解k=-5，然后將k值代入方程中，會將方程變?yōu)閤2+7x+15=0.而Δ=72-4×15=-11＜0，說明并不存在實數(shù)根，這點很顯然違背了題意.學生出錯的根源在于沒有考慮到方程的實數(shù)根，也就是忽視了韋達定理的適用范圍.針對此題，必須要明確附加條件（k-2）2-4（k2+3k+5）＞0.反例教學在初中數(shù)學教學中的應用，能夠使學生對概念及定理的具體限定范圍產(chǎn)生更深層面的認知，并加大關(guān)注，所以教師應善于靈活利用反例，這樣有助于提高教學的實效性.

三、借助反例教學，有效培養(yǎng)數(shù)學思維

在初中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力是重要的教學目標之一.反例是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的有效素材.反例的運用有助于促進學生的思維發(fā)展，因為在步入初中之后，單純的知識教學在促進學生能力提升方面的作用有限，必須加強反思能力及發(fā)散思維能力方面的培養(yǎng)，才有助于真正提升學習實效.傳統(tǒng)教學模式下，學生大都以被動的方式接受教師所教的內(nèi)容，這樣的過程很有可能忽略其中的關(guān)鍵知識點.在完成基礎(chǔ)知識的學習之后，教師可結(jié)合反例的方式，引導學生立足于不同的視角思考相同的問題，這樣學生必然能夠在這一過程中，了解到知識的多樣性，這也是對思維的有效鍛煉，能夠幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，使學生了解對于任何問題而言，都要立足于不同的視角去考慮.［3］

例如，在完成幾何知識的學習之后，很多學生都對多邊形具備了一定的了解，在此基礎(chǔ)上可引發(fā)學生思考：多邊形本身具備怎樣的特點？正多邊形又具備怎樣的特點？很多學生都能夠基于所學得出正確的解答.為了引發(fā)學生更深層面的思考，我提出如下問題：對于一個多邊形來說，如果每一條邊長都相等的情況下，是否就可以認定其為正多邊形？實際上，對于這一問題而言，就是引導學生立足于反向思維，考慮多邊形和正多邊形之間的區(qū)別，這樣必然能夠幫助學生對知識產(chǎn)生更清晰的認知.由于思考的角度不同，學生也會在實際思考的過程中，擁有更多的發(fā)現(xiàn)，也能夠就此意識到：正多邊形不僅僅涉及邊長相等，同時包括內(nèi)角度數(shù)相等.只有滿足上述兩個條件之后，才能真正判定這一結(jié)論.通過這樣的學習方式，能夠使學生養(yǎng)成良好的思考習慣.

基于反例教學，有助于提升學生思維的發(fā)散性.在教學中，教師應借助科學的訓練方式，強化學生對知識的認知.通過反例教學，能夠提升學生思維的發(fā)散性，使學生可以考慮到更多的方面及更多的內(nèi)容，立足于不同的情況，選擇不同的解題方式，這樣才能夠幫助學生高效地掌握知識，也能夠在考試或集中訓練的過程中，快速找到正確的解題方法.

總之，在初中數(shù)學教學中，恰當且靈活地運用反例這一教學方式，能夠幫助學生更全面、更深刻地理解數(shù)學概念，高效地掌握知識，同時有助于突破思維定式，自主發(fā)現(xiàn)問題，自主糾正錯誤，既有助于促進發(fā)散思維的發(fā)展，也有助于提升邏輯思維的嚴謹性.所以，教師必須加強對反例教學的研究，這樣才能做到靈活運用，恰當運用.