幾何解題教學用力點：圖形變換后的不變性
——從一道八年級全等把關題的講評說起

☉江蘇省鎮(zhèn)江中學附屬初中 張祖翼

熟悉初中各年級教學的同行都有這樣的印象，學生進入初中階段的第二次分水嶺是幾何的學習與證明，特別是圖形變換之后數(shù)量關系之間的變化與不變性質(zhì)是研究的熱點問題.而對這類問題的講評，深入思考下去，會啟示我們在不同年級幾何教學用力點的話題.本文從一道八年級把關題的講評說起，對不同年級幾何解題教學用力點給出筆者的理解和思考.

一、從一道八年級全等把關題的講評說起

考題1：已知，如圖1，邊長為5的等邊三角形ABC中，點D在邊AB上，點F在邊BC上，以DF為一邊作等邊三角形DEF，連接BE.

圖1

圖2

（1）當點D與點A重合時（如圖2），求證：BE+BF=AC.

（2）如圖1，當AD=1時，求BE+BF的值.

閱卷手記：這道試題位于八年級期末試卷倒數(shù)第二題的位置，屬于把關題的難度.從閱卷情況來看，第（1）問的得分率為40%，第（2）問的得分率為15%.

講評記錄：第（1）問的方法較多，這里只提一種，如圖3，在AC上取一點M，使CM=CF，連接MF.

圖3

圖4

容易得出△CMF是等邊三角形，先證明△ABE△ACF，可得到條件有助于證明△BEF △MFA，于是問題獲得突破.

對于第（2）問，只要向第（1）問轉(zhuǎn)化就可順利解決，如圖4，過點D作DG//AC，交BC于點G.容易得出等邊三角形DBG，這樣問題就轉(zhuǎn)化為第（1）問的思路了，這里略去.

為了追求較好的講評效果，我們還給出了如下的變式跟進.

變式跟進：如圖5，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，另一個等腰直角三角形DEF的直角頂點D在射線AB上，頂點F在射線CB上，連接BE.分析線段BE、BD、BF之間的數(shù)量關系.

圖5

圖6

解法預設：如圖6，過點D作DG//AC交CB于點G，可得等腰直角三角形BDG，再證明△BDE △GDF，可得BE=GF，從而溝通BG與BD的數(shù)量關系，實現(xiàn)問題突破.

還可將圖形變式，如圖7，點D在邊AB上，其余條件不變，仍然可過點D作DG//AC交BC于點G，實現(xiàn)問題解決.

圖7

二、七年級幾何解題教學的用力點

根據(jù)教學觀察，不少學生進入八年級就對上述變換類的幾何題非常不適應，有些學生直言“第一小問有時還能想到思路，但是圖形變式之后就難有思路了”.由此想到不同年級幾何解題教學的用力點的相關話題，比如，這種類型問題的解題策略應該在七年級就需要強化訓練，也應該是七年級幾何解題教學的用力點.以下就結合具體題例的講評進一步闡述.

考題2：如圖8，點P是線段AB上一點，M、N分別是線段AB、AP的中點，若BP=6，求線段MN的長.

教學記錄：七年級學習時，不少學生都表示這道試題有點兒難，為了求得較好的講評效果，我們預設以下一些鋪墊式問題.

鋪墊問題1：如圖9，AB=6，點C是線段AB上一點，M、N分別為AC、BC的中點，求MN的長.

圖9

鋪墊問題2：如圖10，AB=6，點C是線段AB的延長線上一點，M、N分別為AC、BC的中點，求MN的長.

鋪墊問題3：如圖11，AB=6，點C是線段AB的延長線上一點，M、N分別為AC、BC的中點，求MN的長.

圖9

圖10

圖11

圖12

鋪墊問題4：如圖12，AB=6，點C是線段AB的延長線上一點，M、N分別為AC、BC的中點，求MN的長.

學生理解了圖12之后，就可以將字母直接替換成圖8中的字母，解題步驟完全相同.

接下來，還可以安排學生繼續(xù)思考從線段“雙中點”到角“雙角平分線”變式問題：

變式1：如圖13，已知∠AOB=100°，OC是∠AOB內(nèi)部一條射線，OM、ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線.求∠MON的度數(shù).

圖13

圖14

變式2：如圖14，已知∠AOB=100°，OC是∠AOB外部一條射線，OM、ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線.求∠MON的度數(shù).

讓學生把線段的雙中點、角的雙角平分線放在一起研究，想清辨明“它們都是一樣的”，就可以加深對這類問題的理解，對八年級再遇到圖形變換之后的全等探究也十分有益.

二、關于幾何解題教學的進一步思考

1.七年級起始階段注重幾何語句的組織與規(guī)范

學生進入初中階段有幾個關鍵期.一是有理數(shù)初學階段有理數(shù)運算問題中的符號容易出錯.第二個關鍵期就是進入幾何學習，幾何圖形初步學習時，有兩大障礙，一是幾何符號語言的適應性，以及幾何解題語句、解題步驟的組織.不少學生在處理線段、角的計算問題時，常常只有算式而沒有幾何步驟，這些都是小學階段幾何圖形計算問題的解題慣習，需要較長時間的訓練才能逐步到位.而幾何語句的規(guī)范表達又要靠學習幾何圖形的定義、表示、性質(zhì)時進行示范，讓學生熟記線段中點定義、角平分線定義、互余定義、互補定義等符號表達，靈活運用等式性質(zhì)、等量代換進行幾何語句組織、書寫，都是七年級幾何初學階段的訓練重點.特別是，像上文提到的線段的雙中點、角的雙角平分線問題，就不只是簡單地停留在會算的層次上，而要讓學生學會這些習題的語句表達、詳細證明，這樣有利于八年級時學習像上文“考題1”這類圖形變換問題.

2.八年級幾何證題注意圖形變換前后的不變性

幾何研究圖形的形狀、大小、位置，也研究圖形變換，如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換.像上文考題1，由動點引發(fā)動形之后相應線段之間的關系也是常見習題.特別是當圖形變換之后線段之間、角之間的“變化”或“不變性質(zhì)”常常是研究的重點與熱點問題.對于七年級線段“雙中點”距離的不變性質(zhì)或“雙角平分線”夾角的不變性質(zhì)來說，到了八年級的全等變換之后，三條線段之間的數(shù)量關系不一定還是原來的關系，但是證明的思路，特別是輔助線的添加、轉(zhuǎn)化的策略是一樣的.這些都需要我們在解題教學時向?qū)W生傳遞、滲透.

3.九年級繁雜線條幾何題要善于分離、聚焦圖形

九年級的幾何學習主要是圓和相似三角形，圖形中的線段繁雜，且會將七、八年級特殊三角形、特殊四邊形融合在圓中，并且往往涉及相似的探究，所以難度會較大.解題教學時，需要向?qū)W生傳遞滲透分離圖形的能力、聚焦圖形的意識，前者是提高學生抗干擾的能力，后者是學會識別、善于發(fā)現(xiàn)常見圖形的能力.比如，圓中垂徑定理的相關習題，常常要連接半徑、作弦心距等，這些輔助線的主要功能是將問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形來研究.再比如，繁雜圖形中相似三角形的識別就需較強的分離、聚焦圖形的能力，根據(jù)條件分析出待證明相似的兩個三角形并用陰影表示出來，標注恰當?shù)姆柵c待證元素之間的關系，為明確解題方向提供幫助.

三、寫在后面

代數(shù)學習的經(jīng)驗告訴我們，像方程多會有一般形式與非一般形式，求解時往往要將方程化為一般形式以便于進一步解答.而幾何的很多求證問題也有類似的一般形式（我們常常稱為“標準圖形”）和非一般形式（“非標準圖形”）.幾何證題能力強的學生，往往能在繁雜、難以辨識的“非標準圖形”中向“標準圖形”轉(zhuǎn)化.想來，這種“一般化”“標準化”的能力也就是我們在數(shù)學解題教學過程中的用力點.