知識與方法共存 思維及智慧齊飛
——一道函數(shù)題命制的立意思考與命制經(jīng)歷

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常通過各種考試檢測學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維能力的提升以及學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成到達哪一個層次（學(xué)得如何？）；同時也能夠檢查教師自身在數(shù)學(xué)教學(xué)中對教材的處理、數(shù)學(xué)概念的講解、數(shù)學(xué)微專題等方面的啟發(fā)、引導(dǎo)和拓展處于哪一個階段（教得如何？）.要想得到比較科學(xué)、準(zhǔn)確的判斷結(jié)果，數(shù)學(xué)考試題目命制的質(zhì)量是關(guān)鍵.筆者依據(jù)多年的命題經(jīng)驗，積累了一些命制試題的經(jīng)驗和思考，與各位同仁分享.

一、明確命題思想與理念

數(shù)學(xué)命題的思想與方向是命題的總目標(biāo)以及命題的價值取向，需要受到高度重視，不可忽視.既要掌握命題的核心功能：立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)，指明為什么考的理由.又要更加凸顯“立德樹人”的教育功能，從而確定了命題將從能力立意時代走向素養(yǎng)導(dǎo)向時代.

數(shù)學(xué)考試的宗旨是測試學(xué)生對高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和方法的掌握，命題的立意經(jīng)歷了知識型、技能型、能力型三種考試，當(dāng)前考查達到素質(zhì)型核心素養(yǎng)的高要求考試，對學(xué)生考查的內(nèi)容要求逐步提升，這就更加需要教師研究：如何命題？如何命制好題？這是每一位數(shù)學(xué)教師必備的基本功.

新課標(biāo)中明確指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達到：用數(shù)學(xué)的眼光（直觀想象與數(shù)學(xué)抽象）看待世界（一般性）；用數(shù)學(xué)的思維（邏輯推理與數(shù)學(xué)運算）分析世界（嚴謹性）；用數(shù)學(xué)的語言（數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析）表達世界（廣泛性）.對數(shù)學(xué)試題的命制，一定要凸顯“三用”的終極目標(biāo)，這樣才能夠命制出高質(zhì)量的題目，以此來突出數(shù)學(xué)學(xué)科本身的理性思維以及數(shù)學(xué)文化命題的創(chuàng)新與弘揚.

二、掌握命題原則

數(shù)學(xué)命題的五個原則：思想性、科學(xué)性、公平性、時代性與創(chuàng)新性.在試題設(shè)計過程中應(yīng)注意研究科學(xué)、準(zhǔn)確、規(guī)范的表達方法，使每一道試題嚴謹、簡明，突出數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，準(zhǔn)確表達題意，為每一位考生理解和解答問題創(chuàng)造條件.尤其在思想性、公平性和創(chuàng)新性方面更要體現(xiàn)出來，讓學(xué)生感受到時代感以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價值所在.

三、規(guī)范命題重點分布

試卷考查是對高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的整體性考查，還要按照相應(yīng)的知識點、考法、核心素養(yǎng)以及難度系數(shù)等要求，體現(xiàn)出命題是以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)中心，試題具有基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性等四個特性.命題重點一定要強化主干知識，強調(diào)知識之間的交叉、滲透和綜合.堅持考查有價值的數(shù)學(xué)，強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識.在命制試題時要充分關(guān)注考查的數(shù)學(xué)內(nèi)容、試卷結(jié)構(gòu)和試題難度三方面的立意，每一套試卷要涵蓋試題所要考查的內(nèi)容，突出重難點，形成以知識點、能力和創(chuàng)新為主的三維細目列表來命制題目.

四、命制試題一般步驟

1.確定立意，設(shè)置框架

試題分為三類題：選擇題、填空題和解答題.選擇題1-6題屬于基礎(chǔ)題，主要考查最基本的知識點與方法，容易入手并能順利得分，數(shù)學(xué)計算量??；選擇題7-10題、填空題13-14題與解答題17-19題屬于中檔題，主要考查基本的數(shù)學(xué)思想方法以及常見的思維方式，有一定的數(shù)學(xué)運算量和較大的思維量，尤其是解答題主要考查一些典型、常規(guī)和經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法與解題方法（通性通法），命制試題處于“難度穩(wěn)，背景新”的表述范圍；選擇題11題、填空題15題及解答題20題屬于較難題，設(shè)問簡捷、審題相對較易一些，主要考查數(shù)學(xué)中的重難點，只要學(xué)生的數(shù)學(xué)功夫（思考、審題、解題）到位，還是可以取得較高的分數(shù)；選擇題12題、填空題16題及解答題21題屬于難題，有很好的區(qū)分度，擔(dān)負著選拔出尖子生的重任，但其中的第1小問仍然會設(shè)置一些引導(dǎo)性問題，為學(xué)生探索解題思路做鋪墊，驅(qū)使學(xué)生逐步深入，不會讓學(xué)生感到束手無策，真正起到拉分、加大差距的使命.

2.注重方法、強化能力

數(shù)學(xué)的審題方法、解題方法都是需要考慮的問題，最關(guān)鍵的是如何將數(shù)學(xué)知識點（考點）的考查、數(shù)學(xué)思想方法的考查（考法）、以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查作為重點來命制試題.其中對數(shù)學(xué)的通性通法的考查是命制試題解法的不二法則，但對數(shù)學(xué)能力、核心素養(yǎng)的考查是命題永恒的追求.

下面以特殊的指數(shù)函數(shù)y=ex作為知識點來舉例說明試題的命制過程，將函數(shù)的單調(diào)性、周期性和對稱性融入其中，設(shè)置一個函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)的圖像、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點等問題，同時要體現(xiàn)函數(shù)的對稱性（奇偶性），自然就能夠很好地涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第一次擬題：立意與選材

構(gòu)思：設(shè)想三個條件：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；周期T=2；若x∈［0，1］時，y=ex-1.

一個目標(biāo)：函數(shù)f（x）在［0，3π］上的零點個數(shù).

命題意圖：利用指數(shù)函數(shù)y=ex將函數(shù)的三大性質(zhì)全部融入其中，還要考查函數(shù)的零點問題，條件設(shè)置比較直白，能夠通過畫草圖得到“零點個數(shù)”，學(xué)生比較容易理解，并能得到答案：5.但對學(xué)生思維能力的考查相對弱一些，對核心素養(yǎng)的考查更是微乎其微，因此達不到命題目標(biāo).

初擬題目：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù). 若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數(shù)f（x）在［0，3π］上的零點個數(shù).

解法：因為x∈［0，1］，則將函數(shù)y=ex-1的零點轉(zhuǎn)化為方程ex-1=0的解x=0，由于函數(shù)f（x）的周期為2且為偶函數(shù)，故函數(shù)f（x）在［0，3π］上的零點個數(shù)是5.

剖析：分析條件和考查目標(biāo)的設(shè)置方式以及與其相關(guān)的概念：周期、對稱性（偶函數(shù)）和零點，并進行不同形式的表征，增加學(xué)生審題思維的力度和深刻性，提升對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查強度與力度，極力向新課改所確定的課標(biāo)靠近.

題目中的設(shè)問采用直接告知的方式，適合對基礎(chǔ)知識的考查，但對于中檔題來說，設(shè)問方式應(yīng)該采用逆向方式或復(fù)合方式，從而體現(xiàn)出思維的廣度、深度和高度.

第二次擬題：構(gòu)題與磨題

根據(jù)對第一次擬題的剖析，為了增加思維的難度，繼續(xù)打磨試題，從背景、文字、數(shù)式和圖形等方面仔細推敲，或?qū)σ延械牡仁竭M行等價轉(zhuǎn)化并形成新的表征，追尋有利于學(xué)生思維能力提升的試題.

方案1：條件“函數(shù)f（x）的周期為2”等價的表征為“f（x+2）=f（x）”；再將目標(biāo)“函數(shù)f（x）在［0，3π］上的零點”添加上對數(shù)函數(shù)修改為“函數(shù)y=f（x）-lnx在［0，e］上的零點”，這樣可以提高學(xué)生審題和解題的難度，且符合修改要求.

修改題1：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數(shù)y=f（x）-lnx在［0，e］上的零點個數(shù).

解析：因為f（x+2）=f（x），又有x∈［0，1］時，函數(shù)f（x）=ex-1是偶函數(shù)，則此時函數(shù)y=f（x）-lnx的零點問題就等價于方程f（x）=lnx的解，或者是函數(shù)f（x）=ex-1的圖像與函數(shù)y=lnx圖像的交點問題，畫出草圖，容易得到函數(shù)y=f（x）-lnx的零點個數(shù)是2.

注意：條件“函數(shù)f（x）的周期為2”等價的表征只有“f（x+2）=f（x）”，不等價的表征可以有以下幾種方式①（fx+1）=-（fx），中①②③除了刻畫了函數(shù)f（x）的周期T=2之外，還刻畫了函數(shù)f（x）的其他“局部”性質(zhì).如①表明f（1）=-f（0）與條件“x∈［0，1］時，y=ex-1”相矛盾，此時往往誤認為是區(qū)間［0，1］的“右閉”所致；②③反而強調(diào)“函數(shù)值不能為零”，自然與題設(shè)條件相矛盾.

方案2：將條件“若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1”進行重建，可以涉及對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對勾函數(shù)或含絕對值的函數(shù)等等，但要注意的是學(xué)生能夠通過函數(shù)的性質(zhì)作出圖像，或基本確定函數(shù)的大致走向（明確單調(diào)性，對稱性或周期性等特殊性質(zhì)），或在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上添加新的考查內(nèi)容均可.（略）

第三次擬題：優(yōu)化與定稿

根據(jù)擬題不斷的修改，琢磨試題字詞與符號歧義以及數(shù)學(xué)符號、附圖、標(biāo)點符號等陳述細節(jié)，其目的就是打造數(shù)學(xué)試題，使其具有：科學(xué)、準(zhǔn)確、規(guī)范、嚴謹和簡明的特征，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特征，有利于學(xué)生理解題意、正確審題，而且能夠凸顯思維的廣闊性與發(fā)散性，達到綜合考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)的目的.因此，對所求函數(shù)y=f（x）-lnx的解析式添加絕對值運算，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整為求函數(shù)y=f（x）-ln|x|的零點問題，對應(yīng)的區(qū)間也由［0，e］拓展為［-e，e］.

修改題2：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數(shù)y=f（x）-ln|x|在［-e，e］上的零點個數(shù)（答案為4）.

修改題3：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），若x∈［0，1］時，f（x）=ex-1，試求函數(shù)y=f（x）-|ln|x||在［-e，e］上的零點個數(shù)（答案為6）.

3.關(guān)注測試，正確評估

數(shù)學(xué)試題要想命制好，則需要不斷的打磨，尤其在試題的科學(xué)性上達到完善才是命題的第一步，依照三維（考點、考法和核心素養(yǎng)）細目表的要求，優(yōu)化數(shù)據(jù)，讓學(xué)生解答起來容易理解，并且解法簡捷，有多視角的思考方向和解法選擇.命題彰顯數(shù)學(xué)思想，淡化特殊技巧，強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，著力關(guān)注數(shù)學(xué)試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性來解決“怎樣考”的問題，做到“三個避免”：避免需要死記硬背的內(nèi)容；避免呆板的試題；避免煩瑣的計算.

好的試題解答過程的表述能夠體現(xiàn)出學(xué)生的思維邏輯、解法選擇和數(shù)學(xué)知識、方法的掌握程度，同時也能夠凸顯學(xué)生遺漏的、理解不到位的、未掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容.但對整套題來說，需要整體思考試題的結(jié)構(gòu)、難度梯度、難點分布、設(shè)問方式（平行、遞進）、試題區(qū)分度的設(shè)置等一系列問題，從而使其調(diào)整到恰當(dāng)之處，不可顧此失彼.這樣，不論是單題還是套題，都能夠有效地評估學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.

五、總結(jié)點滴，不斷完善

試題命制過程是基于高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的理念，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指導(dǎo)的探究命制，對高中數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查體現(xiàn)的淋漓盡致.同時也落實了數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個問題：“教什么”（理解所教的內(nèi)容、思想方法、學(xué)科價值等）與“怎樣教”（理解學(xué)生的認知起點、思維障礙及認知規(guī)律等）所對應(yīng)的數(shù)學(xué)“學(xué)科”與“學(xué)習(xí)”的整體構(gòu)建思維認知統(tǒng)一體.

1.命制試題注意事項：選擇恰當(dāng)策略，重視教育價值

命制試題首先要弄清三維（考點、考法和核心素養(yǎng)）細目表，把握命題涉及的重點、難點及熱點；對比近年來模擬試題在命制某一內(nèi)容時表現(xiàn)的穩(wěn)定性、周期性和隨機性；盡力凸顯試題內(nèi)容的“變與不變”，揣摩如何蘊藏命題的導(dǎo)向性；全力展示命制試題的意圖，把握知識點、能力以及核心素養(yǎng)的考查特點.

2.命制試題掌握核心：從學(xué)科能力到核心素養(yǎng)

命制試題立足于教材的試題演變（基礎(chǔ)性）與數(shù)學(xué)主干知識的考查（重點性）；確保源于考題的自身演變（穩(wěn)定性）與注重題型的創(chuàng)新設(shè)計（綜合性）；務(wù)必增添新背景下的題型（源）新改變（發(fā)展性）與突出通性通法的踐行（能力素養(yǎng)價值），主要體現(xiàn)在：（1）注重從現(xiàn)實社會和生活實際中選取命題素材，（2）關(guān)注社會熱點問題，（3）跨學(xué)科知識滲透題，（4）創(chuàng)新題型等四個方面思考命制試題，充分體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、鍥而不舍的精神以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)深層次的理解等核心素養(yǎng).

3.命制試題導(dǎo)向功能：從“能力立意”到“素養(yǎng)導(dǎo)向”

數(shù)學(xué)試題的命制以能力為立意，素養(yǎng)導(dǎo)航為主線，全力打造數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新形態(tài)，這也是時代發(fā)展的需要.利用不同的命制試題方式來考查學(xué)生：傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)個性品質(zhì)的傳承與研究、理解與掌握等.每一位數(shù)學(xué)教師在教與學(xué)的過程中要落實以立德樹人為宗旨，這也是從“能力立意”到“素養(yǎng)導(dǎo)向”的育人過程中所要思考的關(guān)鍵之處.

總之，一套好試題在難度、區(qū)分度和效度三個方面的表現(xiàn)都會處于最優(yōu)位置.任何命題大體要經(jīng)歷立意、設(shè)計、打磨、測試和評估五個環(huán)節(jié).