專題引領(lǐng) 提升素養(yǎng) 打造數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課新常態(tài)
——高三微專題復(fù)習(xí)課“用導(dǎo)數(shù)研究切線問題”

☉四川省南充龍門中學(xué) 蔣 敏

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間緊，知識(shí)容量大，課堂沉悶無(wú)趣，使很多學(xué)生感到枯燥乏味，無(wú)所適從！教師更是感到事倍功半，力不從心！如何提高學(xué)生在高三復(fù)習(xí)課上的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率？一直是困擾著教師的難題.如何結(jié)合高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，打造高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的高效課堂操作模式呢？

專題模塊復(fù)習(xí)法，即“微專題”復(fù)習(xí)法應(yīng)運(yùn)而生！它是指授課教師根據(jù)學(xué)情需要選取一個(gè)微型專題，從其涉及到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，基本原理和知識(shí)背景作為切入點(diǎn)，通過歸類整合、精選例題、強(qiáng)化變式，使知識(shí)運(yùn)用提檔升級(jí)，螺旋上升，達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，糾正疑點(diǎn)的目的.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，微專題復(fù)習(xí)是被經(jīng)常采用的以小博大、見微知著的高效手段！下面以“用導(dǎo)數(shù)研究切線問題”為例，再現(xiàn)曲切聯(lián)袂的精彩演繹！

一、基本知識(shí)回顧

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)f′（x0），表示函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義就是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率，其切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）.

2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟

求已知曲線在某點(diǎn)處的切線方程，是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的常見模式，有時(shí)題目未給出切點(diǎn)信息，只提到切線經(jīng)過某點(diǎn)，此時(shí)往往需要先設(shè)出切點(diǎn)，以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為未知量，進(jìn)行恰當(dāng)反解.

①求出函數(shù)y=f（x）在切點(diǎn)P（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)；

②根據(jù)切點(diǎn)和斜率，求出切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）.特別地，當(dāng)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線垂直于x軸時(shí)（此時(shí)切線斜率不存在，即導(dǎo)數(shù)不存在），切線方程為x=x0.

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)不明確時(shí)，就應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再用直接法列式求解.

二、微專題復(fù)習(xí)的幾個(gè)視角

1.求“在曲線上某一點(diǎn)處”的切線方程，意味著該點(diǎn)為切點(diǎn)

例1（2018年全國(guó)卷Ⅰ，文6理5）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（ ）.

解析：因?yàn)閒（x）=x3+（a-1）x2+ax為奇函數(shù)，所以a-1=0，即a=1，此時(shí)f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線的斜率為k=f′（0）=1，因此切線方程為y=x.

故選D.

評(píng)注：從函數(shù)的奇偶性入手，通過對(duì)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)再審視，可以得出偶次項(xiàng)系數(shù)為0，從而求出參數(shù)a的值.求在點(diǎn)（0，0）處的切線，暗示著（0，0）為切點(diǎn)，按部就班即可得出切線方程.

變式：已知函數(shù)y=f（x）的圖像在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=______.

解析：點(diǎn)M（1，（f1））滿足x-2y+6=0得，而f（′1）是切線的斜率，即，所以（f1）+f（′1）=4.

2.求“過某一點(diǎn)”與曲線相切的切線方程

例2已知函數(shù)（fx）=x2，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線f（x）相切的直線l的方程.

解析：設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），f（′x0）=2x0，過點(diǎn)的切線l的方程是

因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線l上，則

又切點(diǎn)在函數(shù)f（x）=x2圖像上，則

聯(lián)立（1）（2）解得x0=2或x0=3.

當(dāng)x0=2時(shí)，切線方程是：4x-y-4=0；當(dāng)x0=3時(shí)，切線方程是6x-y-9=0.綜上所述，所求切線方程是4x-y-4=0或6x-y-9=0.評(píng)注：對(duì)于曲線y=f（x）上“過”點(diǎn)（m，n）的切線問題，一般的解題步驟為：

①先設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），利用點(diǎn)（m，n）和導(dǎo)數(shù)，寫出切線的點(diǎn)斜式方程y-n=f′（x0）（x-m）；

變式：已知曲線曲線過點(diǎn)（2，4）的切線方程為______.

解析：設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），切線的斜率為k=y′|x=x0=x02，

故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.

3.求曲線上“任意一點(diǎn)處”的切線傾斜角（或斜率）的取值范圍

例3設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍為______.

解析：求導(dǎo)可得，于是切線的斜率所以切線的傾斜角α的取值范圍是

評(píng)注：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率，而斜率等于傾斜角的正切，因此求傾斜角的范圍，則需要求出導(dǎo)數(shù)的取值范圍，但不能僅僅看斜率的正負(fù)符號(hào)，就簡(jiǎn)單機(jī)械地得出傾斜角的范圍，正負(fù)符號(hào)問題，僅僅是判斷角所在的象限.具體范圍要結(jié)合斜率和傾斜角變化的對(duì)應(yīng)情況來(lái)做出判斷.

變式：已知點(diǎn)P在曲線上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是______.

解析：

4.求過一點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)

例4已知函數(shù)f（x）=2x3-3x，若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍.

解析：設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x0，y0），則y0=2x03-3x0，且切線的斜率為k=6x02-3，故切線方程為y-t=（6x02-3）（x-1），因此y0-t=（6x02-3）（x0-1），整理得4x03-6x02+t+3=0.

設(shè)g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價(jià)于“方程g（x）=0有3個(gè)不同的根”.令g′（x）=0，得x2-x=0，解得兩極值點(diǎn)x1=0，x2=1，

因此要使g（x）=0有3個(gè)不同的根，需滿足g（0）g（1）=（t+3）（t+1）<0，即-3

評(píng)注：一般地，直線和曲線相切，不同的切點(diǎn)對(duì)應(yīng)著不同的切線.于是，判斷切線的條數(shù)，也就是判斷切點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷關(guān)于x0的方程的根的個(gè)數(shù).

變式：已知曲線C：y=x4-2x2及點(diǎn)M（1，-1），則過點(diǎn)M向曲線C可引切線的條數(shù)為______.

解析：設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），滿足，解得或1，因此曲線C的切點(diǎn)有三個(gè)，而當(dāng)切點(diǎn)為（-1，-1）和M（1，-1）時(shí)，切線斜率都為0，是同一條切線，因此過點(diǎn)M向曲線C可引切線的條數(shù)為2.

三、結(jié)束語(yǔ)

微專題教學(xué)法的運(yùn)用，可以彌補(bǔ)常規(guī)教學(xué)的局限，從而實(shí)現(xiàn)高效的課堂教學(xué).在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行“編碼”“再加工”，進(jìn)而夯實(shí)解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

微專題探究，四兩撥千斤！“微”只是表現(xiàn)形式，“?！辈攀瞧浜诵谋举|(zhì).在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，采取靈活多變、高效可行的微專題形式，對(duì)于學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化專題探究，提升學(xué)科核心素養(yǎng)，有著積極的重要作用.在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生是主力軍，教師是領(lǐng)航人，課堂是主陣地.作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生利用微專題進(jìn)行復(fù)習(xí)，打造數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的新常態(tài)，從而把握教學(xué)規(guī)律，達(dá)到事半功倍的效果，引領(lǐng)學(xué)生解一題、會(huì)一類、通一片.F