基于數(shù)學(xué)史案例引導(dǎo)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究

陳小蕾 鄭立飛 解小莉

摘 要：傳統(tǒng)的教學(xué)模式是講授式的，不利于學(xué)生自主地參與教學(xué)活動。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以數(shù)學(xué)史為依托，將數(shù)學(xué)發(fā)展過程中比較有趣的故事或?qū)嶋H中較為貼近生活的案例放在課堂上，并結(jié)合理論知識進(jìn)行講解，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，將抽象的理論知識形象化。同時，教師也要結(jié)合專業(yè)特點，積極引導(dǎo)學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史；案例教學(xué)

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-9132（2019）07-0005-01

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2019.07.001

高等數(shù)學(xué)[1]是本科教學(xué)中非常重要的一個環(huán)節(jié)，也是各個專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。案例教學(xué)法是在實際問題求解的鋪墊下構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力?；诖耍谡n堂上引入知識點相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識或有趣的小故事吸引學(xué)生的上課興趣，以提高學(xué)生課堂興致，從而提高課堂教學(xué)效果。

一、案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)課程中的注意事項

在使用案例或數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)引入時需注意幾點[2]：（1）案例的選擇。選擇的案例需要和講解的理論內(nèi)容緊密相關(guān)，盡量具有趣味性和實用性，如果可以和學(xué)生專業(yè)相結(jié)合，效果更佳。（2）案例的分析。從實際問題或形象思維開始，提出與內(nèi)容相關(guān)的問題，引發(fā)學(xué)生的興趣與思考，帶動學(xué)生積極參與課堂教學(xué)。（3）引入新知識。在進(jìn)行案例的分析和結(jié)果運算中，將相關(guān)理論知識引入，既解決了實際問題，又將抽象內(nèi)容形象化，且以實例引入，讓知識結(jié)構(gòu)更加完善。（4）案例的延伸。教師可以結(jié)合專業(yè)特點，列舉相關(guān)案例，更好地鍛煉學(xué)生對于理論知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

二、案例教學(xué)法的實例

（一）利用希爾伯特?zé)o窮旅館的數(shù)學(xué)詭辯引入無窮大

很多學(xué)生并不能將無窮大（∞）的定義正確建立，因此教師可以借助于希爾伯特?zé)o窮旅館的數(shù)學(xué)詭辯給出形象的描述，使學(xué)生建立正確的直觀概念。使用該案例時，教師需特別指出無窮大是一個變量，并非具體數(shù)值能夠表示，并且該旅館為理想化旅館，現(xiàn)實是不存在的。

（二）利用最小曲線半徑引入曲率

許多學(xué)生對數(shù)學(xué)有誤解，不能很好地體會數(shù)學(xué)的意義，因此教師可以用一些非常實際的例子來引入和講解抽象的定義。例如，對于曲率K=|y''|/[（1+（y'）^2）^（3/2）]，大部分學(xué)生對于曲率的認(rèn)識只知道記住公式，而曲率有怎樣的應(yīng)用卻不知道。如果先引入火車轉(zhuǎn)彎時的彎度問題，也就是鐵路上常用的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)——最小曲線半徑，非專業(yè)的場合也稱為“轉(zhuǎn)彎半徑”，其意義等于幾何學(xué)上的曲線半徑。這個數(shù)字的倒數(shù)能夠反映曲線的彎曲程度，即曲率。那么，學(xué)生對于曲率的認(rèn)識就是現(xiàn)實的、形象的，也知道這個定義和公式的價值，這能夠更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）利用芝諾悖論（阿基里斯與兔子）引入數(shù)列極限

在高數(shù)學(xué)習(xí)初期，大多數(shù)學(xué)生仍然停留在形象思維階段，對于抽象思維很難接受和理解。如果教師能夠借助于形象思維進(jìn)行輔助建立抽象的極限定義，就能幫助學(xué)生更好地從中學(xué)數(shù)學(xué)形象思維到高等數(shù)學(xué)抽象思維的平穩(wěn)過渡。再借助于PPT動畫演示，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)列極限定義，并進(jìn)行形式上、定義上、性質(zhì)上的延伸和推廣，形成系統(tǒng)性的數(shù)列極限定義。

（四）利用斐波那契數(shù)列引入二階常系數(shù)齊次差分方程

選擇斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），以兔子繁殖問題進(jìn)行引入，給出方程結(jié)構(gòu)yt+2-yt+1-yt=0，定義二階常系數(shù)齊次差分方程 yt+2+ayt+1+byt=0，然后給出滿足方程的更多實例結(jié)構(gòu)，例如：樹葉的排列、一些花朵的花瓣數(shù)（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀等，幫助學(xué)生建立更深刻的概念，結(jié)合多媒體教學(xué)播放PPT圖片或視頻等，加強立體概念的建立，讓學(xué)生將理論知識和實例應(yīng)用直觀結(jié)合，這既豐富了課堂內(nèi)容，又讓學(xué)生對專業(yè)知識有直觀的認(rèn)識。

類似這樣的案例還有很多，比如利用安全車距引入微積分基本公式；利用兩次經(jīng)過同一個地點引入零點定理；利用銀行貸款還款模型引入一階差分方程；利用交流電引入傅立葉變換；利用導(dǎo)彈發(fā)射引入向量；利用科赫雪花曲線引入常數(shù)項無窮級數(shù)及其斂散性等。在介紹新知識點的時候，教師可將相關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容引入，介紹知識的產(chǎn)生、結(jié)構(gòu)以及所要解決的問題等。當(dāng)進(jìn)入到課堂中后期后[3]，因為學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的理論知識，教師可以通過介紹實例并引導(dǎo)提問—多形式討論—學(xué)生自主發(fā)表意見—教師總結(jié)或綜合評論的形式，來進(jìn)一步鍛煉和提高學(xué)生相關(guān)知識中的判斷、分析以及應(yīng)用能力。具體課堂內(nèi)容的實施，還需和其他教學(xué)方法相結(jié)合，共同解決數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的問題。

三、結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)中運用數(shù)學(xué)案例是對高等數(shù)學(xué)教學(xué)的補充和完善。盡管在現(xiàn)實教學(xué)實踐中還存在著不少的問題需要不斷總結(jié)和討論，但對教學(xué)改革有著重要的影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陳榮.試析高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)法及其應(yīng)用實踐[J].時代教育，2016（24）：40.

[3]熊傳霞.淺析案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)課堂中的運用[J].科技資訊，2015（24）：140.