基于切比雪夫I型低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器*

陳紹榮 ，劉郁林 ，王 開 ，徐 舜

（1.陸軍工程大學(xué) 通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》著作[1-3]中，均介紹了IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計方法。關(guān)于IIR數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計，一般有兩種方法：一是先在s域上設(shè)計相應(yīng)的模擬高通、帶通及帶阻濾波器，再通過雙線性變換完成IIR數(shù)字高通、

數(shù)字帶通及數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計；二是先在s域上設(shè)計相應(yīng)的模擬低通濾波器，再將模擬低通濾波器變換成IIR數(shù)字低通濾波器，最后將IIR數(shù)字低通濾波器在相應(yīng)的變換函數(shù)下變換成IIR數(shù)字高通、數(shù)字帶通及數(shù)字帶阻濾波器，那么研究相應(yīng)的變換函數(shù)就成為關(guān)鍵問題。由于模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有一套完整的設(shè)計公式，而且還有較完整的圖表供查詢。充分利用這些已有的資源，將會給IIR數(shù)字濾波器設(shè)計帶來很大的方便。基于這一事實，通常采用第一種方法設(shè)計IIR數(shù)字高通、數(shù)字帶通及數(shù)字帶阻濾波器。而所列著作[1-3]中，個別之處的推理過略，不便于理解。本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上，詳細闡明了基于切比雪夫I型低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器涉及的基本原理、過程、步驟及方法。

1 切比雪夫I型低通濾波器設(shè)計

1.1 歸一化切比雪夫多項式

歸一化切比雪夫多項式定義為：

現(xiàn)將計算的結(jié)果制成表格，如表1所示。

表1 歸一化切比雪夫多項式

由表1可知，歸一化切比雪夫多項式Cn(λ)是λ 的 n 次多項式，且首項為 2n-1λn。當(dāng) |λ|≤ 1 時，Cn(λ)在 -1 至 1 之間 波動 變化， 當(dāng) |λ|＞1 時，Cn(λ)按雙曲余弦單調(diào)遞增。

1.2 歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器極點分布的特點

歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的幅頻特性平方函數(shù)定義為：

式中，λ=Ω/Ωp為歸一化角頻率。0＜ε＜1，ε是表示通帶內(nèi)（0≤λ≤1的范圍）波紋大小的一個參數(shù)，ε越大，波紋越大。n為歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的階數(shù)。在阻帶范圍（1＜λ≤∞的范圍），|HL(jλ)|2是一個單調(diào)遞減函數(shù)。

考慮到式（17），則有：

令：

式（19）可寫成：

定義φ=arccos(-jp)，則有：

顯然，φ應(yīng)是復(fù)數(shù)。為此，令φ=φ1+jφ2，則有：

式中，l=1,2,3,…,2n。

如果令 pl=σl+jλl，考慮到式（29），則有：

顯然 coshφ2＞sinhφ2，因此橢圓的焦點在 p 平面的虛軸上。式（30）表明，歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器極點pl的實部和虛部滿足橢圓方程，即極點pl落在橢圓上。

由式（29）求出2n個極點pl，一半屬于HL(p)，一半屬于HL(-p)。為保證所設(shè)計的歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器是穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)將p平面左半面的極點賦于HL(p)，規(guī)定φ2＞0，l=1,2,3,…,n，那么：

式中，l=1,2,…,n。顯然，pl的實部小于0，即這n個極點屬于HL(p)。

由于歸一化切比雪夫多項式Cn(λ)首項為2n-1λn，考慮到式（16），那么歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示成：

式中，極點pl由式（31）確定。

1.3 切比雪夫I型模擬低通濾波器的設(shè)計步驟

（1）將頻率作歸一化處理，得到歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器幅頻特性平方函數(shù)。

（2）確定歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的波紋參數(shù)ε及階數(shù)n。

考慮到式（16），則衰減函數(shù)α(λ)可表示成：

設(shè)λ=λp時，通帶允許的最大衰減為αp，考慮到式（33），則有：設(shè)λ=λs時，阻帶應(yīng)達到的最小衰減為αs，考慮到式（33），則有：

考慮到 λ=Ω/Ωp，則有 λp=Ωp/Ωp=1，由表 1 可知(λp)=(1)=1，那么式（34）可寫成：

考慮到式（36），由式（35）可得：

這樣，首先利用式（36）可求出波紋參數(shù)ε；再利用式（37）計算出a2值，最后利用式（38）就可以求出歸一化的切比雪夫I型濾波器的階數(shù)n。

（3）利用式（28）、式（31）及式（32），可求出歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HL(p)。

（4）作逆歸一化處理，令p=s/Ωp，可從歸一化的切比雪夫I型模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HL(p)得到切比雪夫I型模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)，即：

2 模擬帶濾波器的設(shè)計

可以通過頻率變換的方法，借助巴特沃斯模擬低通濾波器或切比雪夫I型模擬低通濾波器來完成模擬帶通濾波器的設(shè)計，其設(shè)計過程，如圖1所示。

圖1 模擬帶通濾波器的設(shè)計過程

2.1 模擬帶通濾波器到模擬低通濾波器的頻率變換公式

模擬帶通濾波器的四個頻率參數(shù)是Ωsl、Ω1、Ω3和Ωsh。Ω1、Ω3分別是通帶的下截止頻率和上截止頻率；Ωsl是下阻帶的上截止頻率，Ωsh是上阻帶的下截止頻率。

為了作頻率的歸一化處理，定義ΩBW=Ω3-Ω1為通帶寬度，以此作為參考頻率，對帶通濾波器的四個頻率作歸一化處理，即：

圖2 歸一化模擬帶通濾波器的幅頻特性

圖3 歸一化低通濾波器的幅頻特性

為了保證頻率變換后，兩個歸一化的幅頻特性|HBP(jη)|和|HL(jλ)|，在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的衰減數(shù)相同，各頻率點的對應(yīng)關(guān)系，如表2所示。

為了找出對應(yīng)的關(guān)系式， 設(shè)η2＜η0＜η3，0＜λ0＜λp，現(xiàn)讓 η 軸上的點 η0對應(yīng) λ軸上的點 λ0?？紤]到η3=η22/η1，那么點 η0在 η 軸上的對應(yīng)點為η22/η0。 因 為 η2＜η0＜η3， 所以η22＜η0η2＜η2/η3， 即η22＜η0η2＜η23/η1，那么有 η1＜η22/η0＜η2，即點 η0在 η 軸上的對應(yīng)點η22/η0位于η軸上點η1與η2之間?？紤]到0＜λ0＜λp，則-λp＜-λ0＜0，即λ軸上點λ0的對應(yīng)點-λ0位于λ軸上的點-λp與0之間。

表2 歸一化模擬帶通及低通濾波器幅頻特性各頻率點的對應(yīng)關(guān)系

為了保證頻率變換后，兩個歸一化的幅頻特性|HBP(jη)|和|HL(jλ)|，在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)的衰減dB數(shù)相同，那么各頻率點相對于對稱軸的壓縮比應(yīng)該相同，即：

考慮到 η3-η1=1，λp=1，將 λ0及 η0分別用 λ及η代替，那么由式（40）可得出歸一化頻率λ與η滿足下述關(guān)系：

考慮到式（44）及式（43），則可得模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，即：

可見，n階模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬帶通濾波器后，其階次變?yōu)?n。

2.2 利用模擬低通濾波器設(shè)計模擬帶通濾波器的步驟

（1）將模擬帶通濾波器的四個實際頻率歸一化處理，獲得：

（2）利用式（41）作頻率變換，并考慮到頻率點的對應(yīng)關(guān)系，則有：

因此，λp=1可直接給出，而αp、αs保持不變。其中，αp、αs分別為待設(shè)計的模擬帶通濾波器通帶允許的最大衰減及阻帶應(yīng)達到的最小衰減。

（3）按要求設(shè)計模擬低通濾波器，得到HL(p)。

（4）利用式（45）得到模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)。

3 雙線性變換

3.1 雙線性變換函數(shù)

雙線性變換函數(shù)定義為：

式（55）揭示了s平面與z平面的單值映射關(guān)系，即“一對一”映射關(guān)系，將這種映射變換關(guān)系稱為雙線性變換。

3.2 模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω之間的關(guān)系

考慮到式（55），則有：

利用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器時，模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω之間是線性關(guān)系，即Ω=ω/T，其中T為抽樣間隔。而式（57）表明，模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω之間產(chǎn)生了畸變，不再保持線性關(guān)系，而是非線性的正切函數(shù)關(guān)系。

4 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計

關(guān)于數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計，這里采用的方法是首先在s域上設(shè)計相應(yīng)的模擬帶通濾波器，再通過雙線性變換來完成z域上數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計。

4.1 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的過程

利用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的過程，如圖4所示。

圖4 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的過程

4.2 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的步驟

由圖4可知，用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器時，將經(jīng)歷下述步驟。

4.2.1 作預(yù)畸處理

將給定的數(shù)字帶通濾波器的技術(shù)指標ωsl、ω1、ω3、ωsh、αp及 αs變換成模擬帶通濾波器的技術(shù)指標：

此外，αp及αs保持不變。

4.2.2 作歸一化處理

將模擬帶通濾波器的技術(shù)指標Ωsl、Ω1、Ω3、Ωsh、αp及αs變換成歸一化模擬帶通濾波器的技術(shù)指標，若定義ΩBW=Ω3-Ω1，則有：

4.2.3 作頻率變換

將歸一化模擬帶通濾波器的技術(shù)指標ηsl、η1、η3、ηsh、αp及αs變換成歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標，利用式（41）作頻率變換，并考慮到頻率點的對應(yīng)關(guān)系有：

此外，αp及αs保持不變。

4.2.4 設(shè)計歸一化模擬低通濾波器

依據(jù)歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標λp=1、λs=min[|λs|,|-λs|]、αp及 αs，可以選用巴特沃斯模擬低通濾波器或切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器進行設(shè)計，得到歸一化模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HL(p)。

4.2.5 作逆頻率變換

通過式（42）作逆頻率變換，可以獲得歸一化模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HBP(q)，即：

4.2.6 作逆歸一化處理

通過式（44）作逆歸一化處理，可以獲得模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)，即：

4.2.7 作雙線性變換

通過式（55）作雙線性變換，可以獲得IIR數(shù)字帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HDBP(z)，即：

從式（71）知道，可將后面三個步驟合為一步，便可完成IIR數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計。

4.3 IIR數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計舉例

例4.1：試用切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器。技術(shù)指標要求：通帶范圍為200～400 Hz，通帶最大衰減，101g(4/3)dB在100 Hz以下和500 Hz以上衰減不小于18 dB，抽樣頻率fs=1 200 Hz。

（1）將數(shù)字帶通濾波器的頻率參數(shù)變換成歸一化的數(shù)字角頻率參數(shù)

（3）將模擬帶通濾波器的頻率作歸一化處理若定義ΩBW=Ω3-Ω1，則有：

于是a=13.648 707 898 2。

考慮到式（32），則有：

（6）作逆頻率變換

由式（69），并考慮到式（109），可得：

（7）作逆歸一化處理

由式（70），并考慮到式（110），可得：

由式（55），并考慮到式（111），可得：

下面檢驗設(shè)計的數(shù)字帶通濾波器是否滿足各項指標要求

考慮到式（112），則數(shù)字帶通濾波器的頻率特性為：

于是：

因此，所設(shè)計的數(shù)字帶通濾波器滿足技術(shù)指標要求。

5 結(jié) 語

本文介紹了歸一化切比雪夫多項式、歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器極點分布的特點、歸一化切比雪夫I型模擬低通濾波器的設(shè)計步驟，闡述了模擬帶通濾波器到模擬低通濾波器的頻率變換公式及利用模擬低通濾波器設(shè)計模擬帶通濾波器的步驟。最后，介紹了利用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的步驟，并給出了基于切比雪夫I型低通濾波器來設(shè)計IIR數(shù)字帶通濾波器的實例。