基于最小均方誤差估計和稀疏性先驗的圖像去噪

孫 冬，向 豪，盧一相，饒儒婷，楊 楊

(1．安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230601；2．安徽大學(xué) 電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

噪聲移除是圖像處理領(lǐng)域的一個基本問題．由于人類視覺系統(tǒng)對圖像邊緣結(jié)構(gòu)具有敏感性，因此對噪聲污染的圖像中相關(guān)邊緣和紋理的精確恢復(fù)是圖像去噪的主要研究內(nèi)容．自20世紀(jì)60年代以來，大量的文獻(xiàn)利用各類線性及非線性的方法對圖像去噪問題進(jìn)行了深入的研究和探索，采用的方法包括邊緣保護(hù)去噪[1-2]、多尺度幾何分析[3-6]、分形方法[7]、non-local塊平均[8-10]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]和稀疏表達(dá)模型[16]等，這些算法的性能主要取決于在噪聲去除的同時對圖像邊緣結(jié)構(gòu)信息的復(fù)原能力．

近年來對圖像表達(dá)模型的研究[11-13]表明，經(jīng)過訓(xùn)練的冗余字典不僅對噪聲具有較強的魯棒性，能夠產(chǎn)生更加稀疏的表達(dá)系數(shù)，可以靈活有效地捕捉圖像的邊緣結(jié)構(gòu)，并且更重要的是字典的原子具有局部性、方向性和帶通性的特點，這些特點與人類初級視皮層V1區(qū)的特性相符，因此相應(yīng)的圖像處理算法能夠產(chǎn)生與HVS(human visual system)更加一致的結(jié)果．論文根據(jù)圖像的稀疏表達(dá)模型，提出一種基于貝葉斯MMSE(minimum mean square error)估計復(fù)原框架下的圖像去噪算法．

1 基于稀疏表達(dá)模型的MMSE圖像復(fù)原方程

假設(shè)噪聲信號的觀測模型為

y=y0+e，

(1)

根據(jù)稀疏表達(dá)理論，若y0可被n×m維冗余字典A表達(dá)為y0=Ax0，則(1)式可寫為y=Ax0+e．

通過對x0的MMSE估計，有

(2)

得到原始無噪信號y0的近似為

考慮x0的最大后驗概率(maximum a posteriori, 簡稱MAP)估計為

(3)

記s為x的支撐，有

其中：Ω為x的所有可能的支撐構(gòu)成的集合．對于具有某個特定支撐s*的可行解x，在進(jìn)行P(x|y)求解時，求和號中只有支撐為s*的項會被保留，有

(4)

將(4)式代入(3)式得

又因為

P(xs|s,y)P(s|y)∝P(|s,xs)P(xs|s)P(s)，

有

(5)

(6)

(7)

上式也是x0的MMSE估計，即

(8)

(9)

根據(jù)貝葉斯公式，(9)式可寫為

(10)

上式中的P(s)項可近似為[16]

(11)

其中：α與β為參數(shù)，由x0支撐尺寸的概率密度函數(shù)P(k)決定．

對于(10)式中的P(y|s)項，由文獻(xiàn)[15]知

(12)

其中：c1為常數(shù)．將(11)和(12)式代入(10)式，得MMSE復(fù)原方程為

(13)

2 數(shù)值求解算法

(14)

為進(jìn)一步減少計算量，采用下述隨機OMP算法對(14)式進(jìn)行近似求解：

重復(fù)L次：

初始化階段：k=0，初始解x0=0，初始?xì)埐顁0=y-Ax0=y，初始支撐s0=support{x0}=Φ，下標(biāo)集B={b1,b2,…,bm}={1,2,…,m}．

迭代階段(重復(fù)k次)：

(1)k=k+1；

(2) 隨機選擇步：

(b) 對概率pj進(jìn)行歸一化；

(c) 根據(jù)B中的bj所對應(yīng)的概率pj，隨機選擇一個下標(biāo)值bj0；

(3) 支撐更新步：

(a) 更新支撐sk=sk-1∪{bj0}；

(b) 更新下標(biāo)集B=B/{bj0}；

(4) 更新解：計算在支撐sk下能夠使‖Axk-y‖最小化的解xk；

(5) 更新殘差：rk=y-Axk.

3 實 驗

圖1給出Lena圖像在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σe=20時的去噪結(jié)果．從帽子的邊緣、眼睛的輪廓等細(xì)節(jié)可以看出，算法能夠較好地對噪聲污染的高頻區(qū)域進(jìn)行重建，主觀視覺質(zhì)量較高，不產(chǎn)生明顯的鋸齒和模糊現(xiàn)象．為進(jìn)一步考查算法的去噪性能，圖1給出了peppers圖像在σe=50強噪聲情況下的復(fù)原結(jié)果．由圖1(a)、(b)可以看到，盡管圖像中絕大部分的邊緣細(xì)節(jié)已經(jīng)幾乎完全被淹沒在噪聲中，但該文提出的算法依然表現(xiàn)出了優(yōu)秀的性能，提供了可接受的邊緣復(fù)原結(jié)果．

圖1 含噪圖像(σe =50)及去噪結(jié)果((a)、(b))；含噪圖像peppers去噪結(jié)果(PSNR=28.40)((c)、(d))

作為客觀質(zhì)量評價，圖2給出了該文算法與其他3種去噪算法的PSNR結(jié)果進(jìn)行對比，這3種算法分別是：Lee濾波器去噪[1]、基于平移不變contourlet變換(translation-invariant contourlet transform, 簡稱TICT)的去噪[10]和基于K-奇異值分解(K-singular value decomposition,簡稱K-SVD)算法的圖像去噪[17]．

圖2 PSNR數(shù)值對比

由圖2可以看出，該文算法所對應(yīng)的去噪圖像有著更高的PSNR數(shù)值，與主觀的視覺質(zhì)量感受具有一致性．

4 結(jié)束語

綜上所述，基于稀疏表達(dá)模型和MMSE估計的圖像去噪算法能夠在有效抑制噪聲的同時，可以很好地保護(hù)圖像的邊緣結(jié)構(gòu)信息，具有較高的去噪圖像質(zhì)量，在醫(yī)學(xué)成像、測繪、視頻監(jiān)控等領(lǐng)域中擁有較大的應(yīng)用潛力．下一步的研究目標(biāo)應(yīng)主要集中在降低去噪處理時間上，可以考慮使用圖形處理器進(jìn)行加速．