時(shí)標(biāo)上一類二階非線性動(dòng)態(tài)方程振動(dòng)性的新準(zhǔn)則

覃桂茳，楊甲山

(梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院 廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣西 梧州 543002)

眾所周知, 時(shí)標(biāo)上的理論是Stefan Hilger于1988年在其博士論文中首次提出的, 其目的有兩個(gè): 一是為了統(tǒng)一離散分析和連續(xù)分析的理論, 將差分方程和微分方程的很多研究統(tǒng)一到同一種框架下進(jìn)行; 二是彌補(bǔ)了差分方程與微分方程之間的不足. 該理論提出后引起了學(xué)術(shù)界的廣泛興趣和高度重視[1-20]. 時(shí)標(biāo)上動(dòng)態(tài)方程的有關(guān)理論在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用, 如在自動(dòng)控制技術(shù)、生物種群動(dòng)力學(xué)、伺服力學(xué)、物理學(xué)(特別是核物理)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和生態(tài)領(lǐng)域、信息領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等, 并能解決許多不同領(lǐng)域里差分方程及微分方程不能解決的實(shí)際問題. 近年來, 對(duì)時(shí)標(biāo)上動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)和非振動(dòng)等定性理論的研究已有一些結(jié)果,見文獻(xiàn)[1-6, 9-20].論文考慮時(shí)標(biāo)上一類非常廣泛的二階Emden-Fowler型中立型變時(shí)滯泛函動(dòng)態(tài)方程

[a(t)φ1(yΔ(t))]Δ+f(t,φ2(x(δ(t))))=0，t∈T

(1)

由于作者感興趣的是當(dāng)t→∞時(shí)方程(1)解的振動(dòng)性, 所以假設(shè)supT=∞, 設(shè)t0∈T且t0≥0， 定義時(shí)標(biāo)區(qū)間[t0,∞)T=[t0,∞)∩T. 關(guān)于方程(1)的特殊情形, 已有文獻(xiàn)做過討論[1-2]. Saker[3]討論了當(dāng)α>1為正奇數(shù)之商時(shí)方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xα(t)=0

的振動(dòng)性, 但其結(jié)果對(duì)0<α≤1時(shí)不適用. 而Han等[4]和Hassan[5]解決了這個(gè)問題并改進(jìn)了Agarwal和Saker等的結(jié)果. 之后,Saker等[6]研究了當(dāng)α和β均為正奇數(shù)之商時(shí)方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(δ(t))=0

的振動(dòng)性,獲得了該方程振動(dòng)的一些充分條件.同樣, Güvenilir等[10]研究了當(dāng)α和β均為正奇數(shù)之商時(shí)方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(τ(t))=0

的振動(dòng)性,獲得了上述方程振動(dòng)的一些新準(zhǔn)則,推廣并改進(jìn)了已知的一些結(jié)果.但注意到當(dāng)α和β均為任意正實(shí)數(shù)時(shí)卻沒有方程的振動(dòng)結(jié)果.作者研究的是更為一般的泛函動(dòng)態(tài)方程(1)的振動(dòng)性, 改善了對(duì)方程的條件限制, 拓廣了α和β的取值范圍, 得到了方程(1)的一些振動(dòng)準(zhǔn)則,并同時(shí)得到了現(xiàn)有文獻(xiàn)中相應(yīng)的條件不滿足時(shí)方程(1)的新振動(dòng)準(zhǔn)則, 推廣并改進(jìn)了一些已有的結(jié)果.

1 幾個(gè)引理

論文主要結(jié)論的證明需要用到如下幾個(gè)引理.

引理1[7]設(shè)函數(shù)x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負(fù), 則

(2)

引理3[7]若A,B為非負(fù)實(shí)數(shù), 則當(dāng)λ>1時(shí),λABλ-1-Aλ≤(λ-1)Bλ， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B.

引理4[8](時(shí)標(biāo)上的H?lder不等式) 設(shè)a,b∈T且a

2 方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

定理1若存在一個(gè)正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)， 使得

(3)

其中:常數(shù)k如引理2所定義, 函數(shù)

(4)

其中：c1>0,c2>0為某常數(shù). 則方程(1)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

證明反證法. 設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一個(gè)非振動(dòng)解,不失一般性,設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0 (t∈[t1,∞)T，t1∈[t0,∞)T)(當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證), 則y(t)>0， 并且由方程(1), 可得

[a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)]Δ≤-q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=-q(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

所以a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)是嚴(yán)格單調(diào)減少的且最終定號(hào), 斷言yΔ(t)>0(t∈[t1,∞)T). 若不然, 則?t2∈[t1,+∞)T，使得yΔ(t2)<0. 因此由(5)式,得a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)≤a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=-M(t∈[t2,∞)T),其中：M=-a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=a(t2)|yΔ(t2)|α-1[-yΔ(t2)]>0，M為常數(shù).

[1-p(t)]y(t)≤x(t).

(6)

現(xiàn)考慮Riccati變換

(7)

則w(t)>0(t∈[t1,∞)T), 注意到(5)、(6)式, 由上式,當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí), 有

(8)

由(2)式, 可得

(9)

于是由(8)式, 并注意到(9)式, 當(dāng)0<β≤1時(shí), 有

當(dāng)β>1時(shí), 同樣有

利用a(t)(yΔ(t))α(t∈[t1,∞)T)的單調(diào)減少性, 可得

于是, 當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí),有

(10)

根據(jù)α,β的取值范圍,分下列3種情形:

(i) 當(dāng)β>α?xí)r, 由yΔ(t)>0，y(t)>0知, 存在常數(shù)c>0，使得yσ(t)≥y(t)≥c>0(t∈[t1,∞)T), 進(jìn)一步,有(yσ(t))(β-α)/α≥c(β-α)/α=c1.

(ii) 當(dāng)β=α?xí)r, 顯然(yσ(t))(β-α)/α=1.

(iii) 當(dāng)β<α?xí)r, 由于a(t)(yΔ(t))α≤a(t1)(yΔ(t1))α=b(t∈[t1,∞)T), 所以yΔ(t)≤b1/αa-1/α(t)(t∈[t1,∞)T),此式兩邊從t1到t(t∈[t1,∞)T)積分, 得

于是存在充分大的T∈[t1,∞)T及常數(shù)b1>0， 使得y(t)≤b1η-1(t)(t∈[T,∞)T), 因此, 當(dāng)t∈[T,∞)T時(shí),(yσ(t))(β-α)/α≥c2(ησ(t))(α-β)/α(c2=b1(β-α)/α).

綜合以上3種情形及(4)式的第2個(gè)式子, 由(10)式, 得

(11)

另一方面, 由(9)式可得

yΔΔ(t)≤0.

(12)

事實(shí)上, 當(dāng)α>1時(shí), 由(9)式知, [(y(t))α]Δ≥α(y(t))α-1yΔ(t)， 所以 [(yΔ(t))α]Δ≥α(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，于是

[a(t)(yΔ(t))α]Δ=aΔ(t)(yΔ(t))α+a(σ(t))[(yΔ(t))α]Δ≥

aΔ(t)(yΔ(t))α+αa(σ(t))(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，

注意到aΔ(t)≥0， 容易看出yΔΔ(t)≤0.

當(dāng)0<α≤1時(shí), 由(9)式得[(y(t))α]Δ≥α(y(σ(t)))α-1yΔ(t)， 同樣可得(12)式.

(13)

將(13)式代入(11)式, 得

(14)

在引理3中, 取λ=(α+1)/α， 且

及

代入引理3中的不等式, 并整理, 得

將上式代入(14)式, 得

上式意味著

(15)

這與(3)式矛盾, 定理1證畢.

定理2若存在一個(gè)正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)以及常數(shù)m≥1， 使得對(duì)充分大的T≥t0， 有

(16)

其中:函數(shù)γ1(t)及常數(shù)k的定義如定理1，則方程(1)在[t0,∞)T上是振動(dòng)的.

證明同定理1的證明, 可得(14)式,于是由(14)式及時(shí)標(biāo)上的分部積分法, 并注意到[(t-s)m]Δs≤-m(t-σ(s))m-1(t≥σ(s),m≥1), 得

(17)

將上式代入(17)式, 得

即

上式取上極限, 即得與(16)式矛盾, 定理2證畢.

注1若定理1中的條件(3)不成立或者定理2中的條件(16)不成立(其他文獻(xiàn)亦有類似的條件, 如文獻(xiàn)[11]中的條件(4.1)或(4.8)、文獻(xiàn)[12]中的條件(4)或(9)、文獻(xiàn)[13]中的條件(8)或(9)、文獻(xiàn)[14]中的條件(3.1)與(3.12)或(3.16)等), 則有如下的振動(dòng)準(zhǔn)則.

定理3若存在函數(shù)ζ(t)∈Crd(T,R)及一個(gè)正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)， 使得對(duì)充分大的T≥t0，當(dāng)u≥T≥t0時(shí), 有

(18)

(19)

并且函數(shù)ζ(u)滿足

(20)

證明同定理1的證明, 可得(14)和(15)兩式, 于是由(15)式, 當(dāng)t≥u≥T≥t0時(shí),有

考慮到(19)式, 于是, 當(dāng)u≥T時(shí), 有

(21)

同時(shí), 將(14)式兩邊積分, 可得

利用(21)式, 由上式可得

(22)

其中：M0=w(T)-ζ(T)是常數(shù). 至此, 可以斷言

(23)

于是由(22)式, 得

(24)

故對(duì)充分大的正整數(shù)n， 有

因此, 對(duì)ε∈(0,1)和充分大的正整數(shù)n， 容易得到

(25)

另一方面, 利用引理4(即H?lder不等式), 可得

分別利用(25)和(18)式, 由上式進(jìn)一步可得

這就與(24)式矛盾,所以(23)式是成立的. 于是, 注意到(21)式的第一個(gè)式子及(23)式, 得

這與(20)式矛盾,定理3證畢.

結(jié)合定理2, 利用與定理3類似的方法, 就可得到如下的定理.

定理4若存在函數(shù)ζ(t)∈Crd(T,R)及一個(gè)正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)以及常數(shù)m≥1， 使得對(duì)充分大的T≥t0， 當(dāng)u≥T≥t0時(shí), 有

(26)

(27)

并且函數(shù)ζ(u)滿足

(28)

例考慮動(dòng)態(tài)方程

(29)

顯然, 這是二階非線性差分方程:a(t)=t2/5，p(t)=1/2，q(t)=t-11/10，τ(t)=δ(t)=t/2且α=β=1的情形. 容易驗(yàn)證

為了簡單, 現(xiàn)取ξ(t)=1， 注意到當(dāng)t≥2時(shí),有

所以, (18)～(20)式顯然均滿足, 于是, 由定理3知, 方程(29)是振動(dòng)的.

注2由于

這就意味著論文定理1的條件(3)不滿足(可以驗(yàn)證定理2的條件(16)也不滿足), 因此定理1、2不能用于方程(29). 同時(shí), 現(xiàn)有文獻(xiàn)如[1-6,9-19]中定理的相應(yīng)條件也均不滿足, 所以這些文獻(xiàn)中的結(jié)果均不能用于方程(29).

論文針對(duì)時(shí)標(biāo)上一類非常廣泛的二階Emden-Fowler型中立型變時(shí)滯動(dòng)態(tài)方程, 利用時(shí)標(biāo)上的有關(guān)理論和一些分析技巧, 結(jié)合時(shí)標(biāo)上的H?lder不等式, 給出了該方程振動(dòng)的若干充分條件, 當(dāng)T=N和T=R時(shí)得到相應(yīng)的差分方程和微分方程振動(dòng)的有關(guān)結(jié)論, 推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一些結(jié)果.