如何上好《函數(shù)》的概念課

申海東

摘要：初中階段函數(shù)概念課的教學(xué)，一直是教學(xué)研究的重點(diǎn)課題，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)以實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括和歸納出函數(shù)概念，要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，感悟本章要解決的主要問(wèn)題、基本過(guò)程，滲透主要思想方法. 本文以“函數(shù)定義”為例，聚焦概念教學(xué)，探索概念教學(xué)的基本規(guī)律，再安排一些習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，這樣的教學(xué)程序?qū)W(xué)生理解變量函數(shù)是非常有利的，突出體現(xiàn)了函數(shù)來(lái)源于生活、抽象于現(xiàn)實(shí)生活的特點(diǎn).

關(guān)鍵詞：函數(shù) 概念 探索

核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須實(shí)現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過(guò)渡.這就要求在核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要重點(diǎn)考慮概念的來(lái)源、相關(guān)概念及其關(guān)系、概念的作用等，更要突出概念形成的過(guò)程性.特別值得注意的是，核心數(shù)學(xué)概念的形成不是一蹴而就的，常常需要幾節(jié)課或一個(gè)階段才能完成概念建構(gòu)，甚至是一個(gè)長(zhǎng)期、動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過(guò)程，函數(shù)概念就是最典型的例證.

新人教版的八年級(jí)數(shù)學(xué)（下）第十九章《一次函數(shù)》的起始課既是從研究常量轉(zhuǎn)為研究變量關(guān)系的起始課，又是正式學(xué)習(xí)函數(shù)的開(kāi)始，函數(shù)概念比較抽象，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，所以本節(jié)課主要是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，感知函數(shù)概念產(chǎn)生的必要性.由于在初中階段會(huì)多次學(xué)習(xí)不同函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)概念的理解可以通過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間去感悟、認(rèn)同、內(nèi)化，而不必在第一節(jié)課就對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行嚴(yán)格定義，否則會(huì)讓學(xué)生對(duì)其望而生畏.基于上述分析，本案例設(shè)計(jì)采取概念形成教學(xué)法，線索如下： 為什么要研究變量之間的關(guān)系——感悟兩個(gè)變量的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系——正確理解兩個(gè)“變量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系——函數(shù)的概念——概念鞏固.

學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課的時(shí)候，教師應(yīng)格外注意分析生活中一些實(shí)例，背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義.

問(wèn)題1 下面變化過(guò)程中的變量之間有什么聯(lián)系？

汽車(chē)以60 km/h的速度勻速行駛，行駛的時(shí)間為t h，行駛的路程為s km.

行駛時(shí)間t/h133.449…

行駛里程s/km60180204240540…

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，一邊出示行駛時(shí)間t，一邊由學(xué)生計(jì)算答案，一邊問(wèn)學(xué)生：

1.題目中出現(xiàn)了幾個(gè)變量？

2.對(duì)于一個(gè)給定的t值，你能算出幾個(gè)答案？

給學(xué)生一個(gè)具體的t值，它們能求出一個(gè)具體的s值，當(dāng)這個(gè)表格填完時(shí)，進(jìn)行追問(wèn)：

3.求答出的s值是不是唯一一個(gè)，還能有別的答案嗎？

學(xué)生說(shuō)沒(méi)有，如果有別的多個(gè)答案，那一定是算錯(cuò)了！以此，接下來(lái)的幾個(gè)問(wèn)題都這樣去問(wèn)，這樣的問(wèn)法，會(huì)給學(xué)生留下幾個(gè)印象：

1.我們研究的問(wèn)題中，都存在兩個(gè)變量，不能多也不能少；

2.這些變量中，當(dāng)給定一個(gè)變量的具體值之后，對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量也是可以求出相應(yīng)的值，并且這個(gè)值是唯一一個(gè).

以此來(lái)加深學(xué)生對(duì)于接下來(lái)函數(shù)定義的理解.當(dāng)然，光有表達(dá)式還是不夠的，還要有其他形式的函數(shù)出現(xiàn)：

問(wèn)題2 下面是中國(guó)代表團(tuán)在第23屆至30屆夏季奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)表，屆數(shù)和金牌數(shù)可以分別記作x和y，對(duì)于表中每一個(gè)確定的屆數(shù)x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的金牌數(shù)y嗎？

屆數(shù)x/屆2324252627282930

金牌數(shù)y/枚155161628325138

在學(xué)習(xí)這道題時(shí)，學(xué)生先觀察表格，再進(jìn)行提問(wèn)：

1.第一行表示什么？第二行表示什么？

2.找出第24屆一共獲得了多少枚金牌，30屆獲得了多少枚金牌？

學(xué)生能夠迅速找到答案.繼續(xù)追問(wèn)：

3.你們是如何找到的？會(huì)先看什么？然后再看什么？

學(xué)生感覺(jué)很容易，其實(shí)這蘊(yùn)含著如何讀表格的問(wèn)題，對(duì)于追問(wèn)與問(wèn)題1的相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)表格中，也有兩個(gè)變量，也有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

問(wèn)題3 下圖是北京某天的氣溫變化圖，你能根據(jù)圖象說(shuō)出某一時(shí)刻的氣溫嗎？

類(lèi)比上道題，學(xué)生先觀察圖像，并提問(wèn)：

1.橫軸表示什么？縱軸表示什么？

2.16時(shí)的氣溫是多少？0點(diǎn)時(shí)溫度是多少？

3.你在找這些溫度的時(shí)候，你會(huì)先看什么？然后怎么找到這個(gè)點(diǎn)的？然后又怎么知道這個(gè)點(diǎn)代表的溫度的？

因?yàn)槭呛?jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生很容易解決，但是在以后學(xué)習(xí)抽象的函數(shù)圖象的時(shí)候，圖象的觀察其實(shí)也是要經(jīng)歷這么一個(gè)過(guò)程，先看x軸上的具體數(shù)字，然后在上下兩個(gè)象限內(nèi)找出現(xiàn)的點(diǎn)，再然后觀察y軸這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字.在解決這道題時(shí)，我也會(huì)問(wèn)與問(wèn)題1相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生這次能夠明確感受到，這個(gè)圖象上的兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

結(jié)合這幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的分析和理解，總結(jié)剛才在分析問(wèn)題時(shí)，上面所有實(shí)例中變量之間的關(guān)系存在的共同特點(diǎn).這次學(xué)生能夠明確地分析出：第一，所有實(shí)例中，都存在著一種變化的過(guò)程；第二，所有的實(shí)例中，都含有兩個(gè)變量；第三，所有的實(shí)例中，對(duì)于其中一個(gè)變量給出了具體的數(shù)值之后，另一個(gè)變量就能求出相應(yīng)的并且是唯一一個(gè)確定的值.在三個(gè)問(wèn)題的互動(dòng)對(duì)話中，實(shí)現(xiàn)了幫助學(xué)生構(gòu)建整體框架，使學(xué)生面對(duì)一個(gè)新的概念時(shí)，有了一個(gè)“整體觀”，由此就很自然地引出了函數(shù)的定義.

為了更好地理解函數(shù)的定義，還可以舉出如下的反例：

如下圖是一只螞蟻在豎直的墻面上的爬行圖，請(qǐng)問(wèn)：螞蟻離地高度h是離起點(diǎn)的水平距離t的函數(shù)嗎？為什么？

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要利用函數(shù)的概念來(lái)進(jìn)行判斷，看看是不是存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以此作為判斷依據(jù).

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它可以揭示現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系進(jìn)行相互變化和依存的實(shí)質(zhì)，是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和變化世界的一個(gè)重要模型.以上的教學(xué)過(guò)程可以使學(xué)生感悟函數(shù)概念的產(chǎn)生背景和產(chǎn)生過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的興趣，掌握函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，同時(shí)還能讓學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維方式和方法，積淀數(shù)學(xué)思想和觀念，更加深刻地理解函數(shù)的概念.

參考文獻(xiàn)

[1]韓新正.感悟“對(duì)應(yīng)” 把握本質(zhì) 理解函數(shù)——談函數(shù)起始課教學(xué)的著力點(diǎn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016，（02）：

[2]聶家成.初中函數(shù)概念起始課有效教學(xué)的案例分析[J]. 新課程（上），2014，（07）：