如何利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的許多優(yōu)化問題

陳潔朋 王慶峰

一、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用步驟及類型

導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化問題分為兩種類型：其一是直接構(gòu)造函數(shù)型，將實(shí)際問題中涉及的各類未知及已知量進(jìn)行整理，并根據(jù)實(shí)際情況建立符合題意的數(shù)學(xué)模型及目標(biāo)函數(shù).言簡(jiǎn)意賅就是將實(shí)際問題情況轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，通過形式化及關(guān)系近似化，將復(fù)雜問題進(jìn)行簡(jiǎn)單處理，化為常規(guī)問題，選用合適的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解.其二是先進(jìn)行關(guān)系構(gòu)建，再進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造，通過坐標(biāo)系或是未知關(guān)系的建立等式，得到所需的問題方程，再進(jìn)行函數(shù)關(guān)系式的處理.在這類問題中，在給定的范圍內(nèi)，可能只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這就是這個(gè)問題解答的最值.不過，有時(shí)候也可能在給定范圍不存在極值，所以需要通過單調(diào)性等判斷在給定范圍內(nèi)的最值.

二、導(dǎo)數(shù)優(yōu)化生活問題的類型解讀

1.直接構(gòu)造函數(shù)型.

對(duì)于直接構(gòu)建函數(shù)型的導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問題，由于實(shí)際生活中的經(jīng)驗(yàn)積累或是其他原因，變量及因變量之間的函數(shù)關(guān)系比較明確，所以能夠較為便利地進(jìn)行導(dǎo)函數(shù)及命題函數(shù)的構(gòu)建，也能夠一目了然地根據(jù)所給的定義域進(jìn)行問題的分析.

例題1：某商場(chǎng)銷售某商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y與銷售價(jià)格x之間的關(guān)系滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax-3+10（x-6）2，其中x的取值范圍是：3

（1）求a值；

（2）若商品的成本價(jià)為3元/千克，試確定商品價(jià)值x為何值時(shí)，使得商品銷售該商品取得的利益值f（x）為最大.

解題過程如下：

（1）根據(jù)題意將點(diǎn)（5，11）帶入關(guān)系式y(tǒng)=ax-3+10（x-6）2，求解得：a=2.

（2）由（1）可知，商場(chǎng)每日商品銷售量為y=2x-3+10（x-6）2，所以利潤(rùn)f（x）=（x-3）[2x-3+10（x-6）2]=2+10（x-3）（x-6）2，3

當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x=4時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)x∈（4，6）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最大值為42.所以，當(dāng)商品價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品可獲得利潤(rùn)最大.

2.先建系再進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造型

先建系再進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造型的導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問題，第一步并不是根據(jù)題意進(jìn)行函數(shù)的建造，而是要根據(jù)實(shí)際情況將題意進(jìn)行簡(jiǎn)化.所以在解這類題型的時(shí)候要尤為注意關(guān)系近似化及形式化，數(shù)學(xué)化生活情境，才能夠?qū)⒆兞亢鸵蜃兞康娜≈导昂瘮?shù)進(jìn)行構(gòu)建，再者在導(dǎo)數(shù)的分析過程中，要注意實(shí)際情況和給定取值范圍內(nèi)函數(shù)的變化，才能夠很好地進(jìn)行導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.

例題2：某政府為科技興市，想要在一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地改建為一個(gè)矩形的高科技工業(yè)區(qū)，如圖所示，已知AB//BC，OA∥BC，且AB=BC=2AO=4km，曲線段OC是以點(diǎn)O為定點(diǎn)且開口向右的拋物線一段，如果要是矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)定點(diǎn)落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能夠使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大用地面積？（精確到0.1km2）

解題過程如下：先建立直角坐標(biāo)系，將圖形畫出，再根據(jù)圖線的形狀特點(diǎn)，設(shè)函數(shù)y2=2px（p>0）且由于點(diǎn)C（4，2），求得p=12，所以得出函數(shù)方程式為y2=x（0≤x≤4），從而可以得到工業(yè)區(qū)的面積S=（2+x）（4-x），化簡(jiǎn)得S=-x32-2x+4x12+8，則S′=32x12-2+2x-12，在x的定義域內(nèi)，S′（x）的變化如下圖：

x[0，49）49[49，4]

S′（x）+0-

S（x）單調(diào)遞增極大值9.5單調(diào)遞減

所以將工業(yè)園規(guī)劃成長(zhǎng)為329km，寬為83km時(shí)工業(yè)園的面積最大為9.5km2.

綜上所述，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的優(yōu)化問題的主要解題思路在于將各未知數(shù)的關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)男问交?shù)字化的處理，并且在實(shí)際問題解答時(shí)格外注意所給定的定義域范圍，在通過導(dǎo)數(shù)的求解，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后在回歸到實(shí)際問題中，才能夠有效地進(jìn)行問題優(yōu)化，幫助人們改善生活中的相關(guān)難題.