基于“學(xué)會(huì)思考”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為研究

姜先亮 朱桂鳳

【摘 要】 學(xué)會(huì)思考就是用“數(shù)學(xué)地思維”分析世界和思考世界.學(xué)會(huì)思考包括關(guān)聯(lián)思考、內(nèi)化思考和整合思考，涉及認(rèn)知表現(xiàn)、心理原型和信息判斷等心理過程.通過對(duì)“學(xué)會(huì)思考”的研究，有助于學(xué)生在“做中”抽象、“想中”表征和“說中”遷移.

【關(guān)鍵詞】 ?學(xué)會(huì)思考;數(shù)學(xué)教學(xué);學(xué)習(xí)行為

如何讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思考，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中值得研究的一個(gè)重要話題[1].澳大利亞教育部頒發(fā)的《澳大利亞數(shù)學(xué)課程》文本中，提及“課程聚焦于培養(yǎng)逐步復(fù)雜的數(shù)學(xué)理解、流暢、邏輯推理、分析思考和問題解決技能”.新加坡教育部公布的《初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》文本中，在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中包含“發(fā)展數(shù)學(xué)思考和問題解決技能，應(yīng)用這些技能公式化并解決問題”[2].聯(lián)合國教科文組織提出發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的“五大支柱”，包括學(xué)會(huì)求知（learning to know）、學(xué)會(huì)做事（learning to do）、學(xué)會(huì)共處（learning to live）、學(xué)會(huì)發(fā)展（learning to be）、學(xué)會(huì)改變（learning to change）五項(xiàng)能力.2016年9月中國制定了發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的三個(gè)部分（文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展和社會(huì)參與）、六個(gè)指標(biāo)（人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新）和十八個(gè)要點(diǎn).其中，學(xué)會(huì)求知、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)等“學(xué)會(huì)”行為都是學(xué)會(huì)思考的可替代概念，是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展、終身發(fā)展、全面發(fā)展以及健康發(fā)展的思維動(dòng)力體系，有助于人的“關(guān)鍵能力”的培養(yǎng)和“必備品格”的養(yǎng)成.

在數(shù)學(xué)認(rèn)知行為學(xué)研究范疇，學(xué)會(huì)思考就是用數(shù)學(xué)的思維“數(shù)學(xué)地”分析思考世界，學(xué)會(huì)“想數(shù)學(xué)”（同化、順應(yīng)和重組）、“做數(shù)學(xué)”（自變、共變和組塊）和“說數(shù)學(xué)”（抽象、表征和遷移），并用關(guān)聯(lián)、內(nèi)化和整合等認(rèn)知行為動(dòng)詞來刻畫和描述，主要涉及認(rèn)知表現(xiàn)、心理原型和信息判斷等過程性心理目標(biāo)（見表1）.這些深度思考行為，一方面有助于數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的層次性實(shí)現(xiàn)和基本思維方式的體驗(yàn)及其獨(dú)立思考行為的養(yǎng)成，另一方面有助于抽象數(shù)學(xué)、推理數(shù)學(xué)和建模數(shù)學(xué)三大能力的培養(yǎng)及其思維儲(chǔ)備.

1 ?關(guān)聯(lián)行為，是通過思維的同化、順應(yīng)與重組來實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)會(huì)思考的認(rèn)知表現(xiàn)

關(guān)聯(lián)是數(shù)學(xué)思考的橋梁，是思維運(yùn)動(dòng)的基石，是概念獲得的思維中介，是聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的思維方式，是“想數(shù)學(xué)”的外在表現(xiàn).在學(xué)會(huì)思考研究范疇，關(guān)聯(lián)特指將諸多零散事實(shí)和不確定經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)抽象術(shù)語和事物數(shù)個(gè)可觀測(cè)的具體特征之間的關(guān)系.比如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)三角形”起始概念課時(shí)，一般都會(huì)呈現(xiàn)教材中設(shè)置的“帆船”“金字塔”等圖片，讓學(xué)生抽象畫出自己理解的三角形，描述三角形特征并符號(hào)化以及類化舉例（比如，紅領(lǐng)巾、三角板、三明治等）.其中，“帆船+金字塔等→察覺生活中的三角形→抽象出數(shù)學(xué)中的三角形→可觀測(cè)到三條邊、首尾順次相接、三個(gè)內(nèi)角等特征”的關(guān)聯(lián)行為就是抽象術(shù)語與可觀測(cè)特征關(guān)系的建構(gòu)過程.也就是，經(jīng)驗(yàn)、事實(shí)與概念發(fā)生了關(guān)聯(lián).因此，就這一思維認(rèn)識(shí)來說，學(xué)會(huì)思考的過程就是概念與其本質(zhì)特征建立關(guān)聯(lián)的過程，沒有關(guān)聯(lián)就沒有概念關(guān)系的建立.概念理解的本質(zhì)就是關(guān)聯(lián)，規(guī)則的發(fā)生、發(fā)展與使用也是一種關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)推理是一種深度關(guān)聯(lián)（言之成理，落筆有據(jù)），這些不同的關(guān)聯(lián)有助于知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“舉一反三”“觸類旁通”“變式訓(xùn)練”都是一種關(guān)聯(lián)及其深度關(guān)聯(lián).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011）》）在數(shù)學(xué)思考目標(biāo)范疇，提出建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力.這里的“數(shù)感”“符號(hào)意識(shí)”“空間觀念”是從“生活世界”到“數(shù)學(xué)世界”建構(gòu)的抽象術(shù)語，其“生活→數(shù)學(xué)→生活”“活動(dòng)→思考→深度思考”等內(nèi)部關(guān)系的揭示就是關(guān)聯(lián)行為的結(jié)果及其結(jié)果狀態(tài)，而“幾何直觀+運(yùn)算能力”是非完全演繹推理，是學(xué)會(huì)思考的重要思維組成部分，有助于“猜想→驗(yàn)證”等“想數(shù)學(xué)”及其思維序列化.

就學(xué)會(huì)思考的實(shí)現(xiàn)方式來說，關(guān)聯(lián)是通過同化、順應(yīng)、重組來實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)會(huì)思考的認(rèn)知表現(xiàn).其中“同化關(guān)聯(lián)”是指不改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，直接將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到本質(zhì)特征相同的一類事物中去.像“你能再舉出生活中帶有三角形特征的實(shí)例嗎？”“你能再寫出幾個(gè)具有類似特征的式子嗎？”“再寫出幾個(gè)可以用‘因式分解法求解的一元二次方程并求解”等.這些類化抽象過程就是最為普遍的同化思考，有助于概念規(guī)則的關(guān)聯(lián)理解，也是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中的顯性變式的關(guān)聯(lián)形式.“順應(yīng)關(guān)聯(lián)”是將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新的情境中，需要調(diào)整原有的經(jīng)驗(yàn)或?qū)π屡f經(jīng)驗(yàn)加以概括，形成能包容新舊經(jīng)驗(yàn)的更高一級(jí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)外界的思考變化.

比如，在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行“因式分解”，知道x4-4=（x2+2）（x2-2），不能再分解;當(dāng)我們學(xué)習(xí)算術(shù)平方根以后，引進(jìn)無理數(shù)概念，將數(shù)的研究范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，知道x4-4=（x2+2）（x+ 2 ）（x- 2 ），這就是順應(yīng)思考.其實(shí)，引進(jìn)“虛數(shù)概念”后，將數(shù)的研究擴(kuò)充到復(fù)數(shù)范圍，代數(shù)式“x2+2”還可以進(jìn)一步分解，這是未來高中三年要研究的一個(gè)知識(shí)關(guān)聯(lián)，這里不做解釋.總之，順應(yīng)思考的結(jié)果是認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到改變（有理數(shù)→實(shí)數(shù)→復(fù)數(shù)），新概念（無理數(shù)、虛數(shù)等）建立過程就是順應(yīng)思考，有助于深度思考的發(fā)生.重組關(guān)聯(lián)是指重新調(diào)整原有認(rèn)知系統(tǒng)的要素及其各要素間聯(lián)系、各成分及其各成分之間的關(guān)系，并有序應(yīng)用于新的情境.有如“二元一次方程”到“一次函數(shù)”關(guān)系的建立，就是一種重組關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生抽象出可觀測(cè)的特征（“二元一次方程組的解”就是對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)），在幾何直觀和運(yùn)算算理的參與下，發(fā)展了深度關(guān)聯(lián)與深度思考等“想數(shù)學(xué)”的推理能力，實(shí)現(xiàn)了學(xué)會(huì)思考的“可能”與“不可能”目標(biāo).

2 ?內(nèi)化行為，是通過思維的自變、共變與組塊來實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)會(huì)思考的心理原型

“內(nèi)化”是心理學(xué)術(shù)語，是知識(shí)獲得的心理原型，是知識(shí)遷移的就緒狀態(tài)，是“做數(shù)學(xué)”的直接目標(biāo).從認(rèn)知心理學(xué)來看，“內(nèi)化”是外部認(rèn)知行為動(dòng)作向內(nèi)部思維的轉(zhuǎn)化，內(nèi)部思維動(dòng)作映像形成的過程.這就是人們常說的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是“內(nèi)化于心，外化于行”的思考過程，即“外部動(dòng)作輸入→思維內(nèi)化→內(nèi)部動(dòng)作映像輸出”是知識(shí)技能獲得的三個(gè)階段.日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“做數(shù)學(xué)（利用剪刀、紙張工具）→想數(shù)學(xué)（反思監(jiān)控）→說數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)建模）”就是內(nèi)化認(rèn)知行為作用的結(jié)果，是學(xué)習(xí)內(nèi)化的表現(xiàn)形式抑或具體例子.從心智技能形成過程看，心智技能的獲得是通過實(shí)踐動(dòng)作的內(nèi)化來實(shí)現(xiàn)的.在加里培林和安德森研究的基礎(chǔ)上，我國教育心理學(xué)家提出了原型定向、原型操作和原型內(nèi)化的心智技能形成三段論.這里的“原型”就是“心理原型”的替代概念，特指專家頭腦中高度約簡的經(jīng)驗(yàn)體系或者觀念的、內(nèi)潛的、簡縮的經(jīng)驗(yàn)組塊.數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則和數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)就是一種普遍的“認(rèn)知心理原型”.

可以說，心智技能培養(yǎng)的過程就是將專家頭腦中的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的過程.比如，平方差公式的學(xué)習(xí)，我們通過用覆蓋的方式讓小正方形紙片疊合在大正方形紙片上，在“作差思想”的指導(dǎo)下，研究未覆蓋部分的面積關(guān)系是a2-b2=（a+b）（a-b）.讓學(xué)生經(jīng)歷專家發(fā)現(xiàn)公式的過程，將專家頭腦中的公式轉(zhuǎn)化為學(xué)生的實(shí)踐行為，即學(xué)生能使用平方差公式進(jìn)行因式分解，這就是學(xué)生的心智技能得以培養(yǎng)的經(jīng)典例證.正如《課標(biāo)（2011）》指出的那樣，在呈現(xiàn)作為知識(shí)和技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.其中“抽象”可以理解為原型定向，“建模”可以理解為原型操作，而“解決問題”可以理解為原型內(nèi)化.基于這一認(rèn)識(shí)，可以說心智技能的獲得過程就是抽象、建模和解模的過程，有助于學(xué)生獲得完備的知識(shí)體系，即通過“動(dòng)手做”獲得有意義的“完形知識(shí)”.

就原型內(nèi)化論來說，內(nèi)化行為起于原型定向，成于原型操作，終于心智技能的獲得.內(nèi)化是在“組塊思維”的參與下，通過思維變量的“自變和共變”來實(shí)現(xiàn)的.在心理學(xué)中把要記憶的東西加以分類抑或加工使之成為一個(gè)小的整體，就稱之為“組塊”.比如，“特殊四邊形”就是一個(gè)大單元概念組塊，包括平行四邊形、矩形、菱形和正方形以及等腰梯形的概念、性質(zhì)、判定等體系要素.“自變”是自變量的替代概念，支配著學(xué)生自覺數(shù)學(xué)的能動(dòng)水平.“共變”是語言思維學(xué)術(shù)語，是語言和社會(huì)這兩個(gè)變數(shù)相互影響、相互作用的共變關(guān)系.比如，數(shù)學(xué)教育過程中的文字語言、圖形語言和符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)化就存在一種共變關(guān)系，另外“三角形三邊制約關(guān)系”的獲得過程也存在共變關(guān)系.為此，可以這樣說，原型定向就是組塊行為，原型操作就是自變行為，原型內(nèi)化就是共變行為.基于這一理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程必須做好三個(gè)維度的“學(xué)思考”工作：一是建構(gòu)意義組塊，定向認(rèn)知原型;二是用好自變行為，定向思維操作;三是關(guān)注有序共變，實(shí)現(xiàn)原型內(nèi)化.

內(nèi)化行為樣題： （1）圖1是一塊直角三角形紙片.將該三角形紙片按如圖方法折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕.試說明△CBE是等腰三角形;（2）再將圖1中的△CBE沿對(duì)稱軸EF折疊（如圖2）.通過折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合矩形，我們稱這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”.你能將圖3中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出折痕;（3）請(qǐng)你在圖4的方格紙中畫出一個(gè)斜三角形，同時(shí)滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形;②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)）上;（4）試探究一個(gè)非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時(shí)，一定能折成組合矩形？

如果說，問題（1）（2）是一種組塊行為，那么問題（3）是一種自變行為，則問題（4）是一種共變行為;如果說前兩個(gè)問題是一種原型定向的過程，那么第三個(gè)問題是一種原型操作過程，則第四個(gè)問題是原型內(nèi)化的過程.在學(xué)習(xí)困境驅(qū)動(dòng)理論看來，思維困惑或僵局有利于學(xué)習(xí)，促進(jìn)了批評(píng)性思考和學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)材料的深加工[3].這里可以把原型定向、組塊行為看作是思維困境（無序的折→定義組合矩形），那么原型操作、自變行為看作是批評(píng)性思考（畫組合矩形→畫組合正方形），則原型內(nèi)化、共變行為是思維的深加工（非特殊四邊形→可轉(zhuǎn)化成四個(gè)直角三角形→建構(gòu)組合矩形或組合正方形），有助于學(xué)會(huì)思考目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，促進(jìn)深度思考的有序進(jìn)行，進(jìn)而內(nèi)化心理原型，緩存建模能力和發(fā)展抽象素養(yǎng). ?3 ?整合行為，是通過思維的抽象、表征與遷移來實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)會(huì)思考的信息判斷

整合屬于認(rèn)知心理學(xué)概念，是知識(shí)遷移的表現(xiàn)形式，是系統(tǒng)概念獲得的重要途徑，是知識(shí)全息化、結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化的重要思維方式，是“說數(shù)學(xué)”的思維前提.比如，我們?cè)谘芯坑谩按ㄏ禂?shù)法”求“二次函數(shù)關(guān)系式”的適應(yīng)性（a≠0），首先根據(jù)給定的已知條件，選擇頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k、交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）、還是一般式y(tǒng)=ax2+bx+c等思考過程，然后借助方程組思維，獲取最簡潔的答案，這就是一種普遍的認(rèn)知整合行為.《課標(biāo)（2011）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)和整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)的整體性.這也是我們常常會(huì)把數(shù)學(xué)知識(shí)放在初中三年或高中六年的高度去學(xué)習(xí)的重要原因.進(jìn)一步來說，我們?cè)趯W(xué)習(xí)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，可以分別放在有理數(shù)、實(shí)數(shù)以及復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行整合研究，讓學(xué)生知道我們的思維應(yīng)該到哪里去，如何到達(dá)那里，為什么可以到達(dá)那里.毋容置疑，知識(shí)的整體性（包括概念、規(guī)則、算法、應(yīng)用）、結(jié)構(gòu)性（概念之間的內(nèi)部關(guān)系）以及體系化（數(shù)與代數(shù)系統(tǒng)、圖形與幾何系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)與概率系統(tǒng)、綜合與實(shí)踐系統(tǒng)）都是思維整合的結(jié)果形態(tài)，而思維綜合與思維概括是整合行為的關(guān)鍵詞.在深度信息加工研究范疇，整合行為是通過分析、抽象、綜合、概括等認(rèn)知活動(dòng)過程來表現(xiàn)的，使新舊經(jīng)驗(yàn)相互作用，形成結(jié)構(gòu)完整的心理系統(tǒng)及其概念圖（concept map）.這里的“概念圖”即表示概念與概念間相互關(guān)系的空間網(wǎng)絡(luò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.像“平行四邊形→矩形+菱形→正方形”就是非特殊四邊形的一個(gè)概念圖，這有助于學(xué)生修正錯(cuò)誤、充分發(fā)展自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升整合意識(shí)和監(jiān)控調(diào)節(jié)能力.

在數(shù)學(xué)思考目標(biāo)執(zhí)行范疇，思維認(rèn)知整合的過程就是數(shù)學(xué)抽象、多元表征和重組遷移的過程，而用數(shù)學(xué)地思維“說數(shù)學(xué)”是依靠抽象、表征和遷移來實(shí)現(xiàn)的.因此整合行為本身就是一種讓學(xué)生在思考中學(xué)會(huì)思考，在信息整合中實(shí)現(xiàn)正確的信息判斷與加工，從而發(fā)展深度思考能力.日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“講題行為”“說題行為”“思維拓展”“鏈接思考”都是說數(shù)學(xué)的一種表現(xiàn)形式，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)思考和學(xué)會(huì)獨(dú)立思考.這里的數(shù)學(xué)抽象（mathematical abstraction）是哲學(xué)的基本概念，指抽取出同類數(shù)學(xué)對(duì)象的共同的、本質(zhì)特征，剔除非本質(zhì)的屬性的思維過程.概念的發(fā)生、發(fā)展離不開數(shù)學(xué)抽象.多元表征（multiple representations）是將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用敘述性（言語化表征）或者描述性（視覺化表征）等思維形式進(jìn)行科學(xué)表達(dá).像“兩點(diǎn)之間，線段最短”就是敘述性表征，而“像這樣，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的方程叫一元一次方程”是描述性表征.遷移是普遍學(xué)習(xí)現(xiàn)象，平常所說的舉一反三、聞一知十、道生無限都是典型的遷移形式.由于遷移的存在，幾乎所有習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)都以各種方式相互聯(lián)系起來，即概念圖是思維遷移的產(chǎn)物.

另外，原有結(jié)構(gòu)的清晰性、穩(wěn)定性、概括性、包容性、連貫性和可辨別性都影響知識(shí)的遷移.基于這一理解，在整合學(xué)習(xí)中，尤其是解題學(xué)學(xué)習(xí)中，需要做好三個(gè)方面的“說數(shù)學(xué)”工作.一是通過不斷抽象，形成概念圖;二是進(jìn)行多元表征，形成問題解決產(chǎn)生式;三是關(guān)注信息判斷與整合遷移.讓學(xué)生體會(huì)基本思想和思維方式，實(shí)現(xiàn)將問題解決的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)在的思維智慧，從而培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”及其穩(wěn)定的思維品質(zhì).

整合行為樣題： 如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的是？（答案是中線）（2）如圖5，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由（設(shè)BC、AE的交點(diǎn)為F，則證△AFB≌△EFC即可），并過點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）（作出△AED的邊ED邊上的中線即可）;（3）如圖6，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC>S△ABC，過點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？（連接AC，過點(diǎn)B作AC的平行線交DC的延長線交于點(diǎn)E，基于圖5操作經(jīng)驗(yàn)，解答不困難）若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明（略）;若不能，說明理由.

賈德的經(jīng)驗(yàn)類化理論強(qiáng)調(diào)概括化的經(jīng)驗(yàn)或原理在遷移中的正向作用，而整合是通過“概括”和“表征”來完成的.因此，整合行為應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程.在整合行為樣題中，如果說問題（1）的設(shè)置是數(shù)學(xué)抽象的思維承擔(dān)載體，那么問題（2）是對(duì)數(shù)學(xué)建模的表征，是“說數(shù)學(xué)”的思維對(duì)象，則問題（3）是知識(shí)遷移的有效模型，是對(duì)抽象思維、表征思維的一種有序整合.這種意義遷移，讓學(xué)生既獲得了解決問題套路，也獲得了學(xué)會(huì)思考能力，這就是用“整合行為”研究數(shù)學(xué)的最大優(yōu)勢(shì).就認(rèn)知心理學(xué)看，這與“獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心”的課標(biāo)觀念，具有內(nèi)部關(guān)系一致性.

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