在猜想與探究活動(dòng)中提高問題解決能力

李樹臣

我國的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）從“知識(shí)技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個(gè)方面對課程的“總目標(biāo)”進(jìn)行了具體的闡述，對“問題解決”的具體要求如下[1]：

（1）初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.

（2）獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).

（3）學(xué)會(huì)與他人合作交流.

（4）初步形成評價(jià)與反思的意識(shí).

普遍認(rèn)為問題解決既是課程目標(biāo)，又是一種數(shù)學(xué)能力.最近幾年的中考題中常見考查學(xué)生問題解決能力的題目，這就“迫使”我們在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生問題解決能力的教學(xué)和訓(xùn)練，為探討提高學(xué)生問題解決能力的教學(xué)途徑，我們在本文從河南省2019年的中考第22題為例談起.

1.5 試題簡評

（1）符合《課標(biāo)（2011年版）》提出的基本理念要求

《課標(biāo)（2011年版）》基本理論的核心是“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[1].落實(shí)這個(gè)理念的主要做法就是教學(xué)中要面向全體學(xué)生，但在實(shí)際教學(xué)中，大多數(shù)教師的“課”主要還是面對“優(yōu)秀生”設(shè)計(jì)并展開的，表現(xiàn)在“三個(gè)統(tǒng)一”（例題統(tǒng)一，練習(xí)題統(tǒng)一，要求統(tǒng)一）上，這必然導(dǎo)致“學(xué)困生”掉隊(duì).這樣的教學(xué)根本不可能實(shí)現(xiàn)上面的核心理念.本題為我們開展面向全體教學(xué)提供了一個(gè)有效策略——著眼于過程設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).

本考題能照顧到各個(gè)方面的學(xué)生，考題分三部分，大部分考生在解答這個(gè)問題時(shí)都能有收獲：即使是學(xué)習(xí)比較困難的學(xué)生，通過閱讀題意、觀察圖1，也能發(fā)現(xiàn)BD與CP分別在△ABD和△ACP中，憑直覺，這兩個(gè)三角形“應(yīng)該”是全等的，考慮到△ABC是等腰三角形以及α=60°，不難證明出△ACP≌△ABD.從而得到對問題（1）的解答.后面的“類比探究”與“解決問題”部分，主要是針對優(yōu)等生設(shè)計(jì)的.因此，無論哪個(gè)層次的學(xué)生在思考、解答本題的過程中都能有所收獲.

這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)著眼于“活動(dòng)過程”的設(shè)計(jì)來落實(shí)“面向全體”的理念：對于一個(gè)題目的條件，可以設(shè)計(jì)多個(gè)小問題，這些小問題之間有一定層次和聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生努力進(jìn)行解答，但不要求所有學(xué)生都要完成對所有小問題的解答.

（2）突出了對“四基”的考查

本題屬于“綜合壓軸題”，對于學(xué)生的考查也是多方面的：

①知識(shí)角度

從解答本題的過程中，可以看出，解答時(shí)用到的知識(shí)比較多（見前面的1.2）.

②能力方面

本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、觀察能力、猜想能力、類比能力、探究能力，證明能力、書面表達(dá)能力等.

③思想方法角度

解答過程主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、特殊到一般的思想以及分類討論的思想等.

例如，在“觀察猜想”部分，題目給定的點(diǎn)P在△ABC內(nèi);在“類比探究”部分，點(diǎn)P在△ABC外面，這兩種情況“暗示”出在“解決問題”部分，需要對點(diǎn)P分為在△ABC內(nèi)、外兩種情況進(jìn)行討論.這就導(dǎo)致“解決問題”部分中 AD CP 的值有兩個(gè)，這一點(diǎn)學(xué)生往往由于考慮不全，容易出現(xiàn)“漏解”現(xiàn)象，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.

學(xué)生通過解答本題，提高了他們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)有關(guān)知識(shí)與方法解決問題的能力，對于問題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展也是非常有益的.是落實(shí)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[1]課程目標(biāo)的具體體現(xiàn). ?2 ?培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的主要措施

學(xué)生問題解決的能力是在解決具體數(shù)學(xué)問題的過程中逐漸形成和發(fā)展起來的，提高這種能力的途徑有很多，實(shí)踐證明下面的幾條措施至關(guān)重要.

2.1 強(qiáng)化“四基”教學(xué)

《課標(biāo)（2011年版）》關(guān)于課程的“總目標(biāo)”提出了三條要求，其中第一條是“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”[1].這就是我們常說的“四基”.“四基”之間密切聯(lián)系，互相促進(jìn)，這種關(guān)系可用圖6直觀的表示[4].

由此可見，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)是他們掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能、感悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“源泉”.

根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》的要求，在“四基”的教學(xué)時(shí)，應(yīng)認(rèn)真研讀課程內(nèi)容，并對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“二次改造”，將其創(chuàng)設(shè)成引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種數(shù)學(xué)活動(dòng)的問題系列，讓學(xué)生經(jīng)歷下面三個(gè)過程并參與一個(gè)活動(dòng)[5]：

（1）經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程，掌握有關(guān)數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

（2）經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能;

（3）經(jīng)歷在實(shí)際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

（4）參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法解決簡單問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.2 重視數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)題設(shè)中給出的已知條件、圖形，以及推證的結(jié)果，運(yùn)用聯(lián)想、類比、歸納等多種思維方法，結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，對未知量、圖形及相互關(guān)系所作出的一種推斷或判斷，它是綜合運(yùn)用邏輯思維方法和形象思維方法、直覺思維方法的結(jié)果，在進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想的過程中，表現(xiàn)出豐富的想象力和深邃的洞察力[6].

牛頓曾說：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).可見，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，對于提高他們的問題解決能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，可以通過下面的途徑培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力：