線性代數(shù)中行列式性質(zhì)的講法

白忠玉

【摘要】在應(yīng)用型本科背景下，基于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹了線性代數(shù)課程現(xiàn)狀，分析了行列式性質(zhì)的引入、內(nèi)容與應(yīng)用，提出了關(guān)于講解行列式性質(zhì)的一些想法.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);行列式性質(zhì);應(yīng)用型本科

目前應(yīng)用型本科線性代數(shù)課程出現(xiàn)一些新變化，課時(shí)被壓縮，重應(yīng)用輕理論，教材內(nèi)容沒有減少，教學(xué)要求越來越高，有些專業(yè)甚至不再開設(shè)線性代數(shù).在這種情況下，如果再按部就班完整系統(tǒng)地講授，時(shí)間不允許，內(nèi)容講不完，學(xué)生不易學(xué).考慮到應(yīng)用型本科學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍薄弱，尤其是理論方面，有必要對(duì)線性代數(shù)的講法進(jìn)行一些創(chuàng)新.

本文以線性代數(shù)中行列式性質(zhì)這一節(jié)為例，來談一談應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程講法.行列式性質(zhì)是必須掌握的重要理論，是計(jì)算行列式的關(guān)鍵，難點(diǎn)是如何靈活運(yùn)用行列式的性質(zhì)，巧妙而簡(jiǎn)潔地計(jì)算出行列式的值.對(duì)線性代數(shù)行列式，已有一些研究結(jié)果，見[1-6].下面討論在行列式性質(zhì)教學(xué)中要注意的幾個(gè)問題，如引入、性質(zhì)與應(yīng)用等.

一、引 入

應(yīng)用型本科教學(xué)對(duì)理論要求不是太高，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力，而行列式性質(zhì)又比較抽象，在講行列式性質(zhì)之前，可適當(dāng)選取一些三階行列式的例子，讓學(xué)生計(jì)算出各行列式的值，教師再講解，這樣既復(fù)習(xí)鞏固了前面已學(xué)行列式的有關(guān)知識(shí)，又為引出行列式的性質(zhì)做鋪墊，與傳統(tǒng)的理論推導(dǎo)相比，學(xué)生容易接受，事半功倍.

二、性 質(zhì)

大多數(shù)線性代數(shù)教材中行列式性質(zhì)編排得比較雜亂，給教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)帶來很大的困難.在此，我們總結(jié)出行列式的性質(zhì)，雖然沒有經(jīng)過嚴(yán)密的證明，卻降低了學(xué)生理解行列式性質(zhì)的難度，又培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會(huì)歸納的良好習(xí)慣，也符合應(yīng)用型本科教學(xué)的實(shí)際情況，提高了教學(xué)效率.同時(shí)，為了便于學(xué)生記憶和掌握，我們給每條性質(zhì)簡(jiǎn)單命名.當(dāng)然，這些性質(zhì)可以推廣到更高階的行列式.

（一）轉(zhuǎn) 置

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=D′.

（二）互 換

交換行列式的兩行（列）一次，行列式變號(hào)一次.

（三）提公因子

行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式的外面.

（四）零 值

（1）若行列式中有一行（列）元素全為零，則行列式為零.

（2）若行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式為零.

（3）若行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式為零.

（五）分 解

若行列式某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和.

（六）倍 加

把行列式某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）上去，行列式的值不變.

三、應(yīng) 用

和應(yīng)用型本科其他課程的學(xué)習(xí)一樣，線性代數(shù)也要注重應(yīng)用.教師在教學(xué)中要簡(jiǎn)要介紹行列式有哪些應(yīng)用，以及如何應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到行列式的重要性，感覺到線性代數(shù)課不再抽象枯燥，從而提高學(xué)習(xí)興趣和積極性.

學(xué)習(xí)了行列式性質(zhì)后，我們就可以計(jì)算行列式、解線性方程組、判斷方陣是否可逆等.行列式在其他學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如微積分中重積分的變量代換、解析幾何中求曲線方程和曲面方程、代數(shù)中構(gòu)造行列式證明不等式和定理等.在以后的學(xué)習(xí)中，大家將會(huì)看到行列式在工程技術(shù)、數(shù)據(jù)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用.本文只闡述運(yùn)用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式和解線性方程組.

（一）計(jì)算行列式

大家已經(jīng)熟知上（下）三角形行列式的結(jié)果，因此，計(jì)算行列式時(shí)，常利用行列式的性質(zhì)，根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，把它化為上（下）三角形行列式，此時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值，這種方法稱為“化三角形法”.

（二）解線性方程組

當(dāng)線性方程組中方程的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，且有唯一解時(shí)，我們可以用行列式來解方程組，這就是“克萊姆法則”.一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時(shí)，計(jì)算量比較大，往往可以用計(jì)算軟件來解決.

至于其他方面的應(yīng)用問題，此處不再贅述，大家可參閱相關(guān)文獻(xiàn)和書籍.

【參考文獻(xiàn)】

[1]舒阿秀.關(guān)于線性代數(shù)中行列式教學(xué)的思考[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006（3）：46-47.

[2]常華珍.巧用行列式性質(zhì) 發(fā)展學(xué)生的智力[J].吉林教育：教科研版，2007（8）：44-45.

[3]房宏，金惠蘭，穆志民，等.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016.

[4]蘇岐芳，夏志樂.基于能力培養(yǎng)的“線性代數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào)，2017（6）：53-56.

[5]楊先山.行列式及其性質(zhì)的幾何解釋[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017（6）：9-11.

[6]翟全禮.關(guān)于行列式的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].科技資訊，2017（34）：138-139.