培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的九年級(jí)教學(xué)實(shí)踐
——以“反比例函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例

☉安徽省宣城市第六中學(xué) 葛福壽

一、問題提出

九年級(jí)新課結(jié)束后，學(xué)生還要在中考前進(jìn)行一兩輪的復(fù)習(xí)，其中復(fù)習(xí)課是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)既要鞏固、消化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，又要查缺補(bǔ)漏、歸納解題方法，吃透中考考點(diǎn)及常見題型，深化對(duì)知識(shí)的提升，提高復(fù)習(xí)效果.本文以“反比例函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，探討、構(gòu)建并完善九年級(jí)數(shù)學(xué)有效復(fù)習(xí)的模式，結(jié)合新課改下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透，談如何才能激起學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的興趣，讓他們形成完整的知識(shí)體系，提高他們運(yùn)用知識(shí)、解決問題的能力，談高效的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)策略，以期拋磚引玉.

二、設(shè)計(jì)思路

反比例函數(shù)是函數(shù)的重要知識(shí)，是中考必考內(nèi)容，核心知識(shí)是反比例函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用.從學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析，反比例函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性容易混淆，用函數(shù)觀念看待方程、不等式、函數(shù)間的關(guān)系，在理解上、思維方式上存在一定困難，用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題需要建模的思路與策略，需要一定的生活背景知識(shí)，對(duì)學(xué)生有較高要求.基于以上分析，以學(xué)習(xí)函數(shù)最本質(zhì)的思想——數(shù)形結(jié)合思想為立意，設(shè)計(jì)腳手架——函數(shù)圖像，在課堂探究的過程中，加深對(duì)反比例函數(shù)的理解，以期達(dá)到本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo).

三、教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：師生合作，“溫故”核心知識(shí)

1.觀看微課，整理核心知識(shí)

考點(diǎn)1：反比例函數(shù)的概念.

考點(diǎn)2：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).

函數(shù)的圖像：

表1

函數(shù)的性質(zhì)：

表2

k的幾何意義：

表3

考點(diǎn)3：反比例函數(shù)解析式的確定.

求解析式的一般步驟：

（2）根據(jù)已知條件列出含k的方程；

（3）求待定系數(shù)k的值；

求解析式的兩種途徑：

（1）根據(jù)問題中兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系直接寫出；（2）在已知兩個(gè)變量x、y具有反比例關(guān)系y=（x≠0）的前提下，根據(jù)一對(duì)x、y的值，列出一個(gè)關(guān)于k的方程，求得k的值，確定出函數(shù)的解析式.

考點(diǎn)4：反比例函數(shù)的應(yīng)用.

利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，首先建立函數(shù)模型.一般地，建立函數(shù)模型有兩種思路：一是通過問題提供的信息，知道變量之間的函數(shù)關(guān)系，在這種情況下，可先設(shè)出函數(shù)的解析式y(tǒng)=（k≠0），再由已知條件確定解析式中k的取值即可；二是問題本身的條件中不確定變量間是什么關(guān)系，此時(shí)要通過分析找出變量的關(guān)系并確定函數(shù)的解析式.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生觀察核心知識(shí)要點(diǎn)，幫助學(xué)生梳理中考考點(diǎn)，讓學(xué)生建構(gòu)知識(shí)框架，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

2.結(jié)合核心內(nèi)容，整理出中考試題與之相關(guān)的情境要點(diǎn)

PPT：呈現(xiàn)中考試題“要點(diǎn)”（見表4）.

表4 安徽中考試題“要點(diǎn)”

設(shè)計(jì)意圖：通過整理近10年安徽省中考數(shù)學(xué)試題中考查的核心“要點(diǎn)”，讓學(xué)生明確復(fù)習(xí)的方向，及時(shí)查漏補(bǔ)缺，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為學(xué)生升入高中的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

教學(xué)環(huán)節(jié)二：師生探究，復(fù)習(xí)新知

（一）考點(diǎn)互動(dòng)探究，基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

A.1 B.2 C.-2 D.-1

圖1

（3）（2017年天津）若點(diǎn)A（-1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）在反比例函數(shù)的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）.

A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3

2.反比例函數(shù)的對(duì)稱性

（2015年蘭州）點(diǎn)P（1x1，y1）、P（x2，y2）在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像上，若x1=-x2，則（ ）.

A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.y1=-y2

3.反比例函數(shù)與方程不等式

A.1＜x＜6 B.x＜1 C.x＜6 D.x＞1

圖2

圖3

變式：圖3是反比例函數(shù)y1=和一次函數(shù)y2=mx+n的圖像，若y1＞y2，則相應(yīng)的x的取值范圍是______.

4.反比例函數(shù)中k的幾何意義

（1）（2015年齊齊哈爾）如圖4，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為3，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為______.

圖4

圖5

（2）（2015年孝感）如圖5，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖像上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖像上，則k的值為（ ）.

A.-4 B.4 C.-2 D.2

設(shè)計(jì)意圖：從基本問題出發(fā)，層層深入，不斷變式，讓學(xué)生掌握函數(shù)值大小比較，學(xué)會(huì)從特殊到一般的研究方法，體會(huì)借助圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.設(shè)計(jì)利用圖像法解不等式，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、抽象的過程，從而更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)、方程、不等式三者間的關(guān)系，開闊學(xué)生的思維.既讓學(xué)生掌握基本內(nèi)容，又達(dá)到訓(xùn)練的目的，且能使題型設(shè)計(jì)層層深入，有梯度、有層次，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

（二）考點(diǎn)互動(dòng)探究，典例剖析

（2012年安徽第21題，12分）甲、乙兩家商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，甲商場(chǎng)采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元……乙商場(chǎng)按顧客購買商品的總金額打6折促銷.

（1）若顧客在甲商場(chǎng)購買了510元的商品，付款時(shí)應(yīng)付多少錢？

（2）若顧客在甲商場(chǎng)購買商品的總金額為x（400≤x＜600）元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p（p=，寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明p隨x的變化情況；

（3）品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲、乙兩商場(chǎng)的標(biāo)價(jià)都是x（200≤x＜400）元，你認(rèn)為選擇哪家商場(chǎng)購買商品花錢較少？請(qǐng)說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要內(nèi)容和數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)反比例函數(shù)應(yīng)用題，讓學(xué)生經(jīng)歷問題情境→建立模型→求解的過程，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2011年安徽第21題，12分）如圖6，函數(shù)y1=k1x+b的圖像與函數(shù)y2=（x＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）.

（1）求函數(shù)y1的表達(dá)式和B點(diǎn)的坐標(biāo)；

圖6

（2）觀察圖像，比較當(dāng)x＞0時(shí)，y1和y2的大小.

設(shè)計(jì)意圖：本題主要是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，此類題目在中考中很常見，讓學(xué)生通過小組交流加深對(duì)本習(xí)題的理解，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)環(huán)節(jié)三：復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高

（2018年安徽第13題，5分）如圖7，正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=的圖像有一個(gè)交點(diǎn)A（2，m），AB⊥x軸于點(diǎn)B，平移直線y=kx使其經(jīng)過點(diǎn)B，得到直線l，則直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是_________.

圖7

圖8

（2015年安徽第21題，12分）如圖8，已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=kx＋b的圖像交于點(diǎn)A（1，8）、B（-4，2m）.

（1）求k1、k2、b的值；

（2）求△AOB的面積；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函數(shù)y=的圖像上兩點(diǎn)，且x1＜x2，y1＜y2，指出點(diǎn)M、N各位于哪個(gè)象限，并簡(jiǎn)要說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)圖像出發(fā)，到函數(shù)解析式，再到結(jié)合圖像上點(diǎn)的特征，完成了對(duì)函數(shù)圖像與解析式的相互轉(zhuǎn)化，蘊(yùn)含了從數(shù)與形兩個(gè)角度審視同一問題的觀點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合思想方法的完美體現(xiàn).通過這兩題的練習(xí)，讓學(xué)生了解中考的出題動(dòng)向，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心和勇氣.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：自我評(píng)價(jià)，反思內(nèi)化

1.總結(jié)

（1）這節(jié)課主要復(fù)習(xí)的內(nèi)容、方法有哪些？

（2）你有哪些收獲？

2.分享收獲

一種思想：數(shù)形結(jié)合思想（用數(shù)表達(dá)，用形釋義）；

兩種性質(zhì)：增減性、對(duì)稱性；

三種應(yīng)用：比較大小問題，方程、不等式、函數(shù)問題，實(shí)際問題.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自我反思，自我整理，教師根據(jù)學(xué)生的小結(jié)，展示歸納好的有關(guān)反比例函數(shù)的幾點(diǎn)收獲.變教師“一言談”為學(xué)生的“群言談”，這有助于學(xué)生概括能力、抽象能力、表達(dá)能力的提高.教師展示的提煉式歸納起到畫龍點(diǎn)睛的作用，易于學(xué)生理解.

四、課后反思

本節(jié)課能達(dá)成預(yù)定的目標(biāo)，教學(xué)方法和手段合理，前后過渡自然，同時(shí)關(guān)注到師生間的合作，沒有以問代灌.但在某些問題提出后留給學(xué)生思考的時(shí)間不夠長(zhǎng)，在今后的教學(xué)中，要加強(qiáng)課堂習(xí)題的精選，注意備課的精細(xì)化，留給學(xué)生更多思考的空間與時(shí)間，這樣的課堂才是順暢型課堂、高效型課堂.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，核心素養(yǎng)之間的關(guān)系也不是彼此獨(dú)立的，這就需要我們不斷在教學(xué)實(shí)踐中，以數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為載體，將數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思想觀念的建構(gòu)、科學(xué)探究與解決問題能力的發(fā)展、創(chuàng)新意識(shí)等方面的要求融為一體，形成完整的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系.W