解決導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題的策略例析*

江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002)丁紫妍 濮安山

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性和切線(xiàn)等問(wèn)題的有力工具,其中,零點(diǎn)問(wèn)題在導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題中是至關(guān)重要的,很多不等式恒成立、函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題都是通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求解解決的.但是有些零點(diǎn)是不容易求出的,這就需要我們采取特殊的方法進(jìn)行求解.本文通過(guò)舉例說(shuō)明來(lái)給出求解導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題的策略.

例1已知(x-1)lnx-a≥0 恒成立,求a的取值范圍.

由題意a≤(x-1)lnx恒成立,令f(x)= (x-1)lnx,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于f′(x)這樣的超越函數(shù),我們不能直接求出它的零點(diǎn),我們把這種能判斷其存在卻不能精確求出的零點(diǎn)叫做“隱零點(diǎn)”.那么,導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”的問(wèn)題該如何求解? 本文以近幾年的高考題為例,總結(jié)了“隱零點(diǎn)”相關(guān)問(wèn)題的求解策略.

一般來(lái)說(shuō),不能直接求出數(shù)值的零點(diǎn),即“隱零點(diǎn)”問(wèn)題常常作為高考的壓軸題出現(xiàn),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)不易跨過(guò)的難點(diǎn).這樣的零點(diǎn)比較“虛無(wú)”,存在但又沒(méi)有具體數(shù)值.對(duì)于“隱零點(diǎn)”的不同類(lèi)型的問(wèn)題,解決策略也是各種各樣,下面是幾種比較常見(jiàn)的解決策略.

1、先觀(guān)察,后試值

上述問(wèn)題,導(dǎo)函數(shù)f′(x)= 0 是一個(gè)超越方程,直接求解比較困難,這時(shí)可以先觀(guān)察導(dǎo)函數(shù),然后憑借“直覺(jué)”代入幾個(gè)特殊的值,看它是否恰好為方程的根,這個(gè)過(guò)程叫做試值.

解析通過(guò)試值可以得到f′(1)= 0,即x= 1 是一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0＜x ＜1 時(shí),f′(x)＜0;x ＞1 時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1)=0?a≤0.

評(píng)析可以看出,試值法是一個(gè)比較巧妙的方法,沒(méi)有什么技巧性,更多的是一種基于經(jīng)驗(yàn)的直覺(jué)判斷,在難以求出零點(diǎn)時(shí),用看似可能的值代入,也許會(huì)帶來(lái)“驚喜”,問(wèn)題也會(huì)迎刃而解.一般地,當(dāng)導(dǎo)數(shù)含有ex時(shí),用0、1 或lna(這里的a為一個(gè)常數(shù))來(lái)試值,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有l(wèi)nx時(shí),用1 或en(n為常數(shù))試值.

2 二次求導(dǎo)

當(dāng)試值無(wú)果時(shí),我們可以嘗試對(duì)超越函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo),把它化為更簡(jiǎn)單的形式.

例2已知函數(shù)f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若不等式f(x)≤0 恒成立,求的最小值.

解析f(x)≤0 恒成立等價(jià)于lnx≤(e-a)x-b恒成立,可以轉(zhuǎn)化為y=lnx的圖像恒在直線(xiàn)y=(a-e)x+b下方,設(shè)y=lnx的圖像與直線(xiàn)y=(a-e)x+b平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為(x0,y0),由y=lnx得則由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線(xiàn)方程為要使lnx≤(e-a)x-b恒成立,則從而令則

這里若直接求h′(x)= 0 的解,發(fā)現(xiàn)無(wú)法求出,再用試值法也不能解出零點(diǎn).于是我們可以嘗試對(duì)它二次求導(dǎo),令g(x)=ex+lnx,此時(shí)g(x)的零點(diǎn)很容易求出,且g(x)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以

評(píng)析二次求導(dǎo)可以讓復(fù)雜的超越函數(shù)變得更容易求出零點(diǎn),也可以通過(guò)二次求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)變化來(lái)研究原函數(shù)的單調(diào)性或者它們的恒正、恒負(fù).

3 虛設(shè)零點(diǎn)

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過(guò)二次求導(dǎo)也無(wú)法判斷它的零點(diǎn)時(shí),就可以在一定的范圍內(nèi)假設(shè)存在一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)然,這個(gè)范圍也是要通過(guò)零點(diǎn)存在性定理判斷的.這個(gè)虛設(shè)的零點(diǎn)常為x0,使f′(x0)=0.

例3(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)x ＞0 時(shí),(x-2)·ex+x+2＞0;

(2)證明：當(dāng)a ∈[0,1)時(shí),函數(shù)(x ＞0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

解析這里的第(1)題可以直接通過(guò)求解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)解出.f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,+∞),f′(x)=求出函數(shù)的零點(diǎn)為x= 0,且僅當(dāng)x= 0 時(shí),f′(x)= 0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),f(x)＞f(0)=-1.所以(x -2)· ex ＞-(x+ 2),(x-2)·ex+x+2＞0.

評(píng)析這題求零點(diǎn)的式子相當(dāng)繁瑣,零點(diǎn)明顯很難直接求出來(lái),用剛剛的兩種策略也不能得出,于是就要考慮設(shè)一個(gè)零點(diǎn).要注意的是在設(shè)零點(diǎn)之前要先證明零點(diǎn)的存在,再把零點(diǎn)的存在范圍求出來(lái),才能設(shè)一個(gè)零點(diǎn),最后用整體代入的思想進(jìn)行等量代換.這里采用設(shè)而不求的方法可以成功規(guī)避零點(diǎn)的求解[1].這也是高考中“隱零點(diǎn)”問(wèn)題解決的最常用的方法.

4 巧用放縮

導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問(wèn)題,特別是關(guān)于不等式的問(wèn)題,若對(duì)整理好的不等式設(shè)為f(x),對(duì)其求導(dǎo)之后仍不能求得它的零點(diǎn),更不能判斷它是大于零還是小于零,這時(shí)候,就可以考慮使用放縮法來(lái)判斷.

例4求證：xex-2elnx≥e(x2-2x+2).

解析原不等式?xex-1-2 lnx≥x2-2(x-1)?,此時(shí)就可以考慮放縮法,lnx≤x-1 得ex-1≥x,故

評(píng)析如果這道題使用傳統(tǒng)的方法先把右邊的式子移到左邊去,使得f(x)=xex-2elnx-e(x2-2x+2),再對(duì)其求導(dǎo),通過(guò)零點(diǎn)、單調(diào)性判斷正負(fù),那么肯定是困難重重.使用放縮的方法,不僅可以避免求“隱零點(diǎn)”,還可以讓過(guò)程更加簡(jiǎn)便.我們一般利用1-≤lnx≤x-1,ex≥x+1,ex≥ex這些常見(jiàn)不等式進(jìn)行放縮[2].

5 鞏固練習(xí)

2.設(shè)函數(shù)f(x)=ex - ax2- x -1,若當(dāng)x≥0 時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

3.設(shè)f(x)=ax+ lnx+ 1,若對(duì)任意的x ＞0,f(x)≤xe2x恒成立,求a的范圍.

導(dǎo)數(shù)在高考中有著舉足輕重的地位,特別是涉及到“隱零點(diǎn)”的導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題又往往會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn),一般都比較復(fù)雜,要結(jié)合多種數(shù)學(xué)知識(shí)才能解答出來(lái).上述求解策略是針對(duì)高考中導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問(wèn)題總結(jié)得出的,若能靈活運(yùn)用,必能突破導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”這個(gè)難關(guān).