從歐幾里得《幾何原本》談公理化思想

何紅英

(西安市職工大學(xué) 基礎(chǔ)部，西安 710068 )

最早的幾何學(xué)興起于公元前7世紀(jì)的古埃及，后經(jīng)古希臘人傳到了希臘的都城——雅典.那時(shí)人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識(shí).這些知識(shí)很多都是零星的、碎片式的，缺少彼此之間的聯(lián)系和系統(tǒng)性.

古希臘哲學(xué)家、思想家柏拉圖(前427—前347)在經(jīng)歷了十二年避風(fēng)式的周游后回到雅典，于圣城阿卡德謨創(chuàng)立了他個(gè)人講學(xué)的園地——阿卡德謨創(chuàng)學(xué)園[1].柏拉圖在這里開始教演講術(shù)，著書立說.柏拉圖提倡孩子們首先要接受完備的體育訓(xùn)練，但是音樂、數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科也要重視.學(xué)習(xí)幾何被認(rèn)為是尋求真理的最有效的途徑.柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學(xué)家”.越來越多的希臘市民向往進(jìn)入學(xué)園學(xué)習(xí)，也就越來越喜歡幾何.在學(xué)園里，師生之間的教學(xué)活動(dòng)完全通過對話形式進(jìn)行.這種問答、質(zhì)疑、討論的對話互動(dòng)過程，最能激發(fā)人們的想象，培養(yǎng)抽象思維、邏輯思維的能力.對話過程中的思維是最活躍的，而思維是智力的核心.因此學(xué)園培養(yǎng)的學(xué)生都具有超強(qiáng)的抽象思維能力.

歐幾里得(前330—前275)就是在這個(gè)時(shí)期出生于雅典，古希臘文明中心濃郁的數(shù)學(xué)文化氣氛深深地感染了他，在他十幾歲時(shí)，就迫不及待地進(jìn)入了“柏拉圖學(xué)園”.在這里，歐幾里得翻閱了柏拉圖的所有著作和手稿，研究柏拉圖的學(xué)術(shù)思想和數(shù)學(xué)理論.歐幾里得認(rèn)為進(jìn)行“智慧訓(xùn)練”就應(yīng)該從以圖形為主要研究對象的幾何學(xué)開始，因此，他給自己確定的主要目標(biāo)就是幾何研究，逐步建立起完整、科學(xué)的幾何體系[2].

幾何學(xué)所涉及的對象既與生活中的實(shí)物有關(guān)，又不完全等同于這些具體的實(shí)物[3].比如圓形、三角形、矩形等平面圖形；球、圓柱、椎體、長方體等立體圖形.現(xiàn)實(shí)生活中很少見到標(biāo)準(zhǔn)而且規(guī)范的圖形，現(xiàn)實(shí)的實(shí)物應(yīng)該是形似或神似的幾何圖形.因而幾何圖形是既普通又抽象的概念.每個(gè)平面圖形的線、角、面等之間的關(guān)系；立體圖形各個(gè)方位之間的關(guān)系；各個(gè)圖形之間的關(guān)系都是深深吸引歐幾里得的地方.

1 《幾何原本》的公理化思想

歐幾里得當(dāng)時(shí)面臨著兩方面的問題，一方面，隨著古希臘社會(huì)經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展，特別是農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展，土地的開發(fā)和利用日益增多，地形、地貌的研究需要廣泛地應(yīng)用幾何學(xué)的知識(shí).另一方面，前人積累了四百多年的幾何知識(shí)，研究成果浩如煙海，隨著探究的深入就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些理論多是些海量又無序的片斷.歐幾里得意識(shí)到，如何把前人們留下的幾何碎片知識(shí)進(jìn)行梳理、論證和甄別，去偽存真，揚(yáng)長避短，使這些幾何學(xué)知識(shí)條理化和系統(tǒng)化，成為一整套可以自圓其說、前后貫通的知識(shí)體系，是完成既定目標(biāo)的關(guān)鍵.

歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)，在于使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想與他個(gè)人的智慧完美結(jié)合起來，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系.具體體現(xiàn)在他對《幾何原本》的編排和大綱的制訂，也就是公理化體系的建立.歐幾里得的公理化思想的脈絡(luò)是這樣的：所有幾何學(xué)的眾多定理和結(jié)論都是建立在一些已知的結(jié)論基礎(chǔ)上，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理、演繹出來的.而這些已知的結(jié)論又是靠更基礎(chǔ)的結(jié)論作基礎(chǔ)，推理、演繹出來.也就是說每個(gè)定理和結(jié)論在通過一層層的推理過程中，都需要一個(gè)或幾個(gè)最基礎(chǔ)的理論作為理論支撐，這些最基礎(chǔ)的結(jié)論顯而易見、又無需證明.歐幾里得把這些最基礎(chǔ)的結(jié)論稱作公理(適于數(shù)學(xué)的各學(xué)科)或公設(shè)(適于幾何學(xué)).[4]按照這樣的結(jié)構(gòu)體系，歐幾里德在《幾何原本》卷首提出了五條公理、五條公設(shè)，并在各卷開頭給出了一些定義(共二十三個(gè)).然后根據(jù)這些公理、公設(shè)、定義用嚴(yán)格的邏輯推論方法推導(dǎo)出了多達(dá)四百六十五個(gè)命題，把它們分門別類地組成了全文一十三卷，各卷的開頭部分基本上都是從幾何圖形開始.縱觀歐幾里得在《幾何原本》的編排過程，其公理化系統(tǒng)之嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯推理之嚴(yán)密，令人嘆為觀止.

《幾何原本》在卷首列出的五個(gè)公理為[4]：(1)等于同量的量彼此相等.即：如果A=C，B=C.則A=B；(2)等量加等量，其和相等.即：如果A=B，C=D.則A+C=B+D；(3)等量減等量，其差相等.即：如果A=B，C=D.則A-C=B-D；(4)彼此能重合的物體是相等的，如圖1；(5)整體大于部分，如圖2.

圖1 彼此能重合的物體是相等的

五個(gè)公設(shè)為：(1)由任意點(diǎn)到任意另一點(diǎn)可作直線；(2)一條有限直線可以繼續(xù)延長；(3)以任意點(diǎn)為圓心及任意距離為半徑可以畫圓；(4)凡直角都相等，如圖3；(5)平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，那么這兩條直線無限延長后，在這一側(cè)一定相交.如圖4(∠1+∠2<180°).

這些公理、公設(shè)是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).可以說《幾何原本》是兩千多年來傳播初等數(shù)學(xué)、幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書.

圖2 整體大于部分

圖3 凡直角都相等

圖4 兩條直線無限延長后，在這一側(cè)一定相交

2 我國幾何學(xué)的公理化體系

《幾何原本》不僅僅包括幾何學(xué)知識(shí)，甚至包括初等數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容以及高等數(shù)學(xué)極限概念的雛形.內(nèi)容涉及代數(shù)、數(shù)論、平面幾何和立體幾何的各個(gè)領(lǐng)域.

《幾何原本》第一卷講直線形，包括點(diǎn)、線、面、角的概念，三角形、兩條直線的平行與垂直、勾股定理等.我們七年級(jí)幾何學(xué)的就是三角形知識(shí)，兩條直線的平行與相交.《幾何原本》第二卷講代數(shù)恒等式，如二項(xiàng)和的平方、黃金分割等.我們七年級(jí)代數(shù)知識(shí)的數(shù)、式的運(yùn)算就是這一卷的內(nèi)容.《幾何原本》第三卷講圓、弦、切線等與圓有關(guān)的圖形.第四卷講圓的內(nèi)接、外切三角形、外接正方形、正多邊形.我們八年級(jí)幾何學(xué)的關(guān)于圓、圓的切線、圓與圓的位置關(guān)系、圓的內(nèi)接、外切三角形等等就是這兩卷的內(nèi)容.《幾何原本》第五卷講比例論，第六卷將比例論應(yīng)用于平面圖形，研究相似多邊形.我們八年級(jí)幾何學(xué)是以相似三角形為主的相似圖形，九年級(jí)幾何是以四邊形為主要內(nèi)容的多邊形知識(shí)[5].

以上我們把《幾何原本》的基本內(nèi)容與我國現(xiàn)階段的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容作對比，就能發(fā)現(xiàn)我國初中階段(七年級(jí)至九年級(jí))數(shù)學(xué)知識(shí)主要取材于《幾何原本》的前六卷.我國高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容，則取材于《幾何原本》后面幾卷.不僅僅在數(shù)學(xué)課程上完全是《幾何原本》的內(nèi)容，我們數(shù)學(xué)的理論體系也完全是歐幾里得《幾何原本》的公理化體系[5].

我們高中階段的立體幾何[6]，開宗明義的講是建立在四個(gè)公理以及三個(gè)推論基礎(chǔ)上.如著名的公理3：“經(jīng)過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”.不僅是確定一個(gè)平面的依據(jù)，是判定若干個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)；而且利用此公理還可以得到三個(gè)重要推論，每一個(gè)推論都具有不亞于公理的價(jià)值.如推論1：“經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面”.成為判定若干條直線共面的依據(jù)； 判斷若干個(gè)平面重合的依據(jù)； 判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù).就這樣，建立在公理(以及推論)基礎(chǔ)上的判定定理、性質(zhì)定理，構(gòu)建起了立體幾何的雄偉大廈.

3 結(jié)論

歐幾里得《幾何原本》對人們邏輯思維的鍛煉，超過了亞里士多德的任何一篇邏輯論文，是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评眢w系的杰作.《幾何原本》的公理化體系，也帶動(dòng)了現(xiàn)代科學(xué)的崛起，因?yàn)楝F(xiàn)代科學(xué)一部分是經(jīng)驗(yàn)論和和實(shí)驗(yàn)法相結(jié)合的產(chǎn)物，另一部分是認(rèn)真分析和邏輯演繹相結(jié)合的產(chǎn)物[7].

《幾何原本》的公理化體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范.這種公理法建立演繹體系的方法，在后來的二千多年間成為建立任何知識(shí)體系的嚴(yán)格方式，人們不僅應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)科，也應(yīng)用于其他科學(xué)領(lǐng)域，甚至應(yīng)用于神學(xué)、哲學(xué)和倫理學(xué)，對后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.同時(shí)我們也能發(fā)現(xiàn)，有些公設(shè)的表述不夠精準(zhǔn)，比如公設(shè)3“有限直線”的提法就是錯(cuò)誤的，因?yàn)橹本€是無限的.

吸收與揚(yáng)棄并舉，傳承與創(chuàng)新并重.數(shù)學(xué)在進(jìn)步，科學(xué)在進(jìn)步，《幾何原本》也在完善.